专题04 一次函数拓展之几何篇（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题04一次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数中的将军饮马 【解惑】已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）． （1）求点A的坐标； （2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：①点P的坐标；②PA+PB的最小值． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，且，直线交轴于点． （1）求证：≌； （2）求直线的表达式； （3）若有一个动点在轴上，当取最小值时，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C． （1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12， ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积． （2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由． 类型二、一次函数中的三点共线 【解惑】如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点．    (1)求a，b的值； (2)当线段最短时，求点B的坐标； (3)在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值． 2．在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程． 证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点，连结， ∵点B，关于直线l对称，点C，在l上， ∴_________， _________，∴_________． 在中，∵，∴，即最小． (1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上） (2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的． (3)如图，平面直角坐标系中， ，P是坐标轴上的点，则的最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案） 3．如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）． (1)求直线AB的表达式； (2)如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx＋b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0），求△CGF的面积； (3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； 类型三、一次函数中的全等三角形 【解惑】如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为，连接，过点作于点，点为线段上一个动点．    (1)的长为_____________，的长为_____________； (2)上是否存在一点，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中m、n满足二元一次方程组． (1)求点B和点C的坐标； (2)点P从点出发，沿y轴正方向运动，连接，设的长度为t，的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，是的中线，点P从点E出发的同时，点Q从点B出发沿x轴正方向运动，速度是点P速度的三倍，连接，若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，求此时点Q的坐标． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求、的长； (2)已知点，在x轴上是否存在点D，使得以D、C、O为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点B与点A，直线与x轴正半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点D在直线上且不与点B重合，点E在直线上．若以A，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点D的坐标（不必写解答过程）； (3)已知平面内一点，作点P关于直线的对称点，作关于y轴的对称点，若恰好落在直线上，则m，n应满足怎样的等量关系？说明理由． 类型四、一次函数中的等腰三角形 【解惑】如图，直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M． （1）点M坐标为_____； （2）若点E在y轴上，且△BME是以BM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为_____． 【融会贯通】 1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点B和点C，点D是直线与y轴的交点． (1)直接写出点D、B的坐标： (2)设是直线在x轴上方图象上一点，当的面积为5时，点M的坐标为___； (3)P是x轴上的一个动点，若为等腰三角形，点P可能的位置有4个，请按照从左到右的顺序直接写出这四个位置的坐标 2．如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点和点，点是直线与轴的交点． (1)求点B、C、D的坐标； (2)设是直线上一点，的面积为，请求出与的函数关系式；探究当点运动到什么位置时，的面积为10，并说明理由． (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 类型五、一次函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，其中，满足. （1）求直线的解析式； （2）在平面直角坐标系中有一点，若,则与满足的关系式是什么？ （3）已知平行于轴且位于轴左侧有一动直线，分别与，交于点,且点在点的下方，点为轴上一动点，且为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标. 【融会贯通】 1．如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数 的图象经过点 ，与x轴以及的图象分别交于点 C，D，且点 D的坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在平面内直线的右侧是否存在点 P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，点A是x轴负半轴上一点，并且，点E是线段上一动点（不与端点重合），过点E作轴，交于F． (1)求所在直线的解析式； (2)若轴于点D，点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长； (3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．建立模型： (1)如图1，已知在中，，，顶点C在直线l上．过点A作于点D，过点B作于点F．求证：． (2)模型应用：（问题解决） 如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，以为腰在第二象限作等腰直角三角形，． a：点A、B的坐标分别为A______，B______； b：求点C坐标． 