专题04 一次函数（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题04一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、利用图像解一元一次方程 【解惑】一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 【融会贯通】 1．如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 3．如图，已知直线与交于点，则方程的解是 ．    类型二、一次函数中的规律 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，点，，，，都在直线l上；点，，，，都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的腰长为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ． 类型三、一次函数中的动点 【解惑】如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图1，矩形中， ，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（   ） A．6 B．9 C． D． 2．如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 3．如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 类型四、一次函数的应用——分配方案问题 【解惑】如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，…在x轴正半轴上，点，，，…在直线上，若，且，，，…均为等边三角形，则线段的长度为 ． 2．某公司要印制宣传材料，现有甲、乙两个印刷厂.甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.设印制数量为x(份)，甲，乙两印刷厂的收费分别为y1和y2(单位是：元). (1)请写出y1=______________；y2=_____________. (2)印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？并说明理由. 3．端午节放假期间，某学校计划租用辆客车送名师生参加研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车辆，租车总费用为元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） （1）求出（元）与（辆）之间函数关系式； （2）求出自变量的取值范围； （3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？ 类型五、一次函数的应用——最大利润问题 【解惑】周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【融会贯通】 1．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元． (1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式； (2)在同一直角坐标系中作出它们的图象； (3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？ 2．A城有某种农机30台，B城有该农机40台．现要将这些农机全部运往C、D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C、D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C、D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台 （1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来； （3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（100＜a＜250）作为优惠，其他费用不变．在（2）的条件下，若总费用最小值为10740元，直接写出a的值． 3．端午节来临之际，某公司组织同型号20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果 A B C 每辆汽车载货量（吨） 8 6 5 每吨水果获利（万元） 0.25 0.3 0.2 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 类型六、一次函数的应用——行程问题 【解惑】某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． (1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？ (2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 【融会贯通】 1．襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示． 有机蔬菜种类 进价/（元） 售价/（元） 甲 m 16 乙 n 18 (1)该超市购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要170元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要200元．求m，n的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于，且不大于，实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完，求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）的条件下，该超市如何购买花菜才能使当天的利润最大？ 2．已知两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从地到达地．如图，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系． (1)在甲出发______时，两人相遇，这时他们离开地______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)乙从地出发______时到达地． 3．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示时间，、表示路程），根据图象解答下列问题： (1)“龟兔再次赛跑”路程为 米； (2)它们两个约定先出发 （填“兔子”和“乌龟”），先出发 分钟； (3)乌龟跑完全程用了 分钟，兔子跑完全程用了 分钟，乌龟平均速度是 米/分，兔子平均速度是 米/分． 类型七、一次函数的应用——面积问题 【解惑】有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 【融会贯通】 1．