专题02 立方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 立方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 题型七 估计算术平方根的取值范围 题型八 无理数的大小估算 题型九 无理数整数部分的有关计算 知识点一：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（22-23七年级下·广西崇左·期中）下列说法正确的是（    ） A．任意实数都有平方根 B．任意实数都有立方根 C．任意实数都有平方根和立方根 D．正数的平方根和立方根都只有一个 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 3．（23-24七年级下·四川绵阳·阶段练习）若是的算术平方根，是的立方根，求的值 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若，为实数，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·重庆·期末）若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若m，n为实数，且，则的立方根为 ． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）若的立方根是4，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D． 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 3．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求M，N的值． (2)求的平方根． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（23-24九年级下·湖南永州·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4． （提示：，，，） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（    ） A．19 B．15 C．12 D．14 1．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）(规律探究题)若≈1.442，≈3.107，则≈ ，≈ ． 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … (1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ①______；② ______； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则______． 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例5】（23-24七年级下·福建厦门·期中）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为的正方形的边长 B．的算术平方根 C．体积为的正方体的棱长 D．方程中未知数的值 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（    ） A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm 2．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．把正方形放到数轴上，如图2，使点与-2重合，那么点在数轴上表示的数为 ． 3．（23-24七年级下·北京·期中）依据图中呈现的运算关系，回答下列问题． (1)直接写出上图中__________． (2)若，求x的值． 【经典例题六 平方根与立方根的综合应用】 【例6】（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若都是实数，且，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川达州·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换． A变换：首先对一个数取立方根，然后取不小于该立方根的最小整数； B变换：首先对一个非负数取算术平方根，然后减去1． 例如：6经过一次A变换得到2，7经过一次B变换得到． (1)11经过一次A变换得到的数是______； (2)m经过一次B变换得到b，若，求m的值； (3)x经过一次A变换得到a，再经过一次B变换得到1，求x的取值范围． 【经典例题七 估计算术平方根的取值范围】 【例7】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）估算的结果在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 1．（23-24七年级下·山东滨州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（23-24七年级下·北京·期中）用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： x 16 17 2 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①的平方根是 ；②； ③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足 3．（23-24七年级下·广西玉林·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【经典例题八 无理数的大小估算】 【例8】（23-24七年级下·山东济宁·期末）若m，n为连续整数，且，则的值是（    ） A．6 B．12 C．20 D．42 1．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在一个边长为10的大正方形中，剪掉一大一小两个正方形，且较小正方形的面积为9，如果将剩余部分的纸片重新裁剪拼接成一个新正方形，则新正方形的边长最接近的整数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）x为一个无理数，且，写出一个符合要求的x的值： ． 3．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）根据下表解答下列问题： a 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 a² 10.9561 11.0224 11.0889 11.1556 11.2225 11.2896 11.3569 11.4244 11.4921 (1)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ (2)已知物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是一物体从高的比萨斜塔顶部自由落下，根据上表信息，求出物体到达地面约需要多长时间？（结果保留小数点后两位） 【经典例题九 无理数整数部分的有关计算】 【例9】（23-24七年级下·广东汕尾·期末）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（2024·山东淄博·二模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ． 