小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请你借助小明的思路，求出点C的坐标． (3)类比探究： 数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B坐标为，过点B作x轴的垂线l，点P是直线l上一个动点，点D是直线上的一个动点，若是以点D为直角顶点为等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标． 类型六、一次函数中的直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与y轴交于点，且与正比例函数交于． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)点D在y轴上，当是以为直角边的直角三角形时，求点D的坐标． 【融会贯通】 1．已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．    (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数的图象分别交于点C、D，点D的坐标为． (1)关于x、y的方程组的解为 ； (2)关于x的不等式的解集为 ； (3)求四边形的面积； (4)在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七、一次函数中的翻折 【解惑】如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A、B的坐标分别为（4，0），（0，3）． （1）求一次函数的表达式． （2）点C在线段OA上，沿BC将△OBC翻折，O点恰好落在AB上的D处， 求直线BC的表达式． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 2．如图1，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点． (1)点A的坐标是 ．点B的坐标是 ． (2)若点是直线上一点，则直线的解析式是 ． (3)在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (4)点E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B落在x轴上，请直接写出折痕所在直线的解析式． 类型八、一次函数中的旋转 【解惑】如图1，已知，分别从同时开始旋转，按逆时针方向旋转，旋转到与重合时停止旋转，按顺时针方向旋转，旋转到与重合后，立刻按原速度逆时针返回，与重合停止旋转．根据观察，最终同时停止旋转，旋转过程中的大小记作，旋转时间记作，y与t之间的关系如图2所示．    (1)依据图象，请直接填写：________°；旋转的速度是________；________； (2)当时，求旋转时间t的值． 【融会贯通】 1．在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，． (1)如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标． (2)如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标． (3)若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−4，4)，点B的坐标为(2，0)． (1)求线段AB的长； (2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标； (3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC−OD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)． 3．问题：探究一次函数y=kx+k+2（k是不为0常数）图象的共性特点，探究过程：小明尝试把x=-1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y=2．老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y=kx+k+2的图象一定经过定点（-1，2），老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数y=（k+3）x+（k-1）的图象是“点旋转直线” （1）一次函数y=（k+3）x+（k-1）的图象经过的定点P的坐标是 ． （2）已知一次函数y=（k+3）x+（k-1）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B ①若△OBP的面积为3，求k值； ②若△AOB的面积为1，求k值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04一次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、一次函数中的将军饮马 【解惑】已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）． （1）求点A的坐标； （2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：①点P的坐标；②PA+PB的最小值． 【答案】（1）A（﹣1，2）；（2）①P（，0）；②5 【分析】（1）依据点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，即可得到A（﹣1，2）； （2）作点A关于x轴的对称点C，则C（﹣1，﹣2），利用待定系数法即可得到直线BC的解析式，进而得到点P的坐标；依据勾股定理依据轴对称的性质，即可得到PA+PB的最小值． 【详解】解：（1）∵点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数， ∴， 解得1＜m＜3， ∴m＝2， ∴A（﹣1，2）； （2）如图，作点A关于x轴的对称点C，则C（﹣1，﹣2）， 连接BC交x轴于P，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则 ， 解得， ∴y＝x﹣； ①令y＝0，则x＝，即P（，0）； ②如图，过C作CD∥x轴，过B作BD∥y轴，则CD＝4，BD＝3， ∴Rt△BCD中，BC＝＝5， 即PA+PB的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，且，直线交轴于点． （1）求证：≌； （2）求直线的表达式； （3）若有一个动点在轴上，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）由点，，，即可求出和的长，然后利用证明≌； （2）由≌，得到，进而得到点的坐标，然后利用待定系数法求的表达式； （3）设点关于轴的对称点为点，连接交轴于点，此时最小，首先求出点的坐标，然后求出关于轴的对称点的坐标，然后求出直线的表达式，最后即可求出点的坐标． 【详解】（1）证明：，，， ， 轴， ， 在和中 ， ≌． （2）由（1）得：≌， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入， 得：， 解得：， 的表达式为． （3）设点关于轴的对称点为点，连接交轴于点，此时最小，如图， 在中，当时，， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入， 得：， 解得：， ， 当时，， 点的坐标是． 【点睛】本题考查了一次函数，图形的对称，全等三角形的判定和性质，准确找到点的位置是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P（，） (2)存在，13 【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． （1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可； （2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可． 