某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题： (1)学校到景点的路程为___________km，大客车途中停留了___________min， ___________； (2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ (3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？ 2．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 3．综合与探究： 如图，直线的表达式为，与轴交于点，直线交轴于点，，与交于点，过点作轴于点，． （1）求点的坐标； （2）求直线的表达式； （3）求的值； （4）在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型八、一次函数中的新定义 【解惑】如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． (3)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，且，求点M的坐标． 【融会贯通】 1．如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． 2．定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求； (2)若，且，求x，y的值； (3)对于变量x，y，满足，求出y关于x的函数关系式，并求出该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标． 3．在平面直角坐标系中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x、y轴的距离中的最大值等于点N到x、y轴的距离中的最大值，则称M，N两点为“等值点”． 下图中的点，点即为“等值点”． (1)已知点C的坐标为． ①在点中，是点C的“等值点”的是点 ；（填D、E或F） ②若点与点C是“等值点”，直接写出点G坐标： ； (2)若是一次函数图象上的两点，且M、N为“等值点”，求k的值． 【一览众山小】 1．对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 2．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的路程S（单位：）与所用时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（   ）    A． B．15 C．20 D． 3．定义：在平面直角坐标系中，对于点和点当时，，当时，则称点 N 为点 M 的变换点． 例如：点变换点的坐标是，点变换点的坐标是． (1)则点的变换点的坐标是 ； (2)已知点 M 在函数 的图象上，点 M 的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标． (3)已知点M在函数的图象上，其变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，求k的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，作如下定义；点的坐标为，点的坐标为，若，则称、两点为“同和点”．如图①，点、为“同和点”． (1)若点的坐标为． ①在点，、中，是点的“同和点”的是________．（填“C”、“D”或“E”） ②若点在轴上，且、两点为“同和点”，则点的坐标为________． (2)如图②，直线与轴、轴分别交于点、，点为线段上一动点． ①若点与点为“同和点”，则点的坐标为________． ②若存在点与点为“同和点”，求的取值范围． 5．有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 6．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s()与甲行驶的时间为t（）之间的关系如图所示． (1)结合图象，在点M、N、P三个点中，点_____代表的实际意义是乙到达终点． (2)求甲、乙各自的速度； (3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； (4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180千米． 7．已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 8．点、点和点为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点关于点的等垂点． (1)已知点的坐标为 ①如图1，若点为原点，直接写出关于的等垂点的坐标______； ②如图2，为轴上一点，且点关于点的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点的坐标为，为直线上一点，关于点的等垂点位于轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04一次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、利用图像解一元一次方程 【解惑】一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式， 一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图像和性质，利用数形结合是解题的关键. 【详解】由图象可得：对于函数来说,随的增大而减小，故A正确，不符合题意； ∵ ∴函数 的图象经过第一，三， 四象限，不经过第二象限，故B正确，不符合题意； ∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为 ， ，故C正确，不符合题意； 当 时, ， 由图象可知 ，即，故D错误，符合题意； 故选: D. 【融会贯通】 1．如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图像的交点坐标，熟练掌握相关知识是解题关键．先求出点的坐标，由图像可知，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得，点的纵坐标为7， 把代入， 可得，解得， ∴点的坐标为， ∵一次函数（且a为常数）与的图像相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：B 2．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 3．如图，已知直线与交于点，则方程的解是 ．    【答案】 【分析】先把点代入，求出的值，得到两直线交点，再根据一次函数与一元一次方程的关系，即可得到答案． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 由图象可知，方程的解就是直线与的交点的横坐标， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程的关系，掌握利用图象法解一元一次方程是解题关键． 