期中考前满分冲刺之中等易错题-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数中的平移 1．把函数向上平移5个单位，下列在该平移后的直线上的点是（    ） A． B． C． D． 2．将直线向右平移个单位后经过原点，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 3．将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度，得到直线，则 ． 5．在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 6．把一次函数的图象向下平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 ． 类型二、估算二次根式 1．估算的结果在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 2．估算式子的值应在下面哪两个相邻整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 3．估算的值（    ） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 4．若估算的值在整数n和之间，则n= ． 5．估算比较大小： ； ． 6．估算： ．（结果精确到1） 类型三、函数值中的程序流程图 1．按图所示的程序计算，若输入，则输出的结果是（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 2．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（   ） A．24 B． C．25 D． 4．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是 ． 5．按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是 ． 6．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是 ． 类型四、一次函数的图像与性质 1．已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知点均在一次函数的图象上，点，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象经过二、三、四象限 B．点在第二象限 C． D．与x轴的交点坐标为 3．已知点，都在直线上，则大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 4．关于x的函数，有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取何值，函数图象必过点； ③若函数图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是； ④若点在函数的图象上，则．其中结论正确的序号是 ． 5．已知点，是一次函数图象上两点．请用“>”“=”或“<”填空． (1)若，，，则______； (2)若，，则______； (3)若，，则k______0． 6．已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 ． 类型五、勾股树 1．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的边长为，正方形B的边长为，正方形C的边长为，则正方形D的边长为（    ） A． B． C． D． 2．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为（    ）． A．16 B．256 C．32 D．64 4．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 5．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ． 6．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为 ． 类型六、勾股定理的应用 1．某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这圈彩带的长度至少为（    ）．    A． B． C． D． 2．如图，一架5的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3，若梯子的顶端下滑2，则梯足将滑动（    ） A．2 B． C． D． 3．一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺． 4．在直角三角形中，两条直角边的长分别是12和5，则斜边上的高为 ． 5．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 6．如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，， ，，，，求四边形的面积．    类型七、一次函数中的应用 1．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（    ） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 2．如图，杆秤的秤砣到秤纽的水平距离与所称物重之间满足一次函数关系．若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为，所称物重为时秤砣到秤纽的水平距离为，则所称重物为时，秤砣到秤纽的水平距离为（    ） A． B． C． D． 3．摩托车甲、汽车乙从相距的A、B两地相向而行，图中 、分别表示甲、乙两车离A地的距离与行驶时间 之间的函数关系．当时，汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离的时间范围是 ． 4．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的有 个． （1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元，（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元，（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多，（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分． 5．为预防流行病毒，某校对教室进行消毒．设室内每立方米空气中的含药量为，从开始消毒计时为（分钟）．前10分钟为药物释放阶段，与成正比例关系；10分钟以后，与成一次函数关系，测得10分钟时，室内含药量为；30分钟时，室内含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)求与的函数关系式； (2)当每立方米空气中含药量不低于持续40 分钟消毒才有效，此次消毒是否有效？ 6．