检测02第一次月考（能力卷） 2024-2025学年高一年级上学期数学月考检测（新高考人教A版专用）

检测02第一次月考（能力卷）（2019人教A版） 测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高三上·山东潍坊·期末）若则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，且，，，则取值不可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 4．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 5．（22-23高一上·河北保定·期末）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 6．（24-25高三上·广西·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 8．（2022高一上·全国·专题练习）设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知集合，，若是的充分条件，则实数m的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 10．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列说法正确的是（   ） A．至少有一个实数，使 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“”的否定是假命题 D．“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 11．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（   ） A．，是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·广西·开学考试）定义集合运算：.已知集合，则集合有 个真子集. 13．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 14．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 16. (15分) （24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 17. (15分) （24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·上海徐汇·开学考试）已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 19. (17分) （24-25高一上·上海·随堂练习）对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． (1)求，的值； (2)若，解不等式组． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A D B C B CD BD 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】举特例可判断选项A，C，D，构造函数可判断选项B． 【详解】对于A，取，则，选项A错误； 对于B，由于函数在上单调递增， 又，则，选项B正确； 对于C，取，则，选项C错误； 对于D，取，则，选项D错误． 故选：B． 2．A 【分析】根据的取值，结合已知逐一验证即可. 【详解】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确． 故选：A． 3．B 【分析】根据给定条件，通分变形转化为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，即， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B 4．A 【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，当且仅当时，等号成立， 若，，即， 所以实数a可取的最小整数值是. 故选：A. 5．D 【分析】根据条件对变形，利用均值不等式求解即得. 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 6．B 【分析】根据子集关系，分别讨论和，并检验集合元素的互异性即可得结果． 【详解】由已知得，若，解得，此时,，,1,，成立； 若，解得，此时,，,,，不成立； 若，解得，此时,，,3,，不成立； 综上所述：． 故选：B． 7．C 【分析】先根据条件，，对，进行取值，再验证是否成立，满足条件的数对即为集合的元素，从而即可求解. 【详解】∵集合，，，， ∴可取1，2，3，可取0，1，2，4. （1）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； （2）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； （3）当时， ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，成立，数对为的一个元素； ，由，，不成立，数对不是的元素； ，由，，不成立，数对不是的元素. 综上，的元素有八个，分别为：，，，，，，，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏. 8．B 【分析】对于选项A、B，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；对于选项C，先令，再利用基本不等式得出求解即可判断；举出反例可判断选项D. 【详解】因为，，， 设，则，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 所以，即，解得（舍）或， 所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确； 设，则，所以，则 . 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 所以，即解得或（舍）， 所以，即时等号成立，故选项C错误; 对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误. 故选：B 9．CD 【分析】分析得，再分是空集和不是空集讨论即可. 【详解】由题意得， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，则，解得， 综上，实数m的取值范围为或. 对比选项可知CD符合题意. 故选：CD. 10．BD 【分析】由在实数范围内，可得A错误；举反例可得必要性不成立，可得B正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C错误；由集合中只有一个元素可得或，再由必要性可得D正确； 【详解】对于A，在实数范围内，，，故A错误； 对于B，若，则，充分性成立， 若，如，此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题“”的否定是， 由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C错误； 对于D，若集合中只有一个元素， 当时，；当时，可得， 所以必要性成立，故D正确； 故选：BD. 11．BD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，，故C错误； 对于D，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确． 故选：BD. 12．15 【分析】根据题中定义，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，则集合有个真子集. 故答案为：15 13． 【分析】因为，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 14． 【分析】可得时，不等式不恒成立，当，必定是方程的一个正根，由此可求出. 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先判断，再得出当，必定是方程的一个正根. 15．(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出方程，进而求出. （2）利用集合的包含关系求出，进而求出集合. 【详解】（1）由，得或， 而，则是方程的二根， 所以. （2）由（1）知，，由，得或或， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 16．(1)7； (2)①36；②. 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）由题. 当且仅当，即时取等号； （2）①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 17．(1) (2) 【分析】(1)根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围； (2)分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2），因为， 所以当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上所述实数m的取值范围是． 18．(1)集合B是，集合C不是，理由见解析； (2)p假q真，理由见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题. （3）按和分类，结合反证法推理即可. 【详解】（1）对于集合 因为， 所以是封闭集； 对于集合，因为， 所以集合不是封闭集. （2）对命题：令， 令，则， 因此集合是封闭集，同理集合也是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题：若，不妨令，则有，又集合是封闭集， 则，同理，因此， 所以是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. （3）非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合，同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 19．(1)，； (2)． 【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可； （2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由题意，可知， ， 解得，； （2）由（1）知，， 因为， 所以，， 所以，， 所以． 所以， ， 由，得， 由，得， 综上，原不等式组的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测02第一次月考（能力卷）（2019人教A版） 测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（22-23高三上·山东潍坊·期末）若则下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，且，，，则取值不可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 4．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 5．（22-23高一上·河北保定·期末）已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 6．（24-25高三上·广西·阶段练习）设集合，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（23-24高一上·江苏盐城·阶段练习）设集合，，定义集合，则集合中元素的个数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 8．（2022高一上·全国·专题练习）设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知集合，，若是的充分条件，则实数m的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 10．（22-23高一上·江苏镇江·期中）下列说法正确的是（   ） A．至少有一个实数，使 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“”的否定是假命题 D．“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 11．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（   ） A．，是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·广西·开学考试）定义集合运算：.已知集合，则集合有 个真子集. 13．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 14．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 16. (15分) （24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 17. (15分) （24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 18. (17分) （24-25高一上·上海徐汇·开学考试）已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 19. (17分) （24-25高一上·上海·随堂练习）对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． (1)求，的值； (2)若，解不等式组． 学科网（北京）股份有限公司 $$