类型二、一次函数中的规律 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点……依次进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及规律型中数字的变化类，找出点的横坐标是解题的关键．由题意分别求出的坐标，找出的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，……依次进行下去， ∴与横坐标相同，与纵坐标相同， ∴当时，， ∴， ∴当时，， ， 同理可得：，，，，… ∴的横坐标为， 当时，， ∴点的横坐标． 故选：C． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标规律，分别求出、、、、的坐标，找到对应的、、、、，得到规律，，再用这规律解决问题即可． 【详解】当时，有，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，解得， ∴， 同理可得出：，，， 对应的点，．，， ，， 点的坐标为． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，点，，，，都在直线l上；点，，，，都在x轴上，以为直角顶点作等腰直角三角形；再以为直角顶点作等腰直角三角形如此下去，则等腰直角三角形的腰长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过罗列计算得到规律是关键．根据题意，分别计算、、、可得边长规律，据此计算即可． 【详解】解：在函数中，令，则；令，则， ，， 是等腰直角三角形， ， 设代入直线解析式得，解得， ， 设代入直线解析式得，解得， ， 设代入直线解析式得，解得， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，先求出，得出，，，从而得出…，由，…得出的坐标为，当时可得结论． 【详解】解：把代入得：，解得：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴…， 又，…， ∴的坐标为， 当时，顶点的横坐标为 故答案为：． 类型三、一次函数中的动点 【解惑】如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，根据图象可知点在BC上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出线段长度解答，读懂图象，从函数图象中获取信息是解题的关键． 【详解】根据题意观察图象可得， 当点在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为， 即时，， 又∵， 因点从点运动到点，根据函数的对称性可得， ∴的面积是， 故选：． 【融会贯通】 1．如图1，矩形中， ，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（   ） A．6 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，三角形三边关系，勾股定理等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由题意知，当时，重合，，由，可知的最大值为，由勾股定理得，，即，求出满足要求的，进而可求． 【详解】解：由题意知，当时，重合，， ∵， ∴的最大值为， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故选：B． 2．如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点运动，连接，设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图2所示，则当点为中点时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理，从函数图象中获取信息是解题的关键．通过观察图2可以得出，，，由勾股定理可以求出a的值，当P为的中点时，由股定理求出长度． 【详解】解：因为P点是从A点出发的，A为初始点，观察图象时，则， P从A向B移动的过程中，是不断增加的，而P从B向D移动的过程中，是不断减少的， 因此转折点为B点，P运动到B点时，即时，，此时， 即，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ， 当P为的中点时， ， 故答案为：． 3．如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查动点函数问题，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 根据图象可得函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小逐个分析即可解答． 【详解】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了，因而， ，故①正确； ② 根据函数图象可知：从经过了3秒，P运动了，因而故②正确； ③P在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，面积，故③正确； ④图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点， 的面积是，故④错误． 故答案为：①②③． 类型四、一次函数的应用——分配方案问题 【解惑】如图，过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点，按此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了轴对称的性质．先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标． 【详解】解：点坐标为， ， 过点作轴的垂线交直线于点，可知点的坐标为， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标为，的坐标为， 点与点关于直线对称．故同理可得点的坐标为，的坐标为， 以此类推便可求出点的坐标为，，点的坐标为，． 的坐标，， 故答案为：，． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，…在x轴正半轴上，点，，，…在直线上，若，且，，，…均为等边三角形，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能根据题意得出(n为正整数是解题的关键． 根据所给一次函数解析式得出直线与x轴正半轴的夹角为，再依次求出的长度，发现规律即可解决问题． 【详解】 解：一次函数的解析式为， 此直线与x轴正半轴的夹角为是等边三角形， ，， ， 点的坐标为， ∴ 同理可得， ， ， …， 所以（n为正整数）， 当时， 故答案为： 2．某公司要印制宣传材料，现有甲、乙两个印刷厂.甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.设印制数量为x(份)，甲，乙两印刷厂的收费分别为y1和y2(单位是：元). (1)请写出y1=______________；y2=_____________. (2)印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？并说明理由. 