我国传统的计重工具−−秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤细的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量、称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为x（斤），则y是x的一次函数，表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 3 4 5 6 y（斤） 2 (1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？请以坐标的方式表达出来． (2)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y的具体变化是______斤； (3)根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x的函数关系式； ②当秤钩所挂物重是斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 类型八、一次函数与一元一次方程 1．如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 4．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则＝ ． 5．综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 6．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 1 3 n 7 … (1)表格中：_____，_____； (2)在直角坐标系中画出该函数图象； (3)观察图象： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②若关于x的方程有两个不同的实数根，则a的取值范围是_____． 类型九、网格画图 1．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，B，C． (1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)在（1）的条件下，直接写出，，三点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)请画出关于轴的对称图形； (2)直接写出，，三点的坐标并求出的面积； (3)在轴上找一点，使最小，并求出这个最小值． 3．在平面直角坐标系中，直线l为一、三象限角平分线，点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作，点关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点为_______________，二次反射点为_______________； (2)当点A在第三象限时，点中可以是点A的二次反射点的是_______________； (3)若点A在第二象限，点，分别是点A的一次反射点、二次反射点，，则射线与x轴所夹锐角的度数是_______________． 4．如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)请画出关于轴对称的； (2)请画出关于轴对称的； (3)连接，，，请直接写出的面积． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为A、B、C． (1)在图中作出关于y轴的对称图形． (2)求的面积． (3)在x轴上画出点P，使最小． 类型十、一次函数的解析式 1．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB=xcm，BC=ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． 2．如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为． (1)求与的关系式； (2)当点运动到的中点时，的面积是多少？ (3)若的面积为，则的长为多少？ 3．已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝1时，求y的值． 4．如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a． （1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）； （2）求出k的值； （3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式． 5．已知与成正比例，且时，． （1）求与的函数关系式；   （2）当时，求的值； （3）将所得函数图象平移，使它过点（2， －1）．求平移后直线的解析式． 6．如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点，点在轴上移动时，始终保持是等边三角形.当点移动到点时，得到等边三角形（此时点与点重合）. （1）点在移动的过程中，当等边三角形的顶点作第三象限时（如图所示），求证：.由此你发现什么结论？ （2）求点在轴上移动时，点所在函数图象的解析式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数中的平移 1．把函数向上平移5个单位，下列在该平移后的直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图像的平移，熟知一次函数图像平移的法则是解题的关键．根据平移的性质得出平移后新的函数解析式为，进而解答即可． 【详解】解：把函数向上平移5个单位， 则新的函数解析式为， 当时，可有， 当时，可有， 当时，可有， 所以，点，，不在平移后的直线上，故选项A、C、D不符合题意； 点在平移后的直线上，故选项B符合题意． 故答案为：B． 2．将直线向右平移个单位后经过原点，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】主要考查的是一次函数图象平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键． 根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可． 【详解】解：将直线向右平移个单位后，得到， 把代入，得到：， 解得． 故选：A． 3．将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为， 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度，得到直线，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：将直线向左平移个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向下平移1个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：2． 6．把一次函数的图象向下平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，根据一次函数的平移规律：左加右减上加下减，进行作答即可作答． 【详解】解：一次函数的图象向下平移2个单位长度后 得 故答案为： 类型二、估算二次根式 1．