3．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 1．（2023九年级下·江苏南京·专题练习）一般地，如果（为正整数，且），那么叫做的次方根．下列结论中正确的是（    ） A．32的5次方根是2 B．16的4次方根是2 C．的立方根是4 D．5的平方根是 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）在实数范围内，下列判断正确的是 （   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的的值是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列四个说法：①1的算术平方根是1，②64的立方根是，③没有立方根，④互为相反数的两数的立方根互为相反数，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 5．（2024·山东临沂·模拟预测）正整数a、b分别满足，，则（　　） A．1 B．2 C． D．4 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）若m，n为实数，且，则的立方根为 ． 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）若x，y都是实数，且，则的立方根为 ． 8．（23-24七年级下·广西河池·期末）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，需要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．有一种巧妙算法如下： ①由，，能确定是两位数； ②由的个位上的数是，能确定的个位上的数； ③如果划去后面的三位得到数，而，，能确定的十位上的数． 已知是整数的立方，按照上述方法，的立方根是 ． 9．（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： ． 10、（22-23七年级下·四川广元·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）求下列各式中的的值： (1) (2) 12．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）已知的平方根为，的立方根为． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 13．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）（1）如果的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． （2）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是4，求的值． 14．（22-23七年级下·广西钦州·期中）数学探究活动． 自主探究：完成表格内容． … … … ______ ______ ______ ______ … 发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______； 应用迁移： 根据你发现的规律填空：已知，则______，______； 拓展延伸：，则______，______． 15．（23-24七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 立方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 立方根的概念理解 题型二 求一个数的立方根 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 题型四 与立方根有关的规律计算 题型五 立方根的实际应用 题型六 平方根与立方根的综合应用 题型七 估计算术平方根的取值范围 题型八 无理数的大小估算 题型九 无理数整数部分的有关计算 知识点一：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【经典例题一 立方根的概念理解】 【例1】（22-23七年级下·广西崇左·期中）下列说法正确的是（    ） A．任意实数都有平方根 B．任意实数都有立方根 C．任意实数都有平方根和立方根 D．正数的平方根和立方根都只有一个 【答案】B 【分析】根据平方根和立方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意； B、任意实数都有立方根，则此项正确，符合题意； C、因为负数没有平方根，所以此项错误，不符合题意； D、因为正数的平方根有两个，所以此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键． 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了立方根和立方运算，掌握立方根的概念是解题的关键．根据立方根的概念求解即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求出它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程： 第一步：因为，所以； 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是； 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，所以，即的十位数字是；所以． 请根据上述材料解答下列问题： （1）用上述方法确定的立方根的个位数字是 ； （2） ． 【答案】 【分析】（1）根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，即可获得答案； （2）借助华罗庚讲述的计算过程，先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，即可获得答案． 【详解】（1）解：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是， 所以的立方根的个位数字是； 故答案为：． （2）第一步：因为，，， 所以． 第二步：因为的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，所以的个位数字是． 第三步：如果划去后面的三位得到数，而，， 所以，即的十位数字是． 所以． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·四川绵阳·阶段练习）若是的算术平方根，是的立方根，求的值 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，熟记定义并利用根指数列出方程是解题的关键． 首先根据算术平方根和立方根的概念得到，，求出，，进而求出，，然后代入求解即可． 【详解】由题意，可知， 解得， ∴，， ∴， ∴． 【经典例题二 求一个数的立方根】 【例2】（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若，为实数，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了非负数的性质和立方根，根据二次根式的被开方数和偶次方为非负数，得到相应的关系式求出、的值，然后代入求解，最后求数的立方根即可，正确运用非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：． 