专题04 一次函数（中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题04一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、正比例函数的图像与性质 【解惑】关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【融会贯通】 1．已知的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 2．已知正比例函数中，图象在二四象限，则k的取值范围是 ． 3．正比例函数的图象上两点，，当时，有，则的取值范围是 ． 类型二、已知函数经过的象限求参 【解惑】若一次函数不经过第三象限，则下列说法正确的是（    ） A．，随的增大而减小 B．，随的增大而减小 C．，随的增大而增大 D．，随的增大而减小 【融会贯通】 1．已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则代数式可化简为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点M，N，P，Q的位置如图所示，若直线经过第一、三象限，则直线可能经过的点是 ．    3．已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则取值范围为 ． 类型三、一次函数的平移 【解惑】将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A． B． C． D． 2．将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 3．已知一次函数的图象向上平移个单位后，与轴、轴分别相交于两点，则的面积等于 ． 类型四、根据一次函数增减性求参 【解惑】对于一次函数，当自变量x增加2时，函数值y则减少4，那么k的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【融会贯通】 1．已知一次函数，若y的值随x的值的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的取值范围是 ． 3．已知一次函数．当时，函数y有最大值，则a的值为 ． 类型五、一次函数与坐标轴的交点 【解惑】关于一次函数的描述，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象沿y轴向下平移3个单位，可得到正比例函数 C．图象与x轴的交点坐标为 D．函数值随自变量的增大而减小 【融会贯通】 1．关于函数，下列结论错误的是（    ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与直线平行 D．函数值y随x的增大而减小 2．将直线向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点坐标为 ． 3．若直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12，则k的值为 ． 类型六、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【解惑】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ． 3．已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为 ． 类型七、列一次函数解析式并求值 【解惑】已知与成正比例，且当时，. （1）求与之间的函数表达式； （2）已知点在该函数的图像上，求的值. 【融会贯通】 1．如图，已知两直线 和 分别与 轴交于、两点，点的坐标为 ，且这两条直线相交于点． (1)求 的值； (2)求 的长． 2．已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 3．已知矩形ABCD的周长为20，AB的长为y，BC的长为x． （1）写出y关于x的函数解析式（x为自变量）； （2）当x＝3时，求y的值． 类型八、比较一次函数值的大小 【解惑】问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质． 小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究． 下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数； （2）如表是y与x的几组对应值 x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m … ①m等于多少； ②若A（n，2018），B（2020，2018）为该函数图象上不同的两点，则n等于多少； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；根据函数图象可得：该函数的最小值为多少；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积等于多少； （4）已知直线y1＝x﹣与函数y＝|x|﹣2的图象交于C，D两点，当y1≥y时，试确定x的取值范围． 【融会贯通】 1．已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象． (2)根据函数图象回答： ①不等式的解集是__________. ②当x__________时，． ③当时，相应x的取值范围是__________. 2．定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数，我们把的函数称为一次函数的反射函数． (1)写出一次函数的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象． (2)若，都在（1）中y'图象上，，若，求a的取值范围． (3)已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点是同一坐标平面上的一个动点，当时，求p的取值范围． 3．某数学兴趣小组，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 2 3 4 5 … (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：其中m＝ ． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： (3)写出一条函数图象的性质 (4)当时，x的取值范围为 ． 【一览众山小】 1．小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（    ） 码数x 26 30 34 42 长度y 18 20 22 26 A． B． C． D． 2．一次函数上有两点，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．直线 经过点，则的值为 ． 4．直线与坐标轴围成的的面积是 ． 5．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)这一变化过程中， 是变量， 是常量； (2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； (3)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 6．已知关于x的函数是一次函数． (1)求m的值； (2)在该一次函数中，当时，求y的最大值． 7．已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数解析式． 8．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空： ①当时，_______； ②当时，______； ③当时，_______； (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象； … 0 1 2 3 … … 0 1 2 1 0 … (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有_______个交点，方程有_______个解； ②方程有_______个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是_______． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、正比例函数的图像与性质 【解惑】关于正比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大 C．当时， D．