高二第一次月考测试卷（范围：第一章～直线与圆的位置关系）-2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)

2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册) 高二第一次月考测试卷 范围：第一章~直线与圆的位置关系 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）已知，，，则等于（      ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖北荆门·阶段练习）如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（   ）    A． B． C． D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 6．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 7．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知入射光线从射出，经过直线上的点B后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点C时再次反射，反射后经过点.则可以求得直线的斜率为（    ） A． B． C．4 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·云南文山·阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线的距离是2 D．过与直线平行的直线方程是 10．（24-25高二上·河南郑州·阶段练习）如图，平面，，则（    ）      A． B．平面 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 11．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（    ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．当四边形PACB面积最小时，直线方程为 D．直线恒过定点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 13．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 14．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（22-23高二上·安徽滁州·阶段练习）已知，. (1)若()∥()，求x，y的值； (2)若，且，求x的值. 16．（15分）（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知的三个顶点是． (1)求BC边上的中线所在直线的方程； (2)求的面积； (3)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 17．（15分）（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求点到平面的距离． 18．（17分）（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）已知圆，一条斜率等于1的直线L与圆C交于A，B两点 (1)求弦AB最长时直线L的方程 (2)求面积最大时直线L的方程 (3)若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线L在y轴上的截距范围 19．（17分）（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《考点通关》高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册) 高二第一次月考测试卷 范围：第一章~直线与圆的位置关系 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 若向量是直线的一个方向向量， 则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·湖北随州·阶段练习）已知，，，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】因为，，， 所以 ， 故选：B 3．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【详解】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）已知四棱锥，底面为平行四边形，分别为棱上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【详解】由条件易知 . 故选：D 5．（24-25高二上·湖北荆门·阶段练习）如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（   ）    A． B． C． D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 【答案】D 【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量运算，ABC项利用向量数量积的坐标运算可得，D项分别求两平面的法向量坐标，再利用数量积可得. 【详解】由已知AD为等腰直角的斜边BC上的高，即， 则为的中点 ， 又平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面，又平面， ∴，又， 以D为坐标原点，分别以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 设斜边，则， 所以，    可得， A项，，故A正确； B项，，则，故B正确； C项，，则，故C正确； D项，因为平面ADC的一个法向量为， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不垂直，故D错误． 故选：D. 6．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：C 7．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知曲线，设曲线上任意一点与定点连线的中点为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设动点坐标，找到动点坐标与曲线上点坐标的关系，通过已知解析式得出动点的轨迹方程. 【详解】设，因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以，所以． 所以点的轨迹方程为即． 故选：B 8．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知入射光线从射出，经过直线上的点B后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点C时再次反射，反射后经过点.则可以求得直线的斜率为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】分别求出点关于的对称点，点关于的对称点，所求斜率即为的斜率. 【详解】如图，分别作出点关于的对称点，点关于的对称点， 根据光的反射原理，点在直线上， 所以. 所以直线的斜率为3. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·云南文山·阶段练习）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线，则 C．点到直线的距离是2 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】CD 【分析】由倾斜角的定义判断A，由两直线位置关系判断B，由点到直线距离公式判断C，由平行求得平行线方程判断D． 【详解】对于A，直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误； 对于B，因为直线的斜率， 故直线与直线不垂直，故B错误； 对于C，点到直线的距离，故C正确； 对于D，过与直线平行的直线方程是， 整理得：，故D正确. 