【答案】（1）； （2）乙印刷厂，理由详见解析. 【分析】（1）甲印刷厂的收费为印刷数量乘以1元再加上1500元，乙印刷厂的收费为印刷数量乘以2.5元. （2）将分别代入两个方程，比较哪家印刷厂费用较低. 【详解】（1）由题意可知： 甲厂每份材料收1元印制费，另收1500元制版，则 乙场每份材料收2.5元印制费，不收制版费，则 （2）当时，，，乙印刷厂费用较低. 【点睛】本题主要考查了一元一次函数的应用，根据题意，找出收费y（元）与印刷数量x（套）之间的关系，然后列出函数关系式. 3．端午节放假期间，某学校计划租用辆客车送名师生参加研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车辆，租车总费用为元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） （1）求出（元）与（辆）之间函数关系式； （2）求出自变量的取值范围； （3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？ 【答案】（1）；（2），且为整数；（3）租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 【分析】（1）根据租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（6-x）辆，进而表示出总租金即可． （2）由实际生活意义确定自变量的取值范围． （3）由题意可列出一元一次不等式方程组．由此推出y随x的增大而增大． 【详解】解：（1）设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆， 由题意可得出：； （2）由得：． 又， 的取值范围是：，且为整数； （3），且为整数， 取或或 中 随的增大而增大 当时，的值最小． 其最小值元． 则租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 故答案为（1）；（2），且为整数；（3）租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 【点睛】本题考查一次函数的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．要会利用题中的不等关系找到x的取值范围，并根据函数的增减性求得y的最小值是解题的关键． 类型五、一次函数的应用——最大利润问题 【解惑】周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费． 设张洋的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式； (2)若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由． 【答案】(1)， (2)选择乙方案更划算，见解析 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键． （1）根据甲、乙收费方案即可求解； （2）令，分别求出，，即可进行判断． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）选择乙方案更划算 理由：当时， ， ． ∵， ∴选择乙方案更划算． 【融会贯通】 1．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元． (1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式； (2)在同一直角坐标系中作出它们的图象； (3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)见解析 (3)当时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一；当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是列出函数解析式． （1）由已知条件可以得出两个方案的解析式； （2）根据函数关系式画出图形即可； （2）列出方程，解得，讨论的取值范围来比较来比较两个方案． 【详解】（1） 解：方案一：， 方案二：． （2）解：如图． （3）解：由题意得：， 得，， 解得， 由图象，可知当，时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以； 当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一； 当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 2．A城有某种农机30台，B城有该农机40台．现要将这些农机全部运往C、D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C、D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C、D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台 （1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来； （3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（100＜a＜250）作为优惠，其他费用不变．在（2）的条件下，若总费用最小值为10740元，直接写出a的值． 【答案】（1）W关于x的函数关系式为W＝140x+12540，自变量x的取值范围为0≤x≤30；（2）有三种调运方案：①A城运往C乡28台，运往D乡2台；B城运往C乡6台，运往D乡34台；②A城运往C乡29台，运往D乡1台；B城运往C乡5台，运往D乡35台；③A城运往C乡30台，运往D乡0台；B城运往C乡4台，运往D乡36台；（3）a的值为200元． 【分析】（1）设A城运往C乡x台农机，可以表示出运往其它地方的台数，根据调运单价和调运数量可以表示总费用W； （2）列出不等式组确定自变量x的取值范围，在x的正整数解的个数确定调运方案，并分别设计出来； （3）根据A城运往C乡的农机降价a元其它不变，可以得出另一个总费用与x的关系式，根据函数的增减性，确定当x为何值时费用最小，从而求出此时的a的值． 【详解】解：（1）设A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡（6+x）台农机，由题意得： W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）＝140x+12540， ∵x≥0且30﹣x≥0且34﹣x≥0， ∴0≤x≤30， 答：W关于x的函数关系式为W＝140x+12540，自变量x的取值范围为0≤x≤30． （2）由题意得： ，解得：28≤x≤30， ∵x为整数， ∴x＝28或x＝29或x＝30， 因此有三种调运方案， 即：①A城运往C乡28台，运往D乡2台；B城运往C乡6台，运往D乡34台； ②A城运往C乡29台，运往D乡1台；B城运往C乡5台，运往D乡35台； ③A城运往C乡30台，运往D乡0台；B城运往C乡4台，运往D乡36台； （3）由题意得： W＝（250﹣a）x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）＝（140﹣a）x+12540， ∵总费用最小值为10740元， ∴140﹣a＜0 ∴W随x的增大而减小， 又∵28≤x≤30， ∴当x＝30时，W最小，即：（140﹣a）×30+12540＝10740， 解得：a＝200 答：a的值为200元． 