估算的结果在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则，进行计算，再利用夹逼法求出无理数的范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选B． 2．估算式子的值应在下面哪两个相邻整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算和无理数的估算，掌握二次根式的运算法则是关键．由，先估算在1和2之间，即可解答． 【详解】解：，且， ， 即的值在2至3之间． 故选：B 3．估算的值（    ） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则计算，后运用无理数估算思想计算求解即可． 【详解】∵ ， ∵， ∴， ∴ 即的值在9和10之间， 故选：D 4．若估算的值在整数n和之间，则n= ． 【答案】4 【分析】本题考查估算无理数的大小．先化简，然后用平方法估算的大小即可． 【详解】解：， 又 即， ， 又的值在整数n和（n＋1）之间， ． 故答案为：4． 5．估算比较大小： ； ． 【答案】 > < 【分析】①二次根式比较大小，可比较其平方的大小； ②二者作差与作比较，可比较二者的大小． 【详解】解：①，， 故答案为：． ②， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根式的大小比较．解题的关键在于识别根式适用的方法．常用的方法有：平方法、作差法、作商法、分子有理化、分母有理化等． 6．估算： ．（结果精确到1） 【答案】7 【分析】先化简，再估算该值，即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴7， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了二次根式的化简，无理数的估算，正确掌握二次根式的性质进行化简是解题的关键． 类型三、函数值中的程序流程图 1．按图所示的程序计算，若输入，则输出的结果是（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是程序框图、无理数的大小估算及二次根式的混合运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．把代入程序框图对应的代数式，再进行计算即可． 【详解】解：，， ， 把代入，得， 故选：B． 2．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（   ） A．24 B． C．25 D． 【答案】B 【分析】本题以程序计算考查实数的运算，将代入计算，再判断即可． 【详解】解：将代入计算，第一次：， 进行第二次计算， 第二次：， ∴输出结果， 故选：B． 4．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的性质，根据题意，先求出的算术平方根，在再求出立方根，即可． 【详解】解：计算程序可得，， ∴取算术平方根为， ∴取的立方根为， ∴． 故答案为：． 5．按如图所示的运算程序，若输入数字“3”，则输出的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查程序框图的运算，仔细判断方向，准确计算是解题的关键．根据输入的数字从左往右依次计算即可． 【详解】解：输入3， 第一步， 第二步， 第三步． 故答案为：． 6．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键． 根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案． 【详解】解：，，2的算术平方根是， 故答案为：． 类型四、一次函数的图像与性质 1．已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意； 故选：． 2．已知点均在一次函数的图象上，点，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象经过二、三、四象限 B．点在第二象限 C． D．与x轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质直接判断A即可；将A、B代入解析式，求出m、n的值，得出点C的坐标即可判定B；根据m、n的值即可判断C；把代入函数解析式，求出与x轴的交点坐标即可判断D；掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 把分别代入得： ，， ∴点C的坐标为， ∴点在第三象限，故B错误，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，符合题意； 把代入得：， 解得：， ∴与x轴的交点坐标为，故D错误，不符合题意． 故选：C． 3．已知点，都在直线上，则大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 根据得到y随x的增大而减小，比较判断选择即可． 【详解】∵点，都在直线上，且，， ∴y随x的增大而减小，， 故选：C． 4．关于x的函数，有下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取何值，函数图象必过点； ③若函数图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是； ④若点在函数的图象上，则．其中结论正确的序号是 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了一次函数的定义，一次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一次函数的定义，一次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，当，即时，此函数是一次函数，可判断①的正误；当时，，可知无论k取何值，函数图象必过点，可判断②的正误；当函数图象经过第一、三、四象限时，，即，可判断③的正误；当，即时，随的增大而减小，由，可得，可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，当，即时，此函数是一次函数，①正确，故符合要求； 当时，， ∴无论k取何值，函数图象必过点，②正确，故符合要求； 当函数图象经过第一、三、四象限时，，即，③错误，故不符合要求； 当，即时，随的增大而减小， 由，可得，④错误，故不符合要求； 故答案为：①②． 5．已知点，是一次函数图象上两点．请用“>”“=”或“<”填空． (1)若，，，则______； (2)若，，则______； (3)若，，则k______0． 【答案】(1)< (2)> (3)> 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小． （1）（2）（3）根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴y的值随x的值增大而增大， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴y的值随x的值增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：； （3）∵，， ∴y的值随x的值增大而增大， ∴． 故答案为：． 6．已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．