【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B， 则有， ∵， ∴， 此时P的纵坐标为， ∴， ∴此时所求点P坐标为（，）． （2）动点P在直线运动过程中，存在最小值． 如图，作点O关于直线的对称点， 则有，     在中，令，得，令，得， 直线与x轴交点为，， 直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∵点O关于直线的对称点， ， ∵，当点P运动至三点共线时取等号，   ∵，             ∴的最小值为13， 即的最小值为13． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y=x交于点C． （1）若直线AB解析式为y=﹣2x+12， ①求点C的坐标； ②求△OAC的面积． （2）如图，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①C(4，4)；②12；（2）存在，最小值为3 【分析】（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标． ②欲求△OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点A和点C的坐标即可，点C的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可． （2）在OC上取点M，使OM＝OP，连接MQ，易证△POQ≌△MOQ，可推出AQ＋PQ＝AQ＋MQ；若想使得AQ＋PQ存在最小值，即使得A、Q、M三点共线，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：（1）①由题意， 解得 所以C(4，4)； ②把y=0代入y=﹣2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6，0）， 所以． （2）存在；由题意，在OC上截取OM=OP，连接MQ， ∵OP平分∠AOC， ∴∠AOQ=∠COQ， 又OQ=OQ， ∴△POQ≌△MOQ（SAS）， ∴PQ=MQ， ∴AQ+PQ=AQ+MQ， 当A、Q、M在同一直线上，且AM⊥OC时，AQ+MQ最小． 即AQ+PQ存在最小值． ∵AB⊥OP，所以∠AEO=∠CEO， ∴△AEO≌△CEO（ASA）， ∴OC=OA=4， ∵△OAC的面积为6，所以AM=2×6÷4=3， ∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度． 类型二、一次函数中的三点共线 【解惑】如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． (1)P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． (2)P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ (3)P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)P点运动到时距离A点最近 (2)见解析， (3)见解析， 【分析】本题考查了垂线段的性质、坐标与图形—轴对称变换、勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线段的性质即可得出答案； （2）作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小，则，过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C，则，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）连接并延长，交x轴于点，则当P在点位置时最大，待定系数法求出直线解析式，得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由垂线段最短可得：P点运动到时距离A点最近； （2）解：作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小， ， 过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C ，， 最小值为， （3）解：连接并延长，交x轴于点， ， ∵三角形任意两之差小于第三边， ∴当P在点位置时最大， 设直线的函数关系式为：， ，， ， ， ， 当时，，解得， ， ， 最大值为． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点．    (1)求a，b的值； (2)当线段最短时，求点B的坐标； (3)在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值． 【答案】(1) (2) (3)，最大值 【分析】 （1）首先把点代入直线得出的值， 再进一步代入直线求得的值即可； （2）当直线时, 线段最短，进而得出的坐标即可； （3）由三角形的三边关系得，,当三点共线时, ，, 即最大, 即为,进而解答即可. 【详解】（1）把点代入直线， 解得：， 把代入， 解得：， ∴，； （2）当垂直于直线时，线段最短，把直线与y轴的交点标记为E，    当时，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点B作于点M， ∴， ∴， ∴B； （3） 在轴上取点，由三角形的三边关系得，, 当三点共线时, ，, 即最大, 即为, 所以点在上, 把代入中, 得, 得, ∴, ∵, 过点作于点， ， 【点睛】 本题考查了一次函数的综合题，关键是根据一次函数图象上点的坐标特征与垂线段最短的性质解答，结合图形，选择适当的方法解决问题. 2．在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程． 证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点，连结， ∵点B，关于直线l对称，点C，在l上， ∴_________， _________，∴_________． 在中，∵，∴，即最小． (1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上） (2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的． (3)如图，平面直角坐标系中， ，P是坐标轴上的点，则的最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案） 【答案】(1) (2)连结并延长，交直线l于点P，点P即为所求；证明见解析 (3)或；或 【分析】（1）根据点B，关于直线l对称，可得，，从而得到．在中，根据三角形的三边关系，即可； （2）连结并延长，交直线l于点P，点P即为所求，根据三角形的三边关系，即可； （3）分两种情况讨论：当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点，连接， 延长交x轴于点P，则点P即为所求；此时的最大值为；当点P在y轴上时，连接，延长交y轴于点，则点即为所求，此时的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：证明：如图4，在直线l上另取任一点，连结， ∵点B，关于直线l对称，点C，在l上， ∴，， ∴． 在中，∵， ∴，即最小． 故答案为： （2）解：连结并延长，交直线l于点P，点P即为所求． 证明：如图，在直线l上任取任一点，连结， 在中，根据两边之差小于第三边得：， 而当点B，A，P共线时，， 所以此时最大； （3）解：如图，当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点，连接， 延长交x轴于点P，则点P即为所求；此时的最大值为， ∵， ∴点， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，连接，延长交y轴于点，则点即为所求，此时的最大值为， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 此时点的坐标为， 综上所述，的最大值为或，此时P点坐标为或． 