【点睛】考查一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，准确理解题意，熟练掌握一次函数的增减性、弄清调运的台数是解决问题的关键． 3．端午节来临之际，某公司组织同型号20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 水果 A B C 每辆汽车载货量（吨） 8 6 5 每吨水果获利（万元） 0.25 0.3 0.2 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【答案】(1)（且为整数）； (2)A水果车辆2辆，B水果车辆14辆，C水果车辆4辆时获利最大，最大利润为33.2万元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用： （1）设装运A种水果的车辆为辆，装运B种水果的车辆为辆，则运C种水果的车辆辆．根据题意，列出等式，即可求解； （2）由利润车辆数每车水果获利可得w与x的函数关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设装运A种水果的车辆为辆，装运B种水果的车辆为辆，则运C种水果的车辆辆． ， （且为整数）； （2）解： ， 随的增大而减小， 时，（万元） 答：装载A水果的汽车2辆，B水果的汽车14辆，C水果的汽车2辆时获利最大，最大利润为33.2万元． 类型六、一次函数的应用——行程问题 【解惑】某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． (1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？ (2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 【答案】(1)A型产品生产了200件，B型产品生产了300件 (2)利润的最大值是72000元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点， （1）根据该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和题意，可以写出y与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以求得最大利润； 解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 【详解】（1）设A型产品生产了m件，则B型产品生产了件， 由题意得：， 解之得：， ， ∴A型产品生产了200件，B型产品生产了300件； （2）由题意得： ， 随若x的增大而增大， 当时，y有最大值72000， 答：利润的最大值是72000元． 【融会贯通】 1．襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示． 有机蔬菜种类 进价/（元） 售价/（元） 甲 m 16 乙 n 18 (1)该超市购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要170元；购进甲种蔬菜和乙种蔬菜需要200元．求m，n的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于，且不大于，实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过的部分，当天需要打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完，求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y（元）与购进甲种蔬菜的数量之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在（2）的条件下，该超市如何购买花菜才能使当天的利润最大？ 【答案】(1)m，n的值分别为10，14 (2) (3)甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答． （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值； （2）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得y与x的函数关系式； （3）根据（2）中的条件，可以求得y的最大值． 【详解】（1）根据题意，得 解得． 故m，n的值分别为10，14． （2）由题意可知． 当时，； 当时，． ∴； （3）当时，，y随x的增大而增大， ∴当时，y最大，为520． 当时，，y随x的增大而减少， 当时，y最大，为520． 故当，即甲种蔬菜购进，乙种蔬菜购进时，利润额取最大值，为520元． 2．已知两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从地到达地．如图，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系． (1)在甲出发______时，两人相遇，这时他们离开地______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)乙从地出发______时到达地． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查函数图象，解题的关键是根据函数图象得到基本的信息，然后进行求解即可． （1）根据图象可直接进行求解； （2）由图象可直接进行求解； （3）由图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由图象可得在甲出发时，两人相遇，这时他们离开地， 故答案为：，； （2）解：甲的速度是，乙的速度是， 故答案为：，； （3）解：乙从地出发时到达地， 故答案为：． 3．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示时间，、表示路程），根据图象解答下列问题： (1)“龟兔再次赛跑”路程为 米； (2)它们两个约定先出发 （填“兔子”和“乌龟”），先出发 分钟； (3)乌龟跑完全程用了 分钟，兔子跑完全程用了 分钟，乌龟平均速度是 米/分，兔子平均速度是 米/分． 【答案】(1)1000 (2)乌龟，40 (3)60，10，，100 【分析】（1）根据图象直接得出结论； （2）根据图象直接得出结论； （3）根据图象直接得出乌龟和兔子所用的时间，再用路程除以时间求出所用速度． 【详解】（1）解：由图可知，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米， 故答案为：1000 （2）由图可知，乌龟先出发，先出发40分钟， 故答案为：乌龟，40 （3）乌龟用60分钟跑完全程，兔子用10分钟跑完全程， 乌龟的平均速度为＝（米/分）， 兔子的平均速度为＝100（米/分）， 故答案为：60，10，，100 【点睛】本题考查了一次函数的应用，具备在直角坐标系中的读图能力是解题的关键． 