故选：CD. 10．（24-25高二上·河南郑州·阶段练习）如图，平面，，则（    ）      A． B．平面 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可. 【详解】根据题意可知两两垂直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，    可得， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 设为平面的一个法向量，则， 令，可得， 而即底面的一个法向量，设平面与平面夹角， 则,故C正确； 设直线与平面所成角为，， 则，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（    ） A．圆上恰有两个点到直线的距离为 B．切线长的最小值为 C．当四边形PACB面积最小时，直线方程为 D．直线恒过定点 【答案】AC 【分析】根据圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，可判断A选项，根据切线长的几何意义可判断B选项，再根据两圆公共弦方程求法可判断CD选项. 【详解】 由圆，得圆心，圆半径， A选项：点到直线的距离为，又，即， 所以圆上恰有两个点到直线的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，，所以，B选项错误； D选项：由切线的性质可知，在以为直径的圆上，设， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 圆的方程为，即， 又，在圆上，则， 得，则，解得， 所以恒过定点，D选项错误； C选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线方程为，即， 联立，解得，故，则， 所以，即，C选项正确； 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 【答案】或 【分析】根据两坐标轴上的截距之和为零，先设直线方程，再根据点在线上求参即可得出直线方程. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零 所以设直线方程为或, 再因为直线过点可得， ,可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或. 13．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 【答案】或 【分析】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为，求所求直线在轴和轴上的截距，由条件列方程求，由此可得结论． 【详解】联立，解得， 所以直线与的交点坐标为， 由已知所求直线的斜率存在且不为， 故可设所求直线方程为，其中， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 由已知可得， 所以， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 14．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由空间向量共面定理列方程组得到，再结合二次函数的性质解出最值即可； 【详解】因为，，共面， 所以， 即， 即，解得， 所以， 所以， 所以最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（22-23高二上·安徽滁州·阶段练习）已知，. (1)若()∥()，求x，y的值； (2)若，且，求x的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出和的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得； （2）先根据向量垂直得，进而，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】（1）∵，， ∴，. 又()∥()， ∴，解得，. （2）由，得， ∴，∴，即，∴，解得. 16．（15分）（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）已知的三个顶点是． (1)求BC边上的中线所在直线的方程； (2)求的面积； (3)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】（1）求出线段中点，由两点得直线方程； （2）求出到直线的距离，线段的长，再由面积公式计算； （3）点A，B到直线的距离相等，则直线过线段的中点或与直线平行，分类求解即可． 【详解】（1）由已知边的中点坐标为， 所以直线的方程为，化简得； （2）直线的方程为，即， 点到直线的距离为，又， 所以的面积为； （3）点A，B到直线的距离相等，则直线过线段的中点或与直线平行， 若直线过线段的中点， 由已知线段的中点为，直线方程为，化简得， 直线与直线平行，则方程为，化简得， 所以直线的方程为或． 17．（15分）（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为时，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用已知条件求出的值，然后利用空间向量法可求得点C到平面AEF的距离. 【详解】（1）证明：底面，，， ，， 又，平面，平面， 平面，平面平面． （2）根据题意建立如图所示的空间直角坐标系， 又，，为棱的中点，是线段上一动点， 则，，，，，， 设，，． 设，得，故，又， 设直线与平面所成角为，则，得， 则，，，． 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，所以， 所以点到平面的距离为． 18．（17分）（23-24高二上·湖南益阳·阶段练习）已知圆，一条斜率等于1的直线L与圆C交于A，B两点 (1)求弦AB最长时直线L的方程 (2)求面积最大时直线L的方程 (3)若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线L在y轴上的截距范围 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意可知当直线过圆心时弦AB最长，由点斜式即可得出直线方程； （2）利用三角形面积公式计算可得当时的面积最大，解方程即可得出结论； （3）设直线方程，与圆的方程联立并根据一元二次方程根的情况解不等式可得结果. 【详解】（1）由圆可知其标准方程为； 所以其圆心为，半径为3， 因此当L过圆心时弦长AB最大，此时L的方程为，也即； （2）的面积， 当时，的面积最大，此时为等腰直角三角形 设L方程为，则圆心到直线距离为， 从而有，解得或； 则L方程为或； （3）设L方程为， 联立整理可得， 设则A，B两点的横坐标为方程的解， ，可得 AB的中点坐标为，， 由题意知，即， 解得. 19．（17分）（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，，． (1)证明：平面； (2)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由面面垂直性质定理证明平面，由此证明，再证明，结合线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，假设存在点，满足条件，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）正方形中，， 平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，所以，， 又，，则， 又，，则，即， 又，则，，平面， ∴平面； （2）由（1）知，平面，， 以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设点，，， ∴， ∴，故， ∴，， 设平面的法向量为， ∴， 令，则，， ∴为平面的一个法向量， 又，设平面的法向量为， ∴， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， ∴，解得或， 则线段（不含端点）上不存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$