故答案为：或；或 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际，最短距离问题，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握一次函数的图象和性质，勾股定理，三角形的三边关系是解题的关键． 3．如图①，平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴交于点A（﹣10，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣x交于点C（a，7）． (1)求直线AB的表达式； (2)如图②，在（1）的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y＝﹣x于点F，交直线y＝kx＋b于点G，若点E的坐标是（﹣15，0），求△CGF的面积； (3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM﹣PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； 【答案】(1)y=x+10 (2)240 (3)存在， 【分析】（1）先求得点C的坐标（-3.7），再将C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，即可得到直线AB的解析式； （2）先求得点G、F的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM-PC的值最大，据此求解即可； 【详解】（1）将点C（a，7）代入y=x，可得a=-3， ∴点C的坐标为（-3，7）， 将C（-3，7）和A（-10，0）代入y=kx+b，可得 ，解得， ∴直线AB的解析式为y=x+10； （2）∵点E的坐标是（﹣15，0）． ∴当时，y=和y=-15+10=-5， ∴点F的坐标为（-15，35），点G的坐标为（-15，-5）， ∴； （3）存在， 证明：由三角形的三边关系可知当点P、M、C在一条直线上时，PM-PC的值最大， 令x=0，则y=10， ∴点B的坐标（0，10）， ∵点M为y轴上OB的中点， ∴点M的坐标为（0，5）， 设直线MC的解析式为y=ax+5， 将C（-3，7）代入得：7=-3a+5，解得：a=-， ∴直线MC的解析式为y=−x+5， 当x=-15时，y=−×(−15)+5＝15， ∴点P的坐标为（-15，15）， ∴； 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，轴对称性质，全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是掌握三角形面积在坐标系内的求法，并且能够熟练使用三角形全等解题． 类型三、一次函数中的全等三角形 【解惑】如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点的坐标为，连接，过点作于点，点为线段上一个动点．    (1)的长为_____________，的长为_____________； (2)上是否存在一点，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）先求出点点坐标，由勾股定理和面积法可求解； （2）分两种情况讨论，先求出解析式，由全等三角形的性质可求解； 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，，当时，， 点，点， ， ∴， 点的坐标为， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 设直线的解析式为则：， 解得：， 直线的解析式为， 设点， 当时，， ， ， 点在第二象限， 点， 当时， ， ， 点在第二象限， 点， 综上所述：点坐标为：或． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，其中m、n满足二元一次方程组． (1)求点B和点C的坐标； (2)点P从点出发，沿y轴正方向运动，连接，设的长度为t，的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围； (3)在（2）的条件下，是的中线，点P从点E出发的同时，点Q从点B出发沿x轴正方向运动，速度是点P速度的三倍，连接，若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，求此时点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查解二元一次方程组，动点函数问题，全等三角形的判定： （1）解二元一次方程组，求出m和n的值即可； （2）分当P在上，在y轴正半轴上两种情况，利用三角形面积公式分别求解； （3），若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，则、或、，列出关于t的等式，求出t值，即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解： ，得， 解得， 将代入得：， 解得， ∴，，； （2）解：当P在上，即时： ， 当P在y轴正半轴，即时： ， 当时，不存在． 综上所述： （3）解：∵Q的速度为P的3倍， ∴， ∵， ∴与为对应角， ∴只要、或、，则与全等， ∵为中线， ∴， ∴， ①， ∴，， 当时，同时满足， ∴， ∴； ②， ∴， 当时，同时满足， ∴， ∴， 综上可知，点Q的坐标为或． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求、的长； (2)已知点，在x轴上是否存在点D，使得以D、C、O为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，利用图象与坐标轴交点求法分别得出即可； （2）根据全等三角形的判定，以及的长度，得出对应边关系求出即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当，则； 当，则， ∴A点坐标为：，B点坐标为：； ∴； （2）解：， ， ，点D在x上； ， ， 点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及一次函数与坐标轴交点坐标求法，找准D、C、O为顶点的三角形与对应顶点是解题关键． 3．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点B与点A，直线与x轴正半轴交于点C，且． (1)求直线的函数表达式； (2)点D在直线上且不与点B重合，点E在直线上．若以A，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点D的坐标（不必写解答过程）； (3)已知平面内一点，作点P关于直线的对称点，作关于y轴的对称点，若恰好落在直线上，则m，n应满足怎样的等量关系？说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为或或； (3)，理由见解析． 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的性质，轴对称的性质，利用参数表示点的坐标是解题的关键． （1）先求出点A，点C坐标，待定系数法可求解析式； （2）分三种情况讨论，由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可求解； （3）由轴对称的性质分别求出坐标，代入解析式可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点B与点A， ∴点，点， ， ， ， ∴点， 设直线的解析式为：， ， ， ∴直线的解析式为：； （2）， ， 当点D在点B下方时，若， ， 过点D作轴于H， ， ， ， ∴点D； 当点在点A上方时，若， ， ∴点A是的中点， ∵点A，点， ∴点； 当点在点A上方时，若， ， ∴点A是的中点， ∴点； 综上所述：点D的坐标为或或； （3）∵点关于直线的对称点， ∴点， 关于y轴的对称点， ， 恰好落在直线上， ， ． 