类型七、一次函数的应用——面积问题 【解惑】有一科技小组进行了机器人行走性能试验在试验场地有、、三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从、两点同时同向出发，历时分钟同时到达点，如图是甲、乙两机器人之间的距离米与他们的行走时间分钟之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题： (1)、两点之间的距离是 米； (2)求线段所在直线的函数表达式，写出自变量的取值范围； (3)当出发分钟时，求甲、乙两机器人之间的距离. 【答案】(1)； (2)； (3)当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以直接写出、两点之间的距离； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）把代入（2）中解析式即可. 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 【详解】（1）解：由图象可得，、两点之间的距离是米， 故答案为：； （2）解：设线段所在直线的函数表达式为， ，， ， 解得， 线段所在直线的函数表达式为； （3）解：当时，， 当出发分钟时，甲、乙两机器人之间的距离为米. 【融会贯通】 1．某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程S（单位：km）和行驶时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题： (1)学校到景点的路程为___________km，大客车途中停留了___________min， ___________； (2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？ (3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？ 【答案】(1)40，5，15 (2) (3)超速 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，路程速度时间的关系式的运用，在解答中求出函数关系式及两车的速度是关键，并注意运用数形结合的思想． （1）根据图象可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算的值； （2）计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后，大客车行驶的路程，从而可得结论； （3）先计算直线的解析式为：，计算小轿车驶过景点入口时的时间为66分，再计算大客车到达终点的时间：，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6千米的速度与80作比较可得结论． 【详解】（1）解：由图象可得：学校到景点的路程为，大客车途中停留了， 小轿车的速度：， ， 故答案为：40，5，15； （2）解：由（1）得：， 得大客车的速度：， 小轿车赶上来之后，大客车又行驶了：， ， 答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有； （3）解：，， 设直线的解析式为：， 则，解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间：， 小轿车司机折返时的速度：， 小轿车折返时已经超速； 2．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 【答案】（1）；（2），，或 【分析】（1）由平移和待定系数法求出直线l的解析式； （2）先求出三角形AOB的面积，进而得出三角形ABP的面积，三角形ABP的面积用三角形PAF和BAF的面积之和建立方程求出m的值． 【详解】解：（1）∵将直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l， ∴设直线l解析式为y＝kx+2， ∵直线l经过点A（﹣4，0） ∴﹣4k+2＝0， ∴k＝， ∴直线l的解析式为y＝x+2， （2）当x=0时，y=2， ∴ 当点P在轴上时， 或；   当点P在y轴上时， 或； 综上所述，点P的坐标为，，或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的平移，三角形的面积，解本题的关键是分类讨论，求出的长． 3．综合与探究： 如图，直线的表达式为，与轴交于点，直线交轴于点，，与交于点，过点作轴于点，． （1）求点的坐标； （2）求直线的表达式； （3）求的值； （4）在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在，点或 【分析】（1）因为与轴交于点，所以令中，求出x，即知点C坐标； （2）求出点A、B坐标，设直线的表达式为，利用待定系数法求解即可； （3）根据求解即可； （4）由的面积可得AP长，结合A点坐标，易知P点坐标. 【详解】解：令中 得：， 解得 ， 直线交轴于点 轴， 点的纵坐标为 在中， 当时，，解得， 设直线的表达式为， 将代入得，解得 直线的表达式为 轴， ， ，点P在x轴上 或 所以存在点或使得 【点睛】本题考查了一次函数与三角形的综合题，涉及了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求解析式、与坐标轴围成的三角形的面积，熟练的掌握一次函数的图象是解题的关键. 类型八、一次函数中的新定义 【解惑】如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． (3)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，且，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键． （1）解析式联立，解方程组即可求得； （2）根据题意求得的长，从而求得的坐标； （3）根据题意得到，求得的值，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：由， 解得， ∴点的坐标为； （2）∵直线与坐标轴分别交于两点， ∵点在轴上，且， ∴的坐标为或； （3）∵点在直线上，点横坐标为，且， ， ∴点的坐标为． 【融会贯通】 1．如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求正比例函数解析式，掌握一次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形面积的计算是解题的关键． （1）将代入求解即可得到的值，再将代入求出的值即可； （2）先求出点、的坐标，然后即可求出的长，再求出的面积，然后可以得出的面积，设，根据，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）将代入得：， 解得：， ， ， ， 正比例函数的解析式为； （2）点在线段上，点的横坐标为4， 在中，当时，， ， 轴于点，交线段于点， 点的横坐标与点的横坐标相同为4， 在中，当时，， ， ， ，， ， 的面积为面积的3倍， ， 轴于点，点的横坐标为4， ， 直线上的一点， 设， ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 2．