根据一次函数图象与系数的关系得到，，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，， 解得， 故答案为：． 类型五、勾股树 1．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A的边长为，正方形B的边长为，正方形C的边长为，则正方形D的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得正方形A的边长为，正方形B的边长为，根据题意，，结合正方形C的边长为，则正方形D的边长为，解答即可． 本题考查了勾股定理，正方形的性质，利用直角三角形的边长与正方形的面积的关系，结合勾股定理计算判断即可． 【详解】解：如图，根据题意，得正方形A的边长为，正方形B的边长为，根据题意，，结合正方形C的边长为，则正方形D的边长为． 故选B． 2．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为（    ）． A．16 B．256 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求四个小正方形的面积之和． 【详解】解：如图， 根据勾股定理知： ，，， ∴ ， 故选：B． 4．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2025 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故答案为：2025． 5．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形B的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积， 则正方形A的面积， 故答案为：4． 6．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 类型六、勾股定理的应用 1．某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼（如图），在灯笼的侧面上，从顶点到顶点缠着一圈彩带，已知此灯笼的高为，底面边长为，则这圈彩带的长度至少为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平面展开最短路径问题．画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将三棱柱沿展开，其展开图如图，    则． 故选：C． 2．如图，一架5的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3，若梯子的顶端下滑2，则梯足将滑动（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．如图，由题意知，，，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 3．一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是 尺． 【答案】 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解. 【详解】设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理得, 解得， 故折断处离地面的高度是尺. 故答案为： 4．在直角三角形中，两条直角边的长分别是12和5，则斜边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用和与三角形高有关的计算，先根据勾股定理求出该直角三角形的斜边长，再用等面积法求解即可． 【详解】由题意得：该直角三角形的斜边长为 设斜边上的高为h ∴，解得： 故答案为：． 5．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索长为尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：， ∴秋千绳索长为尺． 6．如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，， ，，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等．根据题意可得，继而得到，，再利用三角形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 类型七、一次函数中的应用 1．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（    ） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息.由图①的信息可判断A；再求解一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式，计算当时，，可判断B；再求解当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系式：分别计算第12天与第30天的销售量与当天一件产品的销售利润，从而可判断C和D． 【详解】解：由图①中的信息可得：第24天的销售量为200件，故A不符合题意； 设当时，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为： ， ， 解得：， ， 当时，， 所以第10天销售一件产品的利润是15元，故B不符合题意； 当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系为： ， ， 解得：， ， 当时，，， 所以第12天的日销售利润为：元， 第30天的日销售利润为：元，而，故C符合题意； 由第30天的日销售利润为：元，故D不符合题意， 故选：C． 2．如图，杆秤的秤砣到秤纽的水平距离与所称物重之间满足一次函数关系．若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为，所称物重为时秤砣到秤纽的水平距离为，则所称重物为时，秤砣到秤纽的水平距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的关系式是解题的关键．利用待定系数法求出关于的函数关系式，当时求函数值即可． 【详解】解：设与的函数关系式为、为常数，且． 将，和，代入， 得，解得， ． 当时，时， 秤砣到秤纽的水平距离为， 故选：D． 3．摩托车甲、汽车乙从相距的A、B两地相向而行，图中 、分别表示甲、乙两车离A地的距离与行驶时间 之间的函数关系．当时，汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离的时间范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解答此题的关键．先利用待定系数法求出两直线解析式，最后根据汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离，列出一元一次不等式解不等式即可得到答案． 【详解】设的解析式为，将代入得：，解得， 解析式为， 同理可得的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 又∵． ∴汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离的时间范围是： 4．