类型四、一次函数中的等腰三角形 【解惑】如图，直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2：y＝x+1交x轴于点D，交y轴于点C，直线l1、l2交于点M． （1）点M坐标为_____； （2）若点E在y轴上，且△BME是以BM为一腰的等腰三角形，则E点坐标为_____． 【答案】（1） (，)；（2） (0，)或(0，)或(0，) 【分析】（1）解析式联立，解方程即可求得； （2）求得BM的长，分两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）解得， ∴点M坐标为（，）， 故答案为（，）； （2）∵直线l1：y＝﹣2x+2交x轴于点A，交y轴于点B， ∴B（0，2）， ∴BM＝＝， 当B为顶点，则E（0，）或（0，）； 当M为顶点，则MB＝ME， E（0，）， 综上，E点的坐标为（0，）或（0，）或（0，）， 故答案为（0，）或（0，）或（0，）． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及等腰三角形的特点． 【融会贯通】 1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点B和点C，点D是直线与y轴的交点． (1)直接写出点D、B的坐标： (2)设是直线在x轴上方图象上一点，当的面积为5时，点M的坐标为___； (3)P是x轴上的一个动点，若为等腰三角形，点P可能的位置有4个，请按照从左到右的顺序直接写出这四个位置的坐标 【答案】(1) (2) (3)；；； 【分析】（1）对于直，令，对于，令，即可求解； （2）先求出点C的坐标，可得，再根据三角形面积公式，求出x的值，即可求解； （3）分三种情况：若；若；若，即可求解． 【详解】（1）解：对于直，令，则， ∴点B的坐标为； 对于，令，则， ∴点D的坐标为； （2）解：∵是直线在x轴上方图象上一点， ∴， 对于，令，则， ∴点C的坐标为， ∵点B的坐标为， ∴， ∵的面积为5， ∴，即， 解得：， ∴点M的坐标为； 故答案为： （3）解：设点P的坐标为， ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， 若， ∴， 解得：或9， 此时点P的坐标为或； 若，此时点P和点C关于y轴对称， ∴点P的坐标为； 若，如图， 此时，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为；；；． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．如图，已知点是正方形的一个顶点，E是的中点，点P是直线上一点． (1)求点E的坐标和直线的解析式； (2)若的面积为21，求此时P点坐标； (3)若点P是直线在第一象限的一个动点，连接，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点E的坐标为，直线的解析式为 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据正方形的性质求出点E和C的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，利用列方程解题； （3）设点P的坐标为，分为，和三种情况，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】（1）解：∵点是正方形的一个顶点， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：设点P的坐标为， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 当时，，解得：，， ∴点P的坐标为或（舍去）； 当时，，即，解得， ∴点P的坐标为； 当时，解得：（舍去）或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与分别交轴于点和点，点是直线与轴的交点． (1)求点B、C、D的坐标； (2)设是直线上一点，的面积为，请求出与的函数关系式；探究当点运动到什么位置时，的面积为10，并说明理由． (3)在线段上是否存在点，使为等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，或，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数与几何图形的综合应用： （1）分别令，求出一次函数与坐标轴的交点坐标即可； （2）根据的面积等于，列出函数关系式，令，求出的坐标即可； （3）设，两点间距离公式求出，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵，当时，，当时，， ∴． （2）∵是直线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴， 当或，，理由如下： 当时，， 解得：或， ∴或． （3）设， ∵， ∴， 当时，则：解得：或（舍去）， ∴； 当时：，解得：或，均不符合题意，舍去； 当时：，解得：， ∴； 综上：或． 类型五、一次函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，其中，满足. （1）求直线的解析式； （2）在平面直角坐标系中有一点，若,则与满足的关系式是什么？ （3）已知平行于轴且位于轴左侧有一动直线，分别与，交于点,且点在点的下方，点为轴上一动点，且为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标. 【答案】(1)的解析式为;(2) m+n=3或m+n=-3;(3) (0,)，（0，），（0，）. 【分析】(1)可得A(-1,1)B(0,3)，设的解析式为，代入A(-1,1)，可得的解析式； （2）①当点P在的右侧时,设点P为,且B//，B的解析式为:y=-x+3,即：n=-m+3，m+n=3，②当点P在的左侧时,设点P为,，，可得B点关于O点的对称点位（0，-3）点在；上，且//，的解析式为:y=-x-3，即：n=-m-3，m+n=-3； （3）设动直线为x=t,由题可得-1＜t＜0,则M（t，-t），N(t，2t+3),MN=3t+3, 当NM⊥NQ且NM=NQ时,Q(0,2t+3)，由3t+3=-t,t=-，可得Q的值， 当MN⊥MQ且NM=MQ时,Q(0,-t)，由3t+3=-t，t=-，可得Q的值， 当QN⊥QM且QN=QM时，Q(0,),可得2t+3-（）=-t，解得t=，可得Q的值. 【详解】解：（1）由题可得: a=-1,b=3 则点A(-1,1)B(0,3) 设的解析式为，代入A(-1,1)得:1=-k+3, 解得：k=2， 的解析式为 (2),则点P到AO的距离与点B到AO的距离相等,且点P位于h两侧； ①当点P在的右侧时,设点P为,且B// B的解析式为:y=-x+3,即：n=-m+3，m+n=3 ②当点P在的左侧时,设点P为,， 可得B点关于O点的对称点位（0，-3）点在；上，且//， 的解析式为:y=-x-3，即：n=-m-3，m+n=-3； 综合：m+n=3或m+n=-3; (3)设动直线为x=t,由题可得-1＜t＜0, 则M（t，-t），N(t，2t+3),MN=3t+3, 当NM⊥NQ且NM=NQ时,Q(0,2t+3)，由3t+3=-t,t=-，此时(0,) 当MN⊥MQ且NM=MQ时,Q(0,-t)，由3t+3=-t，t=-，此时（0，） 当QN⊥QM且QN=QM时,Q(0,),可得2t+3-（）=-t，解得t=，此时（0，）， 综上(0,)，（0，），（0，）. 【点睛】本题主要考查一次函数与三角形的综合，综合性大，需综合运用所学知识求解. 【融会贯通】 1．