定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求； (2)若，且，求x，y的值； (3)对于变量x，y，满足，求出y关于x的函数关系式，并求出该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标． 【答案】(1)17 (2)， (3)；或 【分析】（1）根据新运算计算，即可求解； （2）根据新运算可得①，②，即可求解； （3）根据新运算可得y关于x的函数关系式，再分别把和代入，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴，即①， ∵， ∴，即②， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：； （3）解：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，该函数图象上与x轴距离为2的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，函数的关系式，理解新定义是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x、y轴的距离中的最大值等于点N到x、y轴的距离中的最大值，则称M，N两点为“等值点”． 下图中的点，点即为“等值点”． (1)已知点C的坐标为． ①在点中，是点C的“等值点”的是点 ；（填D、E或F） ②若点与点C是“等值点”，直接写出点G坐标： ； (2)若是一次函数图象上的两点，且M、N为“等值点”，求k的值． 【答案】(1)①E；②或 (2) 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解绝对值方程，新定义： （1）①找到x、y轴距离最大为4的点即可得到答案；②根据点到x、y轴的距离中的最大值等于4，求出的值，再根据“等值点”概念进、可得到答案； （2）根据“等值点”概念分情况讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①点C的坐标为到x、y轴的距离中的最大值为4， 到x、y轴的距离中的最大值为5， 到x、y轴的距离中的最大值为4， 到x、y轴的距离中的最大值为2， ∴是点C的“等值点”的是点E； 故答案为：E ②∵点与点C是“等值点”，且， 当时，， 此时， 解得：或4（舍去）， ∴点G坐标为； 当时，， 此时， 解得：或（舍去）， ∴点G坐标为； 综上所述，点G坐标为或； 故答案为：或 （2）解：∵是一次函数图象上的两点， ∴， ∴点， ∵M、N为“等值点”， 若，即时，或， 解得：（舍去）或（舍去）； 若，即或时，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述，． 【一览众山小】 1．对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到 D．若点，，在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移等知识．熟练掌握一次函数的图象与性质，一次函数图象的平移是解题的关键． 由，可得，，则图象过第二、三、四象限，不过第一象限，可判断A的正误；当时，，即图象与y轴的交点坐标为，可判断B的正误；图象可由直线向下平移2个单位长度得到，可判断C的正误；随着的增大而减小，由，可得，可判断D的正误． 【详解】解：∵， ∴，， ∴图象过第二、三、四象限，不过第一象限，A正确，故不符合要求； 当时，，即图象与y轴的交点坐标为，B正确，故不符合要求； 图象可由直线向下平移2个单位长度得到，C正确，故不符合要求； 随着的增大而减小， ∵， ∴，D错误，故符合要求； 故选：D． 2．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到达B地后立即返回A地，两车离A地的路程S（单位：）与所用时间t（单位：）之间的函数关系如图所示，则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为（   ）    A． B．15 C．20 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两车两次相遇的时间，然后作差即可． 【详解】解：设甲乙两地的路程为， 由图象可得， 甲的速度为，乙的速度为， 设甲和乙第一次相遇的时间为，他们第二次相遇的时间为， 由题意可得：， 解得， 则， 故选：A． 3．定义：在平面直角坐标系中，对于点和点当时，，当时，则称点 N 为点 M 的变换点． 例如：点变换点的坐标是，点变换点的坐标是． (1)则点的变换点的坐标是 ； (2)已知点 M 在函数 的图象上，点 M 的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标． (3)已知点M在函数的图象上，其变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)k的取值范围为 【分析】本题考查了一次函数的图象，由函数值求自变量，点坐标等知识．理解题意，数形结合是解题的关键． （1）由，可得进而可求结果； （2）设，当时，，可求，进而可得，则；当时，，可求，进而可得，则； （3）由题意知，上的点的变换点的图象如图所示，当时，，则，当时，，则，当时，，可求，当时，，可求，由变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，数形结合作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴点的变换点的坐标是； 故答案为：； （2）解：设， 当时，， 解得，， ∴， ∴； 当时， 解得，， ∴， ∴； 综上，点M的坐标为或； （3）解：由题意知，上的点的变换点的图象如图所示， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∵变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ， ∴由图象可知，， ∴k的取值范围为． 4．在平面直角坐标系中，作如下定义；点的坐标为，点的坐标为，若，则称、两点为“同和点”．如图①，点、为“同和点”． (1)若点的坐标为． ①在点，、中，是点的“同和点”的是________．（填“C”、“D”或“E”） ②若点在轴上，且、两点为“同和点”，则点的坐标为________． (2)如图②，直线与轴、轴分别交于点、，点为线段上一动点． ①若点与点为“同和点”，则点的坐标为________． ②若存在点与点为“同和点”，求的取值范围． 【答案】(1)①E ② (2)① ② 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点"的定义并运用是解题的关键； （1）由同和点的定义可求解；由同和点的定义可求解； （2）由同和点的定义，列出等式可求解；由同和点的定义，列出等式可得． 【详解】（1）①∵点的坐标为 ∴ ∵点，、 ∴ ∴点的“同和点”的是E ②点在轴上，且、两点为“同和点”， ∴ （2）∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，；当时， ∴ ∵点与点为“同和点”， 设 ∴ ∴ ∴点的坐标为 设 ∵点与点为“同和点”， ∴ ∴ ∵点为线段上一动点 ∴ ∴ 5．