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则以下说法错误的有 个． （1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元，（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元，（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多，（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分． 【答案】1/一 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，直接由函数图象可判断（1），分别求解两个函数的解析式，再进一步可判断（2），把代入（2）中的函数解析式，可判断（3），若B方案为50元时，则A方案如果是40元或者60元，才能使两种方案通讯费用相差10元，可判断（4）． 【详解】解：由图象可得：通话时间少于120分，A方案元，B方案元， ∴A方案比B方案便宜20元，故（1）正确； 当时，设A方案的解析式为， ∴， 解得：， ∴； 当时，， 同理可得B方案当的解析式为：； ∴，故（2）正确； 把代入， ∴， 把代入， ∴， ∴若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多，故（3）正确； 若当B方案为50元，则A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元， 此时B的通话时间为分，而A有两个通话时间，故（4）不正确； ∴（1）、（2）、（3）正确，（4）错误． 故答案为：1． 5．为预防流行病毒，某校对教室进行消毒．设室内每立方米空气中的含药量为，从开始消毒计时为（分钟）．前10分钟为药物释放阶段，与成正比例关系；10分钟以后，与成一次函数关系，测得10分钟时，室内含药量为；30分钟时，室内含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)求与的函数关系式； (2)当每立方米空气中含药量不低于持续40 分钟消毒才有效，此次消毒是否有效？ 【答案】(1) (2)有效 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）分当时，当时，两种情况设出解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，分别求出当时，当时函数值为4的自变量的值即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，设， 把代入中得：，解得， ∴； 当时，设， 把、代入中得：， ∴， ∴； 综上所述， （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵， ∴这次消毒是有效的． 6．我国传统的计重工具−−秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤细的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量、称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为x（斤），则y是x的一次函数，表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 3 4 5 6 y（斤） 2 (1)在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？请以坐标的方式表达出来． (2)当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y的具体变化是______斤； (3)根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x的函数关系式； ②当秤钩所挂物重是斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ 【答案】(1)描点见解析， (2) (3)①；②10厘米 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据数据描点即可判断； （2）根据表中数据当时，，当时，，由此即可求解； （3）①设y与x的函数关系式为，根据表中数据有当时，，当时，，代入即可得到二元一次方程组，求解即可得到函数解析式； ②把代入函数解析式，求解x的值即可解答． 【详解】（1）解：把表中数据描点如下：   观察图象可知：由于y是x的一次函数，没有位于直线上， ∴，，即这组数据错误． （2）解：根据表中数据当时，，当时，，由此可得： 当x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y增加了（斤）． 故答案为：； （3）解：①∵y是x的一次函数， ∴设y与x的函数关系式为， 根据表中数据有当时，，当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为． ②当时，， 解得． ∴秤钩所挂物重是斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米． 类型八、一次函数与一元一次方程 1．如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与性质，根据一次函数的性质和一次函数与一元一次方程的关系进行判断即可；准确分析判断是解题的关键． 【详解】∵一次函数＝经过第一、二、四象限， ∴，，故①③正确； ∵直线＝的图象与轴的交点在轴下方， ∴，故②错误； ∵一次函数＝与＝的图象的交点横坐标为3， ∴当时，＝，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 故选：C． 2．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：D． 3．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 4．如图，一次函数与正比例函数的图象交于点，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系；熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 当时，一次函数和正比例函数的图象相交于点P，从而可联立得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】一次函数与正比例函数的图象交于点 当时， 解方程得 故答案为： 5．综合与实践 同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． (1)列表： x … 0 1 2 … y … 3 m n 3 … 表格中_____________，_____________； (2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；    (3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论． 结论1：_____________； 结论2：_____________； (4)写出关于的方程的解，并简单说明此方程的解是如何得到的． 