1．（23-24八年级上·重庆·期末）若则的立方根为（    ） A．4 B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质、求立方根，根据非负数的性质求出，，再求出的值，最后根据立方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的立方根为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）若m，n为实数，且，则的立方根为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查被开方数的非负性、立方根等知识点，根据算术平方根的性质确定m，n的值是解答本题的关键．先根据被开方数的非负性求出m，n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， ， 的立方根为2， 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．首先根据平方根和算术平方根的性质得到，，然后代入求解立方根即可． 【详解】解：根据题意可知，的平方根是， 所以， 解得：，     因为的算术平方根是4， 所以，     解得：，     所以， 故的立方根为2． 【经典例题三 已知一个数的立方根，求这个数】 【例3】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）若的立方根是4，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义，平方根的定义．由已知根据立方根的定义可得到，继而可求得x的值，进而可以求的平方根． 【详解】解：∵的立方根是4， ∴，即， 解得， ∴， ∴的平方根是． 故选：D． 1．（23-24七年级下·福建福州·期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， ∴， ∴的立方根为：； 故答案为：． 3．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求M，N的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算式平方根和立方根的定义可得，，求得，，从而求得，，即可求解； （2）由（1）可得，，，求得，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：由（1）可得，，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查平方根的定义、算术平方根的定义、立方根的定义、代数式求值，熟练掌握平方根的定义、算术平方根的定义、立方根的定义是解题的关键． 【经典例题四 与立方根有关的规律计算】 【例4】（23-24九年级下·湖南永州·期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4． （提示：，，，） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（    ） A．19 B．15 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义和求解，根据题目的方法步骤进行分析即可． 【详解】解：①由，，能确定是两位数； ②由205379的个位上的数是9，因为，能确定的个位上的数是9； ③如果划去205379后面的三位379得到数205，而，，由此能确定的十位上的数是5． 即， ∴的每位数上的数字之和为， 故选：D． 1．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字排列规律探索，二次根式定义，弄清题中的数字规律是解题的关键．第个式子的前一项是奇数的算术平方根，可表示为，后一项是正整数的立方根，可表示为，由此即得答案． 【详解】根据规律可知，第个式子的前一项为，后一项为，所以第个式子是． 故选A． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）(规律探究题)若≈1.442，≈3.107，则≈ ，≈ ． 【答案】 0.3107 0.1442 【分析】根据被开方数的小数点每移动三位，其立方根的小数点就相应的移动一位得出即可． 【详解】解：∵≈3.107， ∴≈0.3107； ∵≈1.442， ∴≈0.1442， 故答案为：0.31.7；0.1442 【点睛】本题考查了对立方根定义的应用，能找出移动规律是解此题的关键． 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … (1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根： ①______；② ______； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则______． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位． (2)① ② (3) 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是从小数点移动的位数来考虑． （1）观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解； （2）根据（1）中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解； （3）根据前面的规律，被开立方数与立方根之间的关系，即可求解． 【详解】（1）解：观察被开方数和算术平方根小数点的位置，可以得到：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位． （2）解：① ，根据第一问结论，由向左移动了2位小数点，所以的算术平方根是由的算术平方根小数点向左移动1位得到， ② ，根据第一问结论，由向右移动了4位小数点，所以的算术平方根是由的算术平方根小数点向右移动2位得到， （3）解：类比前面的结论，对于立方根有：被开方数的小数点向左或向右移动位，其立方根的小数点就向左或向右移动位． ，由向右移动了位小数点，所以的立方根是由的立方根小数点向右移动位得到， 【经典例题五 立方根的实际应用】 【例5】（23-24七年级下·福建厦门·期中）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为的正方形的边长 B．的算术平方根 C．体积为的正方体的棱长 D．方程中未知数的值 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，立方根，根据算术平方根的定义解答即可，熟记算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：A、面积为的正方形的边长为，故选项不符合题意； B、的算术平方根是，故选项不符合题意； C、体积为的正方体的棱长是，故选项符合题意； D、方程中未知数的值为，故选项不符合题意； 故选：C． 1．（23-24八年级上·山东青岛·期中）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（    ） A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm 【答案】D 【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm． 