精品解析：安徽省安庆市桐城市黄岗中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的一次项系数是（ ） A. B. 6 C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若抛物线与直线交于A，B两点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8 7. 已知抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 若点和都在该抛物线上，则 D. 抛物线与轴有两个不同的交点 8. 若点，，都在反比侧函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点E与点A重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点D与点B重合时停止运动，设运动时间为x秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为y个平方单位，则y与x函数关系的图象大致是（ ） A. B. C D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数中自变量x的取值范围是______． 12. 如图，点是反比例函数图像上一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点，，若四边形的面积是4，则______． 13. 已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于，两点，则______． 14. 如图，一次函数与反比例函数图象相交于，两点，连接． （1）k的值为______； （2）若点M位于第一象限反比例函数的图象上，点N在线段上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数． （1）将该函数表达式化为二次函数的一般形式； （2）写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 16. 已知函数（m是常数）． （1）若该函数是一次函数，求m值； （2）若该函数是二次函数，求m的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，请确定抛物线的函数表达式． 18. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示． （1）求I与R之间函数表达式； （2）求时，对应的R的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数和一次函数． （1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数图象； （2）若这两个函数的图象的交点为，（点在点左侧）． 结合图象，直接写出点和点的坐标； 求的面积． 20. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 六、（本题满分12分） 21. 如图，已知直线与x轴、y轴分别相交于点P和点Q，与反比例函数的图象相交于、两点，连接． （1）试确定一次函数与反比例函数的表达式； （2）求； （3）结合图象直接写出不等式的解集． 七、（本题满分12分） 22. 某体育用品商店销售A、B两种型号的体育器材，两种体育器材的进价均为每件30元，两种体育器材在30天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间；第x（天） A种体育器材 B种体育器材 日销售价（元/件） 35 日销售量（件） （1）若A种体育器材的日销售利润为元，B种体育器材的日销售利润为元，分别求，与x之间的函数表达式； （2）设该体育用品商店销售这两种体育器材的日销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求该体育用品商品在第几天的日销辔利润最大？最大日销售利润是多少？ 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线经过点，与轴交于点． （1）若抛物线经过点，试确定抛物线的函数表达式； （2）已知该抛物线的顶点为． ①若的面积为，求的值； ②当为直角三角形且时，在内是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出最小值的平方；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的一次项系数是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的一次项系数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据定义即可得到答案． 【详解】解： 该函数的一次项系数为6 故选：B． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握次函数的顶点坐标是是解题的关键． 3. 已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 4. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故选：． 5. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的图象．应该识记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．根据、的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】解：A、二次函数的图象开口向下， ； 又该二次函数与轴交于负半轴， ； 一次函数的图象应该经过第二、三、四象限，与原图不符； 故本选项错误； B、二次函数的图象开口向下， ； 又该二次函数与轴交于正半轴， ； 一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，与原图相符； 故本选项正确； C、二次函数的图象开口向上， ； 又该二次函数与轴交于负半轴， ； 一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，与原图不符； 故本选项错误； D、二次函数的图象开口向上， ； 又该二次函数与轴交于正半轴， ； 一次函数的图象应该经过第一、二、三象限与原图不符；； 故本选项错误． 故选：B 6. 若抛物线与直线交于A，B两点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的解法、两点间的距离．抛物线与直线交于A、B两点横坐标为一元二次方程的两个解，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与直线交于A、B两点， A、B两点的横坐标为一元二次方程的两个解， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 7. 已知抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 若点和都在该抛物线上，则 D. 抛物线与轴有两个不同的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先将转化为顶点式，根据二次项系数即可判断选项A；根据顶点式即可判断选项B；根据顶点式可得该抛物线的对称轴为直线，且图像开口向下，则知图像上的点离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断选项C；计算出即可判断选项D．