如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数 的图象经过点 ，与x轴以及的图象分别交于点 C，D，且点 D的坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)求四边形的面积； (3)在平面内直线的右侧是否存在点 P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可求解； （2）连接，根据，即可求解； （3）分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得： ， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 由（1）得：， 对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， ∴， ∴    ； （3）解：如图，当时，过点D作轴，，垂足分别为， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 如图，当时，过点D作轴，轴，垂足分别为， 同理点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 2．如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，点A是x轴负半轴上一点，并且，点E是线段上一动点（不与端点重合），过点E作轴，交于F． (1)求所在直线的解析式； (2)若轴于点D，点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长； (3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，； (3)，或，或，． 【分析】（1）由直线可求得、坐标，再结合，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）根据直线解析式可求得点的纵坐标，由轴则可得出点纵坐标，代入直线解析式可求得点横坐标，从而可表示出及的长； （3）设，由为等腰直角三角形，分、和三种情况进行讨论，分别求得点坐标． 【详解】（1）在中，令可得，令可得，解得， ，， ，， ， ，即， 解得:， ， 设直线解析式为， ， 解得:， 直线解析式为． （2）轴，且， 点横坐标为， 在中，令，可得， ， 轴， 点纵坐标为， 在中，令，可得， 解得：， ， ，， ． （3）假设存在满足条件的点，设其坐标为， 为等腰直角三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有， 由（2）可得，， ，解得， ，； ②当时，则有， 在中，令可得， ， 在中，令，可得，解得， ， ，解得， ，； ③当时，如图，过作于点，则， 由（2）可知，， ，解得， ，， ， ，； 综上可知存在满足条件的点，其坐标为，或，或，． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及三角形的面积、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想．在（1）中求得点坐标是解题的关键，在（2）中分别表示出、的坐标是解题的关键，在（3）中确定出点的位置，利用等腰直角三角形的性质得到关于点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 3．建立模型： (1)如图1，已知在中，，，顶点C在直线l上．过点A作于点D，过点B作于点F．求证：． (2)模型应用：（问题解决） 如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，以为腰在第二象限作等腰直角三角形，． a：点A、B的坐标分别为A______，B______； b：求点C坐标． 小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请你借助小明的思路，求出点C的坐标． (3)类比探究： 数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B坐标为，过点B作x轴的垂线l，点P是直线l上一个动点，点D是直线上的一个动点，若是以点D为直角顶点为等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)a：，；b； (3)，或， 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据坐标轴上点的特点建立方程即可求出点A、B的坐标，过点C作轴于点D，证明，从而求得、，即可求得点D的坐标； （3）同（2）的方法构造出，分两种情况，建立方程求解即可求出结果． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 又， ， ∴在和中， （2）解：由题意可得：将代入，得， ∴点B的坐标为； 将代入，得，解得， ∴点A的坐标为； ，， 如图，过点C作轴于点D， 由（1）同理可证 ， ，， ， ∴点C的坐标为 ， 故答案为：a：，；b：． （3）解：如图，过点D作轴于点F，延长交于G，则， ∵点D在直线， ∴设点， ∴，， 轴，， ， ∵点A坐标为，所以． 由（2）同理可得， ，， ， ，解得或， ∴所以点D的坐标为或． 当时，，， 所以，，所以，所以， 当时，，， 所以，，所以， 所以． 综上所述，点D与点P的坐标为，或，． 【点睛】本题考查了一次函数的综合运用、全等三角形的判定和性质和方程的思想，构造全等三角形是解题的关键． 类型六、一次函数中的直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与y轴交于点，且与正比例函数交于． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)点D在y轴上，当是以为直角边的直角三角形时，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)点D的坐标为或 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法，直角三角形的性质是解题的关键． （1）将点代入，可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设，分两种情况：①当时，②当时，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵将点代入， ∴， ， ， 将，代入一次函数的解析式为得： ， 解得， ∴； （2）设， 令,得， ， ， ， ①当时，， ， 解得， ∴点D的坐标为； ②当时，， ， 解得， ∴点D的坐标为； 综上所述：点D的坐标为或． 【融会贯通】 1．已知直线经过点，交x轴于点，直线交直线于点B．    (1)求直线的解析式和点B的坐标． (2)求的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数求出直线的函数表达式，再联立直线，的函数表达式，可得点的坐标； （2）根据，，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）设直线的函数表达式为． 图象经过点，， ， 解得， 直线的函数表达式为． 联立， 解得：， 点的坐标为； （2），， ； （3）点在轴上， ， 当是直角三角形时，需分和两种情况． ①当时，点在图中的位置： 点和点均在轴上， 轴． ， ；    ②当时，点在图中的位置： 设， ，，， ，，，， ． 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ． 综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形，点的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【分析】（1）把点代入函数求出m的值即可得到点坐标，把点C的坐标代入即可求出b的值； （2）①求出A的坐标为，点D的坐标为，得到，由题意得：，则，过点C作轴，垂足为点F，根据题意列出关于t的方程，解方程即可得到答案； ②先写出使得为直角三角形时的值，然后利用分类讨论的方法分别求得当和对应的的值即可； 本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思相解答． 