【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3， ∴小立方体的棱长， 由三视图可知，最高处有四个小立方体， ∴该几何体的最大高度是4×6=24cm， 故选D． 【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长． 2．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．把正方形放到数轴上，如图2，使点与-2重合，那么点在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】设每个小立方体的棱长为a，由题意易得，则有，根据图形可得正方形的面积为8，然后根据正方形的面积公式可得，进而问题可求解． 【详解】解：设每个小立方体的棱长为a，由题意得：， ∴， 设正方形的边长AD=x，由图形可得正方形的面积为， ∴， ∵点与-2重合， ∴点在数轴上表示的数为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查立方根和算术平方根的应用，熟练掌握求一个数的立方根和算术平方根是解题的关键． 3．（23-24七年级下·北京·期中）依据图中呈现的运算关系，回答下列问题． (1)直接写出上图中__________． (2)若，求x的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查了立方根和平方根，熟练掌握立方根和平方根的性质是解题的关键． （1）根据互为相反数的立方根仍然互为相反数得到，即可求出a的值； （2）根据平方根的定义得到，，进一步得到，利用平方根的意义解方程即可． 【详解】（1）解：∵y的立方根是，的立方根是， ∴， 解得， 故答案为：5 （2）∵x的平方根是和， ∴，， ∵， ∴ 即 解得， ∵， ∴，即x的值为． 【经典例题六 平方根与立方根的综合应用】 【例6】（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 1．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若都是实数，且，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由算术平方根的意义可知6-x≥0,则x-6≤0,从而≤0，≥0. 【详解】∵6-x≥0, ∴x-6≤0, ∴≤0，≥0， ∴. 故选A. 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握负数没有算术平方根是解答本题的关键. 2．（23-24八年级上·四川达州·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为 ． 【答案】8 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再计算算术平方根和立方根即可得． 【详解】由数轴的定义得：， 则， 所以， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换． A变换：首先对一个数取立方根，然后取不小于该立方根的最小整数； B变换：首先对一个非负数取算术平方根，然后减去1． 例如：6经过一次A变换得到2，7经过一次B变换得到． (1)11经过一次A变换得到的数是______； (2)m经过一次B变换得到b，若，求m的值； (3)x经过一次A变换得到a，再经过一次B变换得到1，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查立方根、算术平方根、不等式的相关知识，读懂题目中得变换是解题的关键． （1）根据A变换的方式进行，要理解不小于三个字的意思； （2）先求出m经过一次B变换得到，再得到等式求解即可； （3）根据x经过一次A变换得到a，得到不等式组，再根据经过一次B变换得到1，算出即可求解， 【详解】（1）解：11经过一次A变换， ， 得到的数是， 故答案为：； （2）解：m经过一次B变换得到b， ， ， 即， 解得：， ； （3）解：x经过一次A变换得到a， ， 再经过一次B变换得到1， ， 解得：， 【经典例题七 估计算术平方根的取值范围】 【例7】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）估算的结果在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值计算．根据题意可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴的结果在3和4之间， 故选：C． 1．（23-24七年级下·山东滨州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或的算术平方根在， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由， ， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； 故选：D 2．（23-24七年级下·北京·期中）用计算器计算了一部分数的平方，结果如下表： x 16 17 2 根据表中的信息判断下列结论中，正确的有 ．（填序号） ①的平方根是 ；②； ③265的算术平方根比大；④只有4个正整数满足 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，无理数的估算，求一个数的平方根等等，根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合即可判断①；根据被开方数小数点向右（向左）每移到两位，则开方的结果的小数点向右（向左）移动一位，据此可判断②；根据，即可判断③；根据即可判断④． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴265的算术平方根比小，故③错误； ∵， ∴满足的正整数有共4个，故④正确； 故答案为：①②④． 3．（23-24七年级下·广西玉林·阶段练习）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； (2)实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【答案】(1)，； (2)的“青一区间”为． 【分析】本题考查无理数的估算，非负性，求一个数的算术平方根．理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 【经典例题八 无理数的大小估算】 【例8】（23-24七年级下·山东济宁·期末）若m，n为连续整数，且，则的值是（    ） A．6 B．12 C．20 D．42 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数的方法是解题的关键．估算出即可求得m，n的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 1．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在一个边长为10的大正方形中，剪掉一大一小两个正方形，且较小正方形的面积为9，如果将剩余部分的纸片重新裁剪拼接成一个新正方形，则新正方形的边长最接近的整数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的大小估算，先求出小正方形和大正方形的边长，再求出剩余部分的面积，再对无理数进行估算即可求解，掌握估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵较小正方形的面积为9， ∴较小正方形的边长为3， ∵大正方形的边长为10， ∴右边较大正方形的边长为， ∴剩余部分的面积为， ∴新正方形的边长为， ∵，， ∴新正方形的边长最接近的整数为6， 故选：B． 