图象经过第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据函数图象的性质与增减性逐一分析即可． 【详解】解：A、由函数可知，当时，，则图象经过点，该选项错误； B、由函数可知，当时，则随的增大而减小，该选项错误； C、由函数可知，当时，，该选项错误； D、由于函数，，则函数图象经过第二、四象限正确； 故选：D． 【融会贯通】 1．已知的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图像，把点代入解析式，求解即可． 【详解】解：把点代入，得：， ∴； 故选A． 2．已知正比例函数中，图象在二四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了正比例函数的性质，当时，正比例函数图象在二、四象限，当时，正比例函数图象在一、三象限，据此得到，即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数中，图象在二四象限， ∴， ∴ 故答案为： 3．正比例函数的图象上两点，，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据时，随的增大而增大；时，随的增大而减小，可得，解不等式即可求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 类型二、已知函数经过的象限求参 【解惑】若一次函数不经过第三象限，则下列说法正确的是（    ） A．，随的增大而减小 B．，随的增大而减小 C．，随的增大而增大 D．，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由一次函数不经过第三象限，可得，，进而由一次函数的性质即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数不经过第三象限， ∴，， ∴随的增大而减小， ∴，随的增大而减小， 故选：． 【融会贯通】 1．已知关于的一次函数的图象经过第一、二、四象限，则代数式可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，明确题意、利用一次函数的性质得到m的取值范围是解题的关键． 根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到m的取值范围，然后取绝对值后计算即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，解得：， ∴． 故答案为：5． 2．在平面直角坐标系中，点M，N，P，Q的位置如图所示，若直线经过第一、三象限，则直线可能经过的点是 ．    【答案】M 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据直线经过第一、三象限，得到，进而得到直线经过第一、三，四象限，再由直线与y轴交于即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过第一、三象限， ∴， ∴直线经过第一、三，四象限，且与y轴交于， ∴直线可能经过的点是M， 故答案为：M． 3．已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，由题意可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象特点是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 类型三、一次函数的平移 【解惑】将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，掌握在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”成为解题的关键． 根据平移规律“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：将直线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得直线的表达式为，即． 故选：C． 【融会贯通】 1．在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律求出直线向上平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入与，验证即可． 【详解】解：直线向上平移个单位后，得到， A．把代入得，， ∴交点不可能是，故A不合题意； B．把代入得，， ∴交点不可能是，故B不合题意； C．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点可能是，故C符合题意； D．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点不可能是，故D不合题意； 故选：C． 2．将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是， 故答案为：； 3．已知一次函数的图象向上平移个单位后，与轴、轴分别相交于两点，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据“上加下减”得平移规律即可求出点坐标，从而求得的长，最后根据三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象向上平移个单位， ∴平移后得解析式为， 当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴的面积等于， 故答案为：． 类型四、根据一次函数增减性求参 【解惑】对于一次函数，当自变量x增加2时，函数值y则减少4，那么k的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据函数值的变换列式计算即可． 本题考查了一次函数的计算，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意， 解得， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知一次函数，若y的值随x的值的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，利用一次函数的性质，可得出，解之即可得出的取值范围．牢记“，随x的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 【详解】解：∵的值随的值的增大而增大， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 故选：A． 2．若一次函数的图象经过点和点，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 解得． 故答案为：． 3．已知一次函数．当时，函数y有最大值，则a的值为 ． 【答案】9.5 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得当时，函数取得最大值，进一步求解即可． 【详解】， 随着增大而增大， 当时，函数有最大值， 当时，， 即， 解得， 故答案为：9.5 类型五、一次函数与坐标轴的交点 【解惑】关于一次函数的描述，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象沿y轴向下平移3个单位，可得到正比例函数 C．图象与x轴的交点坐标为 D．函数值随自变量的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、平移变换与坐标变化，利用一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴一次函数经过一、二、三象限，且函数值随自变量的增大而增大， 故A 、D错误，不合题意； 一次函数向下平移3个单位，可得到， 故B正确，符合题意； 把代入得，解得：，所以图象与轴的交点坐标为， 故C错误，不合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．关于函数，下列结论错误的是（    ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与直线平行 D．函数值y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限，随增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随增大而减小；当，图象与轴的交点在的上方；当，图象经过原点；当，图象与轴的交点在的下方． 