解题的关键是掌握：对于二次函数，顶点坐标为，当时，抛物线开口向上，函数值有最小值，当时，抛物线开口向下函数值有最大值；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点． 【详解】解：， A．∵， ∴抛物线的开口向下，故此选项不符合题意； B．由抛物线的顶点式知：抛物线的顶点坐标为，故此选项不符合题意； C．∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线， ∴抛物线上点离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∵点和是该抛物线上的点，且， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， ∴抛物线与轴没有交点，故此选项符合题意． 故选：D． 8. 若点，，都在反比侧函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的特征．分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数，求出的值，再根据比较大小，即可得到答案． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴，故D正确． 故选：D． 9. 如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、面积分别为、．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，， ∴，再根据即可得解．求出、长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：B． 10. 如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点E与点A重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点D与点B重合时停止运动，设运动时间为x秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为y个平方单位，则y与x函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分和两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：分两种情况：（1）如图所示，当时，令，交于点，过点作于点， ∵和都是等腰直角三角形 ∴， 由平移可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ， ， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， ∴当时，； （2）如图所示，当时，令，交于点，过点作于点， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ， ， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 只有选项C符合条件． 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是分情况讨论． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 二次函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】全体实数 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数自变量的取值范围，根据题意可知题目本身没有对自变量有任何限制，故自变量的取值范围为全体实数． 【详解】解：根据题意可知，题目对自变量x的取值没有任何限制，故二次函数中自变量x的取值范围是全体实数， 故答案为：全体实数． 12. 如图，点是反比例函数图像上一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点，，若四边形的面积是4，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，熟练掌握相关知识是解题关键．过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据反比例函数的几何意义可得，再根据图像在二、四象限可确定，进而得到答案． 【详解】解：∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∵图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于，两点，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和x轴交点问题，代数式求值，将，代入得到，然后两式相加即可求解． 【详解】∵二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于，两点 ∴ ∴得， ∴． 故答案为：0． 14. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接． （1）k的值为______； （2）若点M位于第一象限反比例函数的图象上，点N在线段上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为______． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形的性质，平移的性质等等： （1）先把A、B坐标代入一次函数解析式求出A、B坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值即可； （2）根据题意只存在平行四边形，则，，过点作轴的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，由于点B到点O的平移方式与点N到点M的平移方式相同，则，，可设，则，再把点N坐标代入中求出m的值即可得到答案． 【详解】解：（1），两点在一次函数图象上， ，， ，， ，， 点在反比例函数的图象上， ， ∴， 故答案为：8； （2）如图，由题意得只存在平行四边形 ∴，， 过点作轴垂线，垂足为点，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为， ∵， ∴点B到点O的平移方式与点N到点M的平移方式相同， ，， 反比例函数的图象上， 可设，则， 在上， ，即， ，， 经检验是原方程的根且符合题意，（不合题意，舍去）， 当时，， ， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数． （1）将该函数表达式化为二次函数的一般形式； （2）写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】（1） （2）二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． 【小问1详解】 解： 该二次函数的一般形式是； 【小问2详解】 解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 16. 