2．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）x为一个无理数，且，写出一个符合要求的x的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得出，整理出，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵x为一个无理数， ∴ 即 ∴符合要求 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24七年级下·贵州遵义·期末）根据下表解答下列问题： a 3.31 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.37 3.38 3.39 a² 10.9561 11.0224 11.0889 11.1556 11.2225 11.2896 11.3569 11.4244 11.4921 (1)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ (2)已知物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系是一物体从高的比萨斜塔顶部自由落下，根据上表信息，求出物体到达地面约需要多长时间？（结果保留小数点后两位） 【答案】(1)，理由见解析； (2)3.35秒． 【分析】本题考查了无理数的估算以及算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格数据，得出，即可作答． （2）依题意，，结合表格数据，得出（负值舍去），即可作答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ （2）解：由题意得： （负值舍去） 答：物体到达地面约需要3.35秒． 【经典例题九 无理数整数部分的有关计算】 【例9】（23-24七年级下·广东汕尾·期末）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据，可得a，b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵、为两个连续整数， ∴，， ， 故选：D． 1．（2024·山东淄博·二模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 所以其面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴的值为3． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．则的值为 ． 【答案】203 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题考查无理数整数部分及小数部分的计算： （1）仿照题干中的做法即可求解； （2）仿照题干中的做法求出a和b的值，再代入求值； （3）求出的整数部分x和小数部分y，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6，； （2）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴； 同理，∵，∴， ∴， ∴的整数部分为5， ∴， ∴； （3）解：∵，∴， ∴， ∴，即 ∴的整数部分为4，小数部分为， ∵，x是整数，， ∴，， ∴． 1．（2023九年级下·江苏南京·专题练习）一般地，如果（为正整数，且），那么叫做的次方根．下列结论中正确的是（    ） A．32的5次方根是2 B．16的4次方根是2 C．的立方根是4 D．5的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查次方根的定义，根据定义求解即可． 【详解】解：A、，32的5次方根是，故本选项符合题意； B、，16的4次方根是，故本选项不符合题意； C、，的立方根是，故本选项不符合题意； D、5的平方根是，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）在实数范围内，下列判断正确的是 （   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、平方根和立方根的性质，根据绝对值、平方根和立方根的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、若，则，故该选项不符合题意； B、若，则或，故该选项不符合题意； C、若，则可以为任意数，为非负数，故该选项不符合题意； D、若，则，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．把﹣512按给出的程序逐步计算即可． 【详解】解：由题中所给的程序可知：把取立方根，结果为， 是有理数， 再取立方根为， 是有理数， 再取立方根为， 是无理数， 输出． 故选：D． 4．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列四个说法：①1的算术平方根是1，②64的立方根是，③没有立方根，④互为相反数的两数的立方根互为相反数，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，任意实数都有立方根，非负性有平方根，相反数的意义，熟练掌握定义和条件是解题的关键．根据立方根，平方根的定义及其特性，相反数的定义解答即可． 【详解】解： 1的算术平方根是1，故①正确，符合题意；     64的立方根是，②错误，不符合题意； 立方根是，③错误，不符合题意；     互为相反数的两数的立方根互为相反数，④正确，符合题意； 故正确的是①④， 故选：C． 5．（2024·山东临沂·模拟预测）正整数a、b分别满足，，则（　　） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了开平方和开立方，以及代数式求值，根据正整数a、b分别满足，，可求得a、b的值，代入到求解即可． 【详解】正整数a、b分别满足，， ， ，． ，． ， 故选：A． 6．（24-25八年级上·全国·单元测试）若m，n为实数，且，则的立方根为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查被开方数的非负性、立方根等知识点，根据算术平方根的性质确定m，n的值是解答本题的关键．先根据被开方数的非负性求出m，n的值，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， ， 的立方根为2， 故答案为：2． 7．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）若x，y都是实数，且，则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】根据算术平方根的非负性，得，得到，继而得到，得到，计算即可． 本题考查了算术平方根的非负性，立方根，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 8．