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 3．如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数的图象分别交于点C、D，点D的坐标为． (1)关于x、y的方程组的解为 ； (2)关于x的不等式的解集为 ； (3)求四边形的面积； (4)在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)4； (4)或． 【分析】这是一道一次函数综合题，主要考查一次函数与x轴、y轴的交点、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与不等式的关系，三角形的面积、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答． （1）根据题目中的两个函数解析式可以求得点D的坐标、从而可以得到关于x、y的方程组的解； （2）根据一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想可以得到关于x的不等式的解集； （3）根据点D在一次函数上，可以求得b的值，然后即可求得点C和点B的坐标，再根据图形可知四边形的面积的面积的面积，代入数据即可解答本题； （4）根据题意，画出相应的图形，可知有三种情况，然后分别进行讨论计算即可解答本题． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上， ， ∴点D的坐标为， ∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点D， 的解是， ∴关于x、y的方程组的解为， 故答案为：； （2）由（1）可知点D的坐标为， ∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点D， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：； （3）∵一次函数， ∴当时，， ∴点A的坐标为， ∵点D在一次函数上， ，得， ∴一次函数， 当时，，当时，， ∴点C的坐标为，点B的坐标为， ， ， 即四边形的面积是4； （4）如图2，当点E为直角顶点时，过点D作轴于， ， ； 当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E； 当点D为直角顶点时，过点D作交x轴于点， 设， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ， 在中， ， ． 解得． ； 由上可得，点E坐标为或． 类型七、一次函数中的翻折 【解惑】如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A、B的坐标分别为（4，0），（0，3）． （1）求一次函数的表达式． （2）点C在线段OA上，沿BC将△OBC翻折，O点恰好落在AB上的D处， 求直线BC的表达式． 【答案】（1）y=x+3； （2）BC直线解析式y=-2x+3． 【分析】（1）把A，B两点坐标代入一次函数解析式可得相关值； （2）利用勾股定理可得OC的值，也就求得了C的坐标，代入解析式可得BC的解析式． 【详解】解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b， 分别把A（4，0），B（0，3）代入得0=4k+b，解得3=b， ∴b=3，k= ， ∴y=x+3 （2）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3；则AB=5             ∵翻折 ∴BD=OB=3，OC=DC，∠BDC=∠BOC=90° ∴AD=5-3=2， 设OC=x， 在Rt△CDA中 ∴ ∴ ∴C 设直线BC的解析式为y=kx+3， 将C代入y=kx+3得出k=-2 ∴BC直线解析式 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴相交于、两点，点在线段上，以为直角边作等腰直角，，点恰好落在直线上． (1)求k、b的值； (2)求点D的坐标； (3)若将沿直线翻折到直角坐标系平面得，求过点且与直线平行的直线的解析式． 【答案】(1)， (2) (3)解析式为 ． 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，两直线平行问题，等腰直角三角形的性质，翻折的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将、两点代入即可求解； （2）过点作轴于点．设，根据可证明，可得，，由点恰好落在直线上即可求解； （3）连接交于，由翻折得，，根据等腰三角形的性质可得，可得，设过点且与直线平行的直线的解析式为，将代入即可求解． 【详解】（1）一次函数的图象与轴、轴相交于、两点， ， 解得， 即，； （2）过点作轴于点． 设， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ； ，， ， ，， 直线的解析式为， 点恰好落在直线上， ， 解得， ； （3）连接交于， 由翻折得，， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 设过点且与直线平行的直线的解析式为， 将代入得， 解得， 过点且与直线平行的直线的解析式为． 2．如图1，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数与平面几何的综合，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特征以及勾股定理是解题的关键． （1）把代入，即可求解； （2）依据题意得出，，令，则，得到，再根据勾股定理得，从而得到，设，由折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）当时，， 所以点坐标为； （2）， ，， 当时，，所以， ， 由折叠知，，， ， 设，则，， 在中：， 即， 解得：， 的长为． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点． (1)点A的坐标是 ．点B的坐标是 ． (2)若点是直线上一点，则直线的解析式是 ． (3)在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (4)点E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B落在x轴上，请直接写出折痕所在直线的解析式． 【答案】(1)； (2) (3)存在， (4) 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解； （3）先求出，设点D的坐标为，根据的面积等于的面积，列出方程，即可求解； （4）设点B的对称点为F，连接，，根据折叠的性质可得垂直平分，，然后在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：令，， 令，， ∴点A的坐标是．点B的坐标是； 故答案为：； （2）解：∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 故答案为：； （3）解：存在， 由（1）得：点A的坐标是．点B的坐标是， ∴， 设点D的坐标为， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点D的坐标为； （4）解：如图，设点B的对称点为F，连接，， 根据题意得：垂直平分，， ∴，， 设点E的坐标为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，勾股定理，图形的折叠，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 类型八、一次函数中的旋转 【解惑】如图1，已知，分别从同时开始旋转，按逆时针方向旋转，旋转到与重合时停止旋转，按顺时针方向旋转，旋转到与重合后，立刻按原速度逆时针返回，与重合停止旋转．