根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、当，，则点在函数图象上，故本选项不符合题意； B、由于，则函数的图象必过第二、四象限，，图象与轴的交点在的上方，则图象还过第一象限，所以图象经过第一、二、四象限，原说法错误，故本选项符合题意； C、由于直线与直线的k值相等且与轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项不符合题意； D、由于，则随增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．将直线向上平移2个单位长度后的直线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标的平移、直线与坐标x轴的交点问题等知识点，掌握平移规律“纵坐标向上平移加，向下平移减”是解题的关键． 先根据坐标的平移规律求得函数解析式，然后求得平移后的直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度，所得直线为：， 令，解得：， ∴平移后的直线与x轴的交点坐标为：． 故答案为：． 3．若直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 先判断出，再求出直线与两条坐标轴的交点坐标，然后利用直角三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题意得：， 当时，，解得， 即直线与轴的交点坐标为， 当时，，即直线与轴的交点坐标为， ∵直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解． 故答案为：． 类型六、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【解惑】若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 【融会贯通】 1．已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 2．已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ． 【答案】（−2，0） 【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：当y＝0时，ax−b−1＝0， ∴ax−b＝1， ∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0）， 故答案为：（−2，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 3．已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为 ． 【答案】（-5，0） 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴一次函数的图象与轴交点的坐标为（-5，0）， 故答案为：（-5，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 类型七、列一次函数解析式并求值 【解惑】已知与成正比例，且当时，. （1）求与之间的函数表达式； （2）已知点在该函数的图像上，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由与成正比例可设，将，代入即可； （2）将点代入函数表达式可求得a的值. 【详解】解：（1）设，当时，代入得， 所以与之间的函数表达式. （2）将点代入得， 解得， 所以的值为0. 【点睛】本题考查了一次函数，正确理解正比例函数的定义是解题的关键. 【融会贯通】 1．如图，已知两直线 和 分别与 轴交于、两点，点的坐标为 ，且这两条直线相交于点． (1)求 的值； (2)求 的长． 【答案】(1)值为 (2) 【分析】（1）将点代入，即可求出值， （2）求出交点坐标，再根据两点间距离公式求出的长度， 本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求两直线交点坐标，以及两点间距离公式，解题的关键是：熟练掌握列方程求交点坐标，两点间距离公式． 【详解】（1）解：在直线上， 解得 ， 故答案为：值为， （2）直线 与交于点 C， ，解得：， 点坐标为：， 点是直线 与轴的交点， 时，，， 点坐标为：， ， 故答案为：． 2．已知与成正比例，且时， (1)求y与x的函数表达式； (2)点在该函数图象上，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出即可； （2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）设与的表达式为， 把时，代入得， 解得， ∴与的关系式为， 即； （2）∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质． 3．已知矩形ABCD的周长为20，AB的长为y，BC的长为x． （1）写出y关于x的函数解析式（x为自变量）； （2）当x＝3时，求y的值． 【答案】（1）y＝10﹣x；（2）7． 【分析】（1）根据矩形周长公式得到x与y的关系，进而得到y关于x的函数解析式； （2）把x＝3代入（1）中解析式即可． 【详解】解：（1）依题意得2x+2y＝20， 即y＝10﹣x， ∴y关于x的函数解析式为y＝10﹣x． （2）把x＝3代入y＝10﹣x，得： y＝10﹣3＝7， ∴x＝3时，y的值为7． 【点睛】本题考查一次函数解析式，以及函数的值；根据矩形的周长公式得到x与y的关系是解题关键． 类型八、比较一次函数值的大小 【解惑】问题：探究函数y＝|x|﹣2的图象与性质． 小华根据学习函数的经验，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究． 下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数y＝|x|﹣2中，自变量x可以是任意实数； （2）如表是y与x的几组对应值 x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m … ①m等于多少； ②若A（n，2018），B（2020，2018）为该函数图象上不同的两点，则n等于多少； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；根据函数图象可得：该函数的最小值为多少；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积等于多少； （4）已知直线y1＝x﹣与函数y＝|x|﹣2的图象交于C，D两点，当y1≥y时，试确定x的取值范围． 【答案】（2）①m＝1；②﹣2020；（3）该函数的最小值为﹣2；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是4；（4）当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤3． 【分析】（2）①把x＝3代入y＝|x|﹣2，即可求出m； ②把y＝2018代入y＝|x|﹣2，即可求出n； （3）画出该函数的图象即可求解； （4）在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x﹣与函数y＝|x|﹣2的图象，根据图象即可求出y1≥y时x的取值范围． 【详解】（2）①把x＝3代入y＝|x|﹣2，得m＝1； ②把y＝2018代入y＝|x|﹣2，得2018＝|x|﹣2， 解得x＝﹣2020或2020， ∵A（n，2018），B（2020，2018）为该函数图象上不同的两点， ∴n＝﹣2020； （3）该函数的图象如图， 由图可得，该函数的最小值为﹣2；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是×4×2＝4； （4）在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x﹣与函数y＝|x|﹣2的图象， 由图形可知，当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤3． 故答案为（2）①m＝1；②﹣2020；（3）该函数的最小值为﹣2；该函数图象与x轴围成的几何图形的面积是4；（4）当y1≥y时x的取值范围是﹣1≤x≤3． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征．正确画出函数的图象，利用数形结合思想是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知一次函数，完成下列问题： (1)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象． (2)根据函数图象回答： ①不等式的解集是__________. ②当x__________时，． ③当时，相应x的取值范围是__________. 