高二第一次月考模拟测试卷(范围：空间向量与立体几何+直线与圆的方程)-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 高二第一次月考模拟测试卷 范围：空间向量与立体几何+直线与圆的方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）直线的倾斜角是（    ）. A．60° B．30° C．135° D．120° 2．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（23-24高二上·河南·阶段练习）若直线与直线平行，则的值是（    ） A．1或 B． C． D．或 4．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23高二上·江苏无锡·期中）给出下列命题，其中是真命题个数的是（    ） ①若直线的方向向量，平面的法向量，则； ②若平面，的法向量分别为，，则； ③若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则； ④若点，，点是A关于平面的对称点，则点与的距离为 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东·开学考试）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（21-22高二上·湖北随州·期中）已知平面上一点，若直线上存在点，使，则称该直线为“点相关直线”，下列直线中是“点相关直线”的是（    ） A． B． C． D． 10．（21-22高二下·河北邢台·开学考试）如图，在边长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（    ） A．∥平面 B．平面 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点B到平面的距离为 11．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（19-20高二下·黑龙江哈尔滨·期中）经过两直线和的交点，且与，等距离的直线的方程是 ． 13．（23-24高二上·福建龙岩·阶段练习）平面直角坐标系上有两点，直线的方程为 ，直线上有一点P，最短，则P点的坐标为 . 14．（24-25高二上·吉林·阶段练习）正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点．在直线上求一点，当的长为 时，使． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（24-25高二上·河南漯河·期中）已知空间三点，，，设，. (1)求和的夹角的余弦值； (2)若向量于互相垂直，求的值. 16．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求，之间的距离； (2)若，求，及轴围成的三角形的面积． 17．（23-24高二下·山西长治·期末）如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 18．（22-23高二上·山东菏泽·期末）某海面上有三个小岛(面积大小忽略不计)，岛在岛的北偏东45°方向处，岛在岛的正东方向处．以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示． (1)试写出的坐标，并求两岛之间的距离； (2)已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船在岛的南偏西30°方向距岛处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？ 19．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点． (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角余弦值为，求三棱柱的体积． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 高二第一次月考模拟测试卷 范围：空间向量与立体几何+直线与圆的方程 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）直线的倾斜角是（    ）. A．60° B．30° C．135° D．120° 【答案】A 【分析】把直线方程化简为斜截式，根据倾斜角的定义，可得答案. 【详解】把直线方程化简为斜截式，得到，设倾斜角为，得到，根据倾斜角的定义，可得 故选：A 2．（23-24高二上·天津河西·阶段练习）以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可. 【详解】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然， 对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底； 对于B，令，则，不成立，即不共面，可构成基底； 对于C，令，则，即无解，即不共面，可构成基底； 对于D，令，则，即无解，即不共面，可构成基底. 故选：A 3．（23-24高二上·河南·阶段练习）若直线与直线平行，则的值是（    ） A．1或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解. 【详解】由直线与直线平行， 可得，解得，所以实数的值为. 故选：C. 4．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】用、、分别表示、，结合空间向量数量积运算求解即可. 【详解】因为，， 所以 . 故选：C. 5．（22-23高二上·江苏无锡·期中）给出下列命题，其中是真命题个数的是（    ） ①若直线的方向向量，平面的法向量，则； ②若平面，的法向量分别为，，则； ③若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则； ④若点，，点是A关于平面的对称点，则点与的距离为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量判断空间线面位置关系即，共线向量定理，面面垂直转为法向量垂直，空间两点间距离公式即可判断正误. 【详解】解：①不存在实数，使得， 与不共线，因此是假命题； ②， ，则，因此是真命题； ③，， 向量是平面的法向量， ， ，解得，， 则，因此是真命题； ④若点，，点是A关于平面的对称点，则， 点与的距离，因此是真命题． 综上可得：真命题个数的是3． 故选：C． 6．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 7．（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出等式并化简即可. 【详解】由题可知, 所以, 化简得, 故选：C, 8．（24-25高二上·山东·开学考试）已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围. 【详解】，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最小值，最小值为， 当与相切时，由到直线距离等于半径可得 ，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（21-22高二上·湖北随州·期中）已知平面上一点，若直线上存在点，使，则称该直线为“点相关直线”，下列直线中是“点相关直线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意可得出点到直线的的距离时，该直线上存在点，设，此时该直线为“点相关直线”；然后根据点到直线的距离公式逐项进行判断即可. 