根据观察，最终同时停止旋转，旋转过程中的大小记作，旋转时间记作，y与t之间的关系如图2所示．    (1)依据图象，请直接填写：________°；旋转的速度是________；________； (2)当时，求旋转时间t的值． 【答案】(1)120，，27； (2)或或． 【分析】本题考查了图象与数据之间的关系，关键是从函数图象获取信息，用路程问题来解决问题； （1）根据图象和题中的条件得到角度，再用相遇问题来求出所用的时间； （2）根据相遇，追击来解决旋转的时间． 【详解】（1）解：根据图象，y轴上的点是，是最大值，也就是没运动时的角度， 所以， 观察图象得到运动6秒时，两条线重合，所以， 因为在最终停止运动，运动两个路程，运动一个路程， 所以，，， 当运动a秒时，到， 所以（秒）， 当运动b秒时，运动到，又返回到， 所以（秒）， 所以（秒）， 故答案为：，，27． （2）当未相遇时， （秒）， 当相遇后，没到时， （秒）， 当相遇后，且到达过， ， 解得， 当时，． 【融会贯通】 1．在直角坐标系中，的顶点与原点重合，，． (1)如图1，过点作轴于，过点作轴于，若点的坐标为，求点的坐标． (2)如图2，将绕点任意旋转．若点的坐标为，求点的坐标． (3)若点的坐标为，点的坐标为，试求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据点坐标可以得出，，由轴，轴，可得∴，结合，可得，证明即可得出结论． （2）作轴于，作轴于．如图2，若点在第一象限，则，．可证，则，． 则第四象限点为即可得出结论． （3）由（2），可得即可求解． 【详解】（1）∵，∴，． ∵轴，轴，∴． ∵，∴． ∴． ∵，∴． ∴，． ∴点的坐标为． （2）作轴于，作轴于． 如图2，若点在第一象限，则，． 由（1），同理可证．则，． 则第四象限点为． 同理，若点在第二象限，则第一象限点为． 若点在第三象限，则第二象限点为． 若点在第四象限，则第三象限点为． 综上，若点的坐标为，点的坐标为． （3）由（2），可得 由①，解得． 把代入②，得． 解得．检验符合． ∴，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及一次函数的性质及图象特点，熟练掌握全等三角形的判定及一次函数的性质是解决本题的关键． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−4，4)，点B的坐标为(2，0)． (1)求线段AB的长； (2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标； (3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC−OD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)． 【答案】（1）；（2）；（3）不变， 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）分∠BAM=90°或∠ABM=90°两种情况构造直角三角形，然后运用勾股定理求解即可； （3）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为G、H，可证明△AGC≌△AHD，可得到GC=HD，从而可把OC-OD转化为HD-OD，再利用线段的和差可求得OC-OD=OG+OH=8． 【详解】（1）作AE⊥x轴于点E ∵点A(−4，4)，点B(0，2)，． ∴AE=4，  BE=6．     ∴线段AB (2)∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形， ∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°， ①当∠BAM=90°时，如图1， 过A作AB的垂线，交x轴于点，交y轴于点M2， 设M1（x，0）， AM12=(-4-x)2+(4-0)2=x2+8x+32，   BM12=(2+x)2=x2+4x+4，       AB2=52 ∵AM12+AB2 =BM12 ∴x2+8x+32+52=x2+4x+4，   得：x=-20， ∴M1（-20，0） 设M2（0，y） AM22=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，   BM22=22+y2 =y2+4，  AB2=52 ∵AM22+AB2 =BM22 ∴y2-8y+32+52=y2+4 得：y=10， ∴M2（0，10） ②当∠ABM=90°时，如图2， 过B作AB的垂线，交y轴于点M3， 设M3（0，y） AM32=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，    BM32=22+y2 =y2+4，   AB2=52 ∵BM32+AB2 =AM32 ∴y2+4+52=y2-8y+32 得：y=-3， ∴M3（0，-3） 综上可知点M的坐标为M1（-20，0），M2（0，10），M3（0，-3） (3)不变．OC−OD=8． 理由如下： 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3． 则∠AGC=∠AHD=90°， 又∵∠HOC=90°， ∴∠GAH=90°， ∴∠DAG+∠DAH=90°， ∵∠CAD=90°， ∴∠DAG+∠CAG=90°， ∴∠CAG=∠DAH． ∵A(−4，4)， ∴OG=AH=AG=OH=4． 在△AGC和△AHD中 ∠AGC=∠AHD，AG=AH，∠CAG=∠DAH ∴△AGC≌△AHD(ASA)， ∴GC=HD． ∴OC−OD=(OG+GC)−(HD−OH)=OG+OH=8． 故OC−OD的值不发生变化，值为8 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出M点的位置是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 3．问题：探究一次函数y=kx+k+2（k是不为0常数）图象的共性特点，探究过程：小明尝试把x=-1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y=2．老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y=kx+k+2的图象一定经过定点（-1，2），老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数y=（k+3）x+（k-1）的图象是“点旋转直线” （1）一次函数y=（k+3）x+（k-1）的图象经过的定点P的坐标是 ． （2）已知一次函数y=（k+3）x+（k-1）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B ①若△OBP的面积为3，求k值； ②若△AOB的面积为1，求k值． 【答案】（1）（-1，-4）；（2）①k=7或-5；②k=5或-1． 【分析】（1）先把一次函数y=（k+3）x+（k-1）整理为y=k（x+1）+3x-1的形式，再令x+1=0，求出y的值即可； （2）先用k表示出AB的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）∵一次函数y=（k+3）x+（k-1）整理为y=k（x+1）+3x-1的形式， ∴令x+1=0，则x=-1， ∴y=-4， ∴P（-1，-4）． 故答案为（-1，-4）； （2）∵一次函数y=（k+3）x+（k-1）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B ∴A（，0），B（0，k-1）． ①∵△OBP的面积为3， ∴|k-1|=3，解得k=7或-5； ②∵△AOB的面积为1， ∴×|k-1|×||=1，解得k=5或-1． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$