【答案】(1)见详解 (2)①②③． 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是画出函数图象，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数解析式，可以求得该函数与轴和轴的交点坐标，然后即可画出该函数的图象； （2）根据函数图象，熟练运用数形结合思想 ①可以写出不等式的解集， ②当为何值时，， ③当取何值时，． 【详解】（1）解： ， 当时，，当时，， 即该函数图象过点，， 函数图象如图所示， ； （2）解：①由图象可得，不等式的解集是． 故答案为：； ②由图象可得，当时，； 故答案为：； ③∵，随的增大而增大 ∴，解得； ∴，解得 当时，相应的取值范围是， 故答案为：． 2．定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数，我们把的函数称为一次函数的反射函数． (1)写出一次函数的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象． (2)若，都在（1）中y'图象上，，若，求a的取值范围． (3)已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点是同一坐标平面上的一个动点，当时，求p的取值范围． 【答案】(1)，画图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图，解不等式、新定义等，数形集合是解题的关键. （1）由题意即可求出函数表达式，取点、描点、连线绘制图象即可； （2）同理可得：即可求解； （3）联立上式和得: 解得：联立和 同理可得： 当 时, 即 即可求解. 【详解】（1）由题意得: 当,, 当,, 当, 将上述点描点、连线绘制图象如下： （2）则, , 就点、在和上, 则, 同理可得:, ∵, 即, 解得: , 即； （3）由点的坐标知，点在直线 (下图,虚线)上, 联立上式和得: 解得： 联立和 同理可得： 当时, 即 即 3．某数学兴趣小组，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 2 3 4 5 … (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：其中m＝ ． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： (3)写出一条函数图象的性质 (4)当时，x的取值范围为 ． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)见解析 (4)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，列表、描点、连线是画函数图象的一般方法，解题的关键是： （1）把代入求出y的值即可； （2）连线即可得出函数的图象； （3）根据函数的图象直观得出结论 （4）根据函数图象，当时，对应的是两段图象，即自变量的取值范围有两部分，从图象中可以得出答案． 【详解】（1）解：把，代入得， ； 故答案为：3； （2）如图所示： （3）函数图象的最低点是； 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； （4）根据图象可知：当时，相应x的取值范围为或． 【一览众山小】 1．小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值：根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（    ） 码数x 26 30 34 42 长度y 18 20 22 26 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．根据待定系数求出一次函数解析式，然后再将代入函数解析式，求出y的值即可． 【详解】解：设与的一次函数解析式为， 点，在该函数图象上， ∴， 解得， 即与的函数解析式为， 当时，， 故选：A． 2．一次函数上有两点，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，一次函数的增减性，对于一次函数（k为常数，），当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴y随x增大而增大， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 3．直线 经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的值，即可求出结果． 【详解】解：将点代入， 得到：， 即：， 两边乘2得：， ∴． 故答案为：． 4．直线与坐标轴围成的的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，先求出的坐标，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴的面积为； 故答案为：8． 5．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)这一变化过程中， 是变量， 是常量； (2)设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； (3)这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】(1)邮箱里剩下的油量和行驶的时间，每小时耗油的油量 (2) (3)这辆汽车最多能行驶16小时 【分析】本题考查函数的概念，列函数表达式，求自变量的值，属于基础题，关键是掌握函数的基础知识． （1）可以取不同的数值的量是变量，数值不变的量是常量，据此判定即可； （2）根据（1）中的基本关系求解即可； （3）当油箱里剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令，建立方程求解即可． 【详解】（1）这一变化过程中，变量有：油箱里剩下的油量和行驶的时间，常量有：每小时耗油的油量； 故答案为：油箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量 （2）由题意，得： （3）当时，有， 解得： 即这辆汽车最多能行驶16小时． 6．已知关于x的函数是一次函数． (1)求m的值； (2)在该一次函数中，当时，求y的最大值． 【答案】(1) (2)3 【分析】此题考查了一次函数的定义与性质． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）一次函数解析式为，利用增减性求得最大值即可． 【详解】（1）函数是一次函数， ，解得， ， ； （2）将代入得一次函数解析式为， ∴随的增大而增大， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为． 7．已知与成正比例，且当时，，求与之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与性质．可设，代入，，进行计算求出的值，整理即可得到答案． 【详解】解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， 整理得：， 与之间的函数关系式为：． 8．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空： ①当时，_______； ②当时，______； ③当时，_______； (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象； … 0 1 2 3 … … 0 1 2 1 0 … (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有_______个交点，方程有_______个解； ②方程有_______个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是_______． 【答案】(1)①2；②；③ (2)见解析 (3)①2，2；②1；③ 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数图象； （3）直接利用函数图象得出答案． 【详解】（1）解：（1）①当时，； ②当时，； ③当时，； 故答案为：2；，； （2）解：函数的图象，如图所示： （3）解：进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解； ②方程有1个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是． 故答案为：2，2；1；． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$