【详解】根据题意，可得当点到直线的的距离时，该直线上存在点，设，此时该直线为“点相关直线”. 选项A：点到直线的距离为2，满足题意； 选项B：点到直线的距离为，不满足题意； 选项C：点到直线的距离为，满足题意； 选项D：点到直线的距离为，不满足题意. 故选：AC. 10．（21-22高二下·河北邢台·开学考试）如图，在边长为2的正方体中，E，F，G分别为，，的中点，则（    ） A．∥平面 B．平面 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点B到平面的距离为 【答案】CD 【分析】建立平面直角坐标系，通过空间向量运算依次判断4个选项. 【详解】以D为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图，则，，，，，，，， ，，，，． 对于选项A，B： 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，得， 所以与平面不平行，与平面不垂直，即A，B错误． 对于选项C： ，则异面直线与所成角的余弦值为，即C正确． 对于选项D： 又，所以点B到平面的距离为，即D正确． 故选：CD. 11．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（19-20高二下·黑龙江哈尔滨·期中）经过两直线和的交点，且与，等距离的直线的方程是 ． 【答案】或 【分析】直接求两直线的交点，与等距离的直线，一条过AB的中点，一条平行AB. 【详解】两直线和的交点为， 的中点为， 因为所求直线过且与，等距离， 故所求直线过的中点或与直线平行， 当直线过的中点时，， 直线方程为，即， 当直线与直线平行时，， 直线方程为，即. 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了直线交点，直线的平行，直线的斜率，直线方程，属于中档题. 13．（23-24高二上·福建龙岩·阶段练习）平面直角坐标系上有两点，直线的方程为 ，直线上有一点P，最短，则P点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，先求点关于直线l的对称点的坐标，再求直线的方程，最后列方程组求点P的坐标． 【详解】设点关于直线l的对称点， 则，线段中点在直线l上， 所以，整理得， 解得，即. 因为点在一条直线上时最短， 所以点P的坐标是直线与直线l的交点，    由得直线的方程为， 所以，解得，即. 故答案为：. 14．（24-25高二上·吉林·阶段练习）正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点．在直线上求一点，当的长为 时，使． 【答案】/ 【分析】根据正三柱性质建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可得结果. 【详解】取的中点为，连接，由正三棱柱性质可得， 因此以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知，设的长为，且，可得； 易知 若,则,解得， 所以当的长为时，使. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（24-25高二上·河南漯河·期中）已知空间三点，，，设，. (1)求和的夹角的余弦值； (2)若向量于互相垂直，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （2）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到． 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以， 即和夹角的余弦值为； （2）因为向量与互相垂直， 所以， 因为，，， 所以， 解得或. 16．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求，之间的距离； (2)若，求，及轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由求出的值，再由平行线间的距离求解即可. （2）由求出的值，再求出直线，的交点，及，与x轴的交点，由三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，解得或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意．故， 则，之间的距离为． （2）因为，所以，解得． ，的方程分别为，． 联立方程组，得． 因为，与轴的交点分别为，， 所以，及轴围成的三角形的面积为． 17．（23-24高二下·山西长治·期末）如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的空间向量法证明即可； （2）根据空间向量法求二面角余弦，再结合同角三角函数关系求解. 【详解】（1）   如图建系，设 则, , 设平面法向量为, , , 可得 即得， 因为所以,不在平面内，所以平面. （2）设平面法向量为, , 可得, 即得, 设二面角为， 则, 因为所以 18．（22-23高二上·山东菏泽·期末）某海面上有三个小岛(面积大小忽略不计)，岛在岛的北偏东45°方向处，岛在岛的正东方向处．以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示． (1)试写出的坐标，并求两岛之间的距离； (2)已知在经过三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一艘船在岛的南偏西30°方向距岛处，正沿北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1)， (2)有触礁的危险 【分析】（1）根据坐标的表示方法和两点间的距离公式求解；（2）利用点和直线的位置关系即可判断. 【详解】（1）在的北偏东45°方向，在的正东方向 ， 由两点间的距离公式知． （2）设过三点的圆的方程为． 将代入上式，得 ，解得． 圆的方程为， 则该圆的圆心为，半径． 设船起初所在的点为，则， 又该船航线所在直线的斜率为1， 该船航线所在的直线方程为． 圆心到此直线的距离． 若不改变方向，该船有触礁的危险．． 19．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点． (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角余弦值为，求三棱柱的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再由面面垂直的判定定理证结论； （2）构建空间直角坐标系，根据面面角的余弦值求，再由柱体体积公式求体积. 【详解】（1）菱形中，则为等边三角形， 又O是AC的中点，则， 又平面ABC⊥平面，平面平面，平面， 平面，又面，则面面. （2）由（1）知平面，又，O是AC的中点，则， 以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，设，则，，， 所以，，， 设平面法向量， 则， 令，，得， 设平面法向量，则， 令，，可得， 所以，由，解得， ，， 三棱柱的体积为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$