已知函数（m是常数）． （1）若该函数是一次函数，求m的值； （2）若该函数是二次函数，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【小问1详解】 解：是一次函数， 且， 解得； 【小问2详解】 解：是二次函数， ， 解得， 当时，，不符合题意， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，请确定抛物线的函数表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式； 先设抛物线的函数表达式为，把点代入解析式，求出a的值，进而即可得到函数解析式 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线的函数表达式为， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为． 18. 如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间的函数关系如图2所示． （1）求I与R之间的函数表达式； （2）求时，对应的R的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键. （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将代入，求得R的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果. 【小问1详解】 解：根据题意可设， 点在函数的图象上， ， 解得， 电流与电阻之间的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， ， 由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小， 当时， 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数和一次函数． （1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （2）若这两个函数的图象的交点为，（点在点左侧）． 结合图象，直接写出点和点的坐标； 求的面积． 【答案】（1）见解析； （2）点，点；． 【解析】 【分析】（）根据画函数图象的方法和步骤即可求解； （）根据函数图象即可求解； 先求出一次函数与轴交点坐标，根据即可求解； 本题考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，画一次函数和二次函数的图象，求与坐标轴围成的三角形的面积，正确掌握一次函数和二次函数的知识是解题的关键． 【小问1详解】 列表： 描点； 连线； ∴如图所示，即为所求； 【小问2详解】 根据图象可知：点，点； 如图， 当时，，即， ∴． 20. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； 【小问2详解】 解：当时，， 得， ，， ， 或． 六、（本题满分12分） 21. 如图，已知直线与x轴、y轴分别相交于点P和点Q，与反比例函数的图象相交于、两点，连接． （1）试确定一次函数与反比例函数的表达式； （2）求； （3）结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；； （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数与反比例函数解析式、坐标系中求三角形面积、利用一次函数与反比例图像之间的位置关系直接写出不等式的解集等，解题的关键是数形结合思想的综合运用． （1）将B点坐标代入函数可确定的值，于是确定了反比例函数的解析式；再将A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值，然后将点A、点B的坐标代入一次函数的解析式，求解方程组可得到与b的值，于是确定了一次函数的解析式． （2）对于一次函数的解析式，分别令，可求得点P与点Q的的坐标，于是与的长可知，结合点A的纵坐标与点B的横坐标可求得与的面积，于是可求得面积之比． （3）观察函数的图像并结合不等式可知，一次函数的图像位于反比例函数图像的上方，于是可写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ，， 反比例函数表达式为； 点在反比例函数的图象上， ， ， ， 点，点在直线上， ； 解得， 一次函数表达式为； 【小问2详解】 当时，，， 点坐标为， 当时，， 点坐标为， ，， ； 【小问3详解】 由图象知不等式的解集是或． 七、（本题满分12分） 22. 某体育用品商店销售A、B两种型号的体育器材，两种体育器材的进价均为每件30元，两种体育器材在30天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间；第x（天） A种体育器材 B种体育器材 日销售价（元/件） 35 日销售量（件） （1）若A种体育器材的日销售利润为元，B种体育器材的日销售利润为元，分别求，与x之间的函数表达式； （2）设该体育用品商店销售这两种体育器材的日销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求该体育用品商品在第几天的日销辔利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】（1），； （2），该体育用品商店在第10天的日销售利润最大，最大日销售利润是1600元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是关键； （1）根据利润=每件利润×销售量，例出函数解析式即可； （2）由（1）可得总利润关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质求出最值即可 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ， 当时，有最大值，最大值为1600； 该体育用品商店在第10天的日销售利润最大，最大日销售利润是1600元． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线经过点，与轴交于点． （1）若抛物线经过点，试确定抛物线的函数表达式； （2）已知该抛物线的顶点为． ①若的面积为，求的值； ②当为直角三角形且时，在内是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出最小值的平方；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）将点和点代入，利用待定系数法求解即可； （2）①首先确定点的坐标延长交轴于点，易得；设直线的表达式为，利用待定系数法可解得直线的表达式为，进而可得，进而解得的值即可； ②首先根据勾股定理可得，，，结合题意可得，进而解得的值，易得，以点为旋转中心，将顺时针旋转，点到点的位置，点到点的位置，连接，，， 则，为等边三角形，可知的最小值为，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 ①∵抛物线经过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为， ∴设抛物线为， 当时，， 当时，， ∴，， 延长交轴于点，如下图， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， ∴， 解得； ②由题意得，，， ∵为直角三角形且， ∴， ∴， 整理得，解得或（舍去）， ∴， 如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转，点到点的位置，点到点的位置，连接，，， 则，为等边三角形， ∴，， ∴， ∴的最小值为， ∵为等边三角形，， ∴点， 当时，， ∴有最小值，最小值的平方为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析、求一次函数解析式、二次函数与一次函数综合应用、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$