有一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元． (1)请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ (2)现要求最迟5个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金． 【答案】(1)个月万元 (2)甲乙工程队合作个月，乙单独做个月 【分析】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得，解答即可． （2）设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且，解不等式，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲、乙两队合作需要x个月完成此项工作，根据题意得， 解得， 答：甲、乙两队合作需要个月完成此项工作． 费用为万元 （2）解：设甲、乙两队合作x个月，剩下的乙队单独完成，总费用为w万元，根据题意，得，且， 解不等式，得， 得w随x的增大而增大，为确保费用最低， 故x去最小值，此时， 答：甲、乙两队合作个月，剩下的乙队单独个月完成，费用最低且合题意． 6．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s()与甲行驶的时间为t（）之间的关系如图所示． (1)结合图象，在点M、N、P三个点中，点_____代表的实际意义是乙到达终点． (2)求甲、乙各自的速度； (3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离； (4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180千米． 【答案】(1) (2)甲的速度是40千米/时，乙的速度是80千米/时 (3)120千米 (4)或 【分析】本题考查函数图象的意义，读懂函数图象的信息是解题的关键． （1）根据函数图象，两个相距为0时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，最后达到最大停止即可得到答案； （2）由图象可得，A、B两地相距240千米，甲走完全程需要6小时，即可求出甲的速度．根据当时，两人相遇，即可求出甲乙两人的速度之和，进而求出乙的速度； （3）当乙到达终点A地时，求出甲离开出发地A地的路程，即为甲乙两人的距离； （4）分为相遇前和相遇后两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 在点M时，，此时两人相遇， 点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点， 点P表示两人距离为，此时甲到达终点； 故答案为：N； （2）解：由图象可得，A、B两地相距240千米，甲走完全程需要6小时， ∴甲的速度为（千米/时） ∵当时，两人相遇， ∴两人的速度之和为（千米/时） ∴乙的速度为（千米/时） （3）解：当乙到达终点A地时，甲离开出发地A地有（千米）， ∴当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米； （4）解：相遇前，甲乙两人相距180千米，则 （小时）， 相遇后，甲乙两人相距180千米，则 ∵当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米，之后两人距离逐渐增大， ∴（小时）， 综上所述，甲出发小时或小时时，甲、乙两人相距180千米． 7．已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 【答案】(1)5；24；9 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了动点问题函数图像，根据函数图像获得信息，解题的关键是树形结合，熟练掌握三角形的面积公式． （1）根据图形的边长，求出即可；根据函数图像结合点M在图形上的运动轨迹，以及三角形的面积公式求出a、b的值即可； （2）先求出点M在上运动时，点M到的距离，然后根据三角形面积公式求出S与t的函数关系式即可； （3）分情况讨论：当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵图形的相邻两边垂直，，，，， ∴，， 当点M从点B运动到点C时，的面积逐渐增大，到达点C时，面积最大，当点M从点C向点D运动时，的面积不变，当点M从点D向点E运动时，的面积逐渐减小，当点M从点E向点F运动时，的面积不变，当点M从点F向点A运动时，的面积逐渐减小， ∴，； （2）解：当点M在上运动时，点M到的距离为： ， ∴此时的面积为： ． （3）解：当点M在上运动时，， 解得：； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，， 解得：， ∵， ∴符合题意； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，的面积小于，不可能是； 综上分析可知：当或时，面积为． 8．点、点和点为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点关于点的等垂点． (1)已知点的坐标为 ①如图1，若点为原点，直接写出关于的等垂点的坐标______； ②如图2，为轴上一点，且点关于点的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点的坐标为，为直线上一点，关于点的等垂点位于轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)①或；②或 (2)有最小值，最小值为，理由见解析 【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可； （2）过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则，进而得到当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为，进行求解即可． 【详解】（1）解：①作出点关于点的等垂点，如图， 则， 点的坐标为，若点为原点， ∴ 轴， 关于的等垂点的坐标为或． 故答案为：或 ②Ⅰ．当点在轴的正半轴上时，过点作轴于点，如图， ∵恰好在一次函数的图象上， 设 ∴ 点的坐标为 ． ， ， ， ． 在△和中， ， ， ∴ ， ， ∴ Ⅱ．当点在轴的负半轴上时，过点作轴于点，如图， 恰好在一次函数的图象上， 设， 同Ⅰ可得：， ， 综上，点的坐标为或； （2）有最小值，最小值为，理由： 过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，如图， 则，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ， ， 点的横坐标为5，即点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则， 当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为． 过点作于点，则，， ， ． 有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，利用轴对称解决线段最短问题，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$