【答案】(1)1；1 (2)见解析 (3)函数有最小值，最小值为；函数的图象关于直线对称 (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，从最小值，对称性，增减性等方面总结即可； （4）画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：1；1 （2）解：如图，    （3）解：根据题意得： 结论1：函数有最小值，最小值为； 结论21：函数的图象关于直线对称； （4）解：方程的解为：，理由如下： 画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为， ∴关于的方程的解为：． 6．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 1 3 n 7 … (1)表格中：_____，_____； (2)在直角坐标系中画出该函数图象； (3)观察图象： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②若关于x的方程有两个不同的实数根，则a的取值范围是_____． 【答案】(1)3，5； (2)见解析； (3)①；②． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标、分段函数的图象，解题的关键是准确画出函数的图象，然后利用函数图象得到函数的性质和解决与方程有关的题目． （1）将，代入，即可求解； （2）利用描点，连线的方法即可求解函数图象； （3）①从（2）中图象可求解；②根据图象的最值即可求解． 【详解】（1）当时，， 当时，， 故答案为：3，5； （2）根据表中数据，描点，连线如图所示： （3）由图可知， ①当时，y随x的增大而减小， ②∵关于x的方程有两个不同的实数根， ∴函数与函数的函数图象有两个不同的交点， ∴， 故答案为：，． 类型九、网格画图 1．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，B，C． (1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)在（1）的条件下，直接写出，，三点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为，的坐标为，的坐标为 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，以及平面直角坐标系中点的坐标，解题的关键是作出点A，B，C关于y轴的对称点，，． （1）先作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，然后再顺次连接即可； （2）根据图形写出点，，的坐标即可． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：由图知，点的坐标为，的坐标为，的坐标为； 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)请画出关于轴的对称图形； (2)直接写出，，三点的坐标并求出的面积； (3)在轴上找一点，使最小，并求出这个最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，，， (3)图见解析，最小值 【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点的位置写出坐标即可，利用割补法求三角形的面积即可． （3）连接与轴交点即为点，此时最小，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可得：，，， ； （3）解：连接与轴交点即为点，理由如下： 由对称可得， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为， ∵， ∴最小值为． 3．在平面直角坐标系中，直线l为一、三象限角平分线，点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作，点关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点为_______________，二次反射点为_______________； (2)当点A在第三象限时，点中可以是点A的二次反射点的是_______________； (3)若点A在第二象限，点，分别是点A的一次反射点、二次反射点，，则射线与x轴所夹锐角的度数是_______________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标与图形变化——对称，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解； （2）根据一次反射点，二次反射点的定义判断的位置即可； （3）根据点在第二象限，可知点在第一象限，进而可知也在第一象限，由，可得，可得结论． 【详解】（1）点的一次反射点为， 二次反射点为， （2）∵点A在第三象限时， ∴一次反射点在第四象限，二次反射点在第二象限， ∴答案为：； （3）如图 ∵， ∴与x轴的夹角为或， 根据对称性可知，OA与x轴所夹锐角的度数为或， 故答案为：或 4．如图，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)请画出关于轴对称的； (2)请画出关于轴对称的； (3)连接，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称变换，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征、正确找出各点的对应点是解题的关键． （1）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可； （2）分别作出点、、关于轴对称的点，然后顺次连接即可； （3）根据三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，为所求，    （3）解：如图，   的面积． 5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【分析】本题考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质． 现在坐标系内描点，在顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； 根据关于y轴对称的点的坐标关系，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得到答案． 由p为x轴正半轴上一点，的面积为1，可得，从而得到答案． 【详解】（1）解：∵、、， 如图所示： 、、， ∴三角形面积为． 故答案为：4． （2）解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为， 故答案为：． （3）解：∵p为x轴上一点，的面积为1，即， ∴， ∴， ∵，点p的横坐标为：． 故点p坐标为：或． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为A、B、C． (1)在图中作出关于y轴的对称图形． (2)求的面积． (3)在x轴上画出点P，使最小． 【答案】(1)图见解析 (2)4 (3)图见解析 【分析】本题考查坐标与轴对称： （1）根据轴对称的性质，画出； （2）分割法求出三角形的面积即可； （3）根据轴对称的性质，利用将军饮马模型画出点即可． 