（23-24七年级下·广西河池·期末）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，需要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．有一种巧妙算法如下： ①由，，能确定是两位数； ②由的个位上的数是，能确定的个位上的数； ③如果划去后面的三位得到数，而，，能确定的十位上的数． 已知是整数的立方，按照上述方法，的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．首先由，，确定是两位数，再由个位上的数是，确定个位上的数是，然后划去后面的三位得到，而，，由此确定十位上的数是，即可得出结果． 【详解】解：， ， 是两位数， 又只有个位上是7的数的立方的个位上的数是3， 的个位上的数是， 划去后面的三位得到，而，， 十位上的数是， 的值为， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·福建莆田·期中）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值，开方运算，先根据点在数轴上的位置，判断数和式子的符号，进而化简运算即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴原式； 故答案为：． 10、（22-23七年级下·四川广元·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第个数应是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 11．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）求下列各式中的的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查平方根和立方根； （1）由原式得，利用平方根的定义求解可得； （2）由原式得，由立方根的定义可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得或； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 12．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）已知的平方根为，的立方根为． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据平方根和立方根求原数： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此先求出a的值，进而求出b的值即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 13．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）（1）如果的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． （2）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是4，求的值． 【答案】（1）；（2）35 【分析】此题考查了算术平方根、平方根、立方根等知识， （1）根据的算术平方根是2得到，求出，再根据的立方根是求出，即可求出的平方根； （2）根据的平方根为解得，根据的算术平方根为它本身，得到，则，根据的立方根是4得到，解得，即可求出的值． 【详解】解：（1）∵的算术平方根是2， ∴， ∴， 即， 又∵的立方根是， ∴， 则 即， ∴， ∴的平方根为； （2）∵的平方根为， ∴，， 解得， ∵的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有0或1，且， ∴，即， ∴， 解得，， ∵的立方根是4， ∴，解得，， ∴，，， ∴． 14．（22-23七年级下·广西钦州·期中）数学探究活动． 自主探究：完成表格内容． … … … ______ ______ ______ ______ … 发现规律：由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：______； 应用迁移： 根据你发现的规律填空：已知，则______，______； 拓展延伸：，则______，______． 【答案】自主探究：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，； 拓展延伸：， 【分析】（）自主探究：根据表格规律即可求解； （）应用迁移：根据表格规律即可求解； （）拓展延伸：被开方数的小数点（向左或者右）每移动三位，其立方根的小数点相应的向相同方向移动一位即可； 本题考查了算术平方根，立方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，再根据规律确定结果是解题的关键． 【详解】解：自主探究：根据表格规律可知，，，，， 由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， 故答案为：，，，，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位； 应用迁移：，， 故答案为：，； 拓展延伸：，， 故答案为：，． 15．（23-24七年级下·广东东莞·期末）我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59319的立方根．他脱口而出：39．他是怎样快速准确算出来的呢？ 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 103 106 (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为所以因为所以因此，我们需要熟悉一些数及其立方．请补全表格： (2)【思路探究】尝试求出19683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由猜想是 位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是 ； ③确定十位的数字：由且确定的十位上的数字是 ； ④确定立方根的值：由可得的值为 ． (3)【尝试应用】某商场拟建一个棱长为整数、容积为373248的正方体玻璃柜放置东莞迎思门（西城楼）模型，请问这个正方形棱长是多少？请写出求解过程． 【答案】(1) (2)①两；②7；③2；④27 (3)这个正方形棱长是72 【分析】本题考查立方根的应用，理解立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据立方根的意义进行计算即可； （2）利用题目提供的方法进行计算即可； （3）利用立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：要得到的结果，可以按如下步骤思考： ①∵，而， ∴， 由此得是两位数； ②∵19683的个位上的数是3，而只有7的立方的个位上的数是3， ∴的个位上的数是7； ③∵，且， 所以的十位上的数字是2； ④综合以上可得，； （3）解：设这个正方形棱长是x， 根据题意得：， 故， 求解如下： 第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为373248的个位上的数是8，而2的立方的个位上的数是8，所以的个位上的数是2； 第三步：确定十位数字，划去373248后面的三位248得到373，因为，而，所以的十位上的数字是7； 综合以上可得，， 故这个正方形棱长是72． 学科网（北京）股份有限公司 $$