【详解】（1）解：∵的三个顶点的坐标分别为，，， ∴它们关于y轴的对称点的坐标为：，，， ∴的图形如下图所示， （2）解：； （3）解：如下图所示，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即为所求作的点． 类型十、一次函数的解析式 1．已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB=xcm，BC=ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围． 【答案】y=10-x； 【分析】根据长方形周长公式列式即可，由长宽均大于0可得x的取值范围． 【详解】解：根据题意得，y==10﹣x，即y=10﹣x， ∵x＞0且10﹣x＞0， ∴0＜x＜10． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列一次函数解析式的能力，熟知长方形周长公式是解题根本，由长宽为正可得自变量取值范围． 2．如图，在中，，，，点为边上一动点，当动点沿从点向点运动时，的面积发生了变化．设长为，的面积为． (1)求与的关系式； (2)当点运动到的中点时，的面积是多少？ (3)若的面积为，则的长为多少？ 【答案】(1) (2)点运动到的中点时，的面积为 (3)当的面积为时，的长为 【分析】对于（1），根据三角形的面积公式用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将代入关系式计算即可； 对于（3），将代入关系式求出x即可． 【详解】（1），所以与的关系式为； （2）当时，， 所以点运动到的中点时，的面积为； （3）当时，，解得， 所以当的面积为时，的长为． 【点睛】本题主要考查了求函数关系式，求自变量，求函数值等，准确的计算是解题的关键． 3．已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当x＝1时，求y的值． 【答案】（1）y=-5x+29；（2）24 【分析】（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得关于k和b的方程组，解方程组即可； （2）把x=1代入函数表达式计算即可． 【详解】解：（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得 ， 解得：， ∴此一次函数的表达式为y=-5x+29； （2）将x=1代入y=-5x+29， 得：y=-5×1+29=24． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解决这类问题一般先设函数的一般式，再代入两个点构造方程组求解． 4．如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a． （1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）； （2）求出k的值； （3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式． 【答案】（1）点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）k＝；（3）y＝（3-）x或y=x ． 【分析】（1）点D的横坐标为a，则点D(a，2a)，则AB＝AD＝2a，进而 求解； （2）将C点坐标代入y=kx即可求得k； （3）根据题干，可求得直线OF的的解析式为，当y=2a时，可求出点E( ，2a)，由S△DEF＝S正方形ABCD，可列方程进而求出m． 【详解】解：（1）点D的横坐标为a，则点D（a，2a）， 则AB＝AD＝2a，则点A、B、C的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）， 故点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）； （2）将点C的坐标代入y＝kx得，2a＝3ak， 解得k＝； （3）设AF＝m，则点F（a，m），设直线OC旋转后交AD于点F，交CD于点E， 则直线OF的表达式为， 当y＝2a时，y＝， 解得x=， 故点E（，2a）， 由题意得：S△DEF＝S正方形ABCD＝， 即， 解得：m＝， 则函数的表达式为y＝＝（3±）x． 当y＝（3+）x时，直线与正方形没有公共点故舍去 第二种情况，旋转后直线OC和线段BC相交，同理可得k= 则函数表达式为y＝（3-）x或y=x 【点睛】本题考查一次函数的性质、正方形的性质、面积的计算等，掌握一次函数的性质是解题关键． 5．已知与成正比例，且时，． （1）求与的函数关系式；   （2）当时，求的值； （3）将所得函数图象平移，使它过点（2， －1）．求平移后直线的解析式． 【答案】（1）y=2x+3；（2）2；（3）y=2x-5 【分析】(1)根据题意设y与x的关系式为y-3=kx（k≠0）；然后利用待定系数法求一次函数解析式； (2)把代入一次函数解析式可求得； (3)因为函数图象平移，所以k不变，设平移后直线的解析式为y=2x+b，把点(2，-1)代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式． 【详解】解：(1)∵y-3与x成正比例， ∴设y-3=kx(k≠0)， 把x=2时，y=7代入，得7-3=2k，k=2； ∴y与x的函数关系式为：y=2x+3， 故答案为：y=2x+3； (2)当时代入，解得：， 故答案为：2； (3)∵函数图像平移， ∴k不变， 设平移后的函数解析式为：y=2x+b，代入点(2,-1)， ∴-1=2×2+b，解得b=-5， 故平移后的函数解析式为：y=2x-5， 故答案为：y=2x-5． 【点睛】本题要注意利用一次函数的性质，列出方程组，求出k值，从而求得其解析式，另外求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化． 6．如图，已知在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点，点在轴上移动时，始终保持是等边三角形.当点移动到点时，得到等边三角形（此时点与点重合）. （1）点在移动的过程中，当等边三角形的顶点作第三象限时（如图所示），求证：.由此你发现什么结论？ （2）求点在轴上移动时，点所在函数图象的解析式. 【答案】（1）点在过点且与垂直的直线上或或；（2） 【分析】（1）由等边三角形的性质易证AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°；然后由图示知∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，即∠CAO=∠PAB．所以根据SAS证得结论； （2）利用（1）中的结论PB⊥AB．根据等边三角形的性质易求点B的坐标为．再由旋转的性质得到当点P移动到y轴上的坐标是（0，-3），所以根据点B、P的坐标易求直线BP的解析式． 【详解】（1）与都是等边三角形， ，，． ． ． ． 结论：点在过点且与垂直的直线上或或． （2）点所在函数图象是过点且与垂直的直线上， 是等边三角形，， ． 当点移动到使点在轴上时，得． 设点所在直线的解析式为： ，把，两点的坐标代入得： 解得 所以点所在函数图象的解析式为． 【点睛】此题考查一次函数综合题，解题关键在于求出∠CAO=∠PAB． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$