专题01 平方根重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 平方根重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 无理数的概念 题型二 平方根与算术平方根概念理解 题型三 求一个数的算术平方根 题型四 利用算术平方根的非负性解题 题型五 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 求一个数的平方根 题型八 求代数式的平方根 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 题型十 利用平方根解方程 题型十一 平方根的应用 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 无理数的概念】 【例1】（23-24七年级下·吉林·期末）在实数，，，，中，无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河南周口·期末）从数据，，1.9，，，0.010010001…中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）在实数，，，，…，，，中，无理数有 个． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 整数：{                        } 负分数：{                    } 无理数：{                    } 【经典例题二 平方根与算术平方根概念理解】 【例2】（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级下·黑龙江大庆·期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是 ，这个数的算术平方根是 ，两个平方根的和是 ． 3．（23-24七年级下·山东·单元测试）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知，是或者是两数中的一个，（1） 当，解得．（2） 所以这个数为．（3） 当时，解得．（4） 所以这个数为．（5） 综上可得，这个数为2或．（6） 王老师看后说，小张的解法是错误的．在以上解答过程中你认为有几处错误？请指出错误步骤，并加以改正． 【经典例题三 求一个数的算术平方根】 【例3】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）若x是81的算术平方根，则x的值为（　　） A．3 B． C．9 D． 1．（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 2．（2024·山东威海·一模）已知，，则 ． 3．（17-18七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【经典例题四 利用算术平方根的非负性解题】 【例4】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若实数x，y满足，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 1．（23-24七年级下·云南大理·期末）若，则的值是（   ） A．10 B． C．3 D． 2．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，则 ． 3．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数…是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 【经典例题五 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例5】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 1．（2021·北京·中考真题）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 2．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）解答下列各题 (1)已知，求的平方根． (2)已知为实数，且．求的值． 【经典例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例6】（23-24八年级上·北京门头沟·期中）已知：，，，，若符合上面规律，则的值为（   ） A．179 B．109 C．210 D．104 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 2．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）若，，则 ． 3．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 【经典例题七 求一个数的平方根】 【例7】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）若，则x的平方根是（    ） A．5 B． C． D． 1、（2023·浙江宁波·模拟预测）已知x，y为实数，且，则的平方根为（　　） A． B．2 C． D． 2．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知a、b满足，则的平方根为 ． 3．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）已知a的平方根为，的算术平方根为2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【经典例题八 求代数式的平方根】 【例8】（23-24八年级上·广东江门·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）已知正数x满足，那么代数式 x的值是 ． 3．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【经典例题九 已知一个数的平方根，求这个数】 【例9】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）若一个数的平方根是和，则这个数是（　　） A．1 B． C．4 D．16 1.（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是(   ) A．441 B．49 C．7或21 D．49或441 2．（23-24七年级下·河南漯河·期中）若与是某个正数的平方根，则这个正数是 ． 3．（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别为和，求a和这个正数． 【经典例题十 利用平方根解方程】 【例10】（22-23八年级下·重庆永川·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 1.（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如果，那么 ． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知下列4个等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)观察上述等式，请写出第5个等式； (2)写出第个等式，并证明； (3)我们还发现：第1个等式中可以写成，第2个等式中可以写成，…，依此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 【经典例题十一 平方根的应用】 【例11】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 1．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 2．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的大长方形ABCD．    （1）图中四个全等的直角三角形中较长直角边长为a，较短直角边为b，则 （直接填数字）． （2）图②中大长方形ABCD的周长是 ． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根与算术平方根都是 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则以x，y，z为边长的三角形是 三角形． 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）一个正数的平方根是与，则 ． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，且，则 ． 9．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知的三边长分别为a、b、c，且满足求最大边c的取值范围 ． 10．（22-23八年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 11．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知，． (1)如果x的算术平方根为3，求a的值． (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 12．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）若，求的值． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）在计算中时，小明和小华算出了不同的答案： 小明的做法是∶ 当 时， ； 小华的做法是：当 时，． 你认为谁的答案正确，说说你的理由． 15．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图1，某公园有一块面积为的长方形土地，已知该长方形土地的长与宽之比为，现要对这块土地上进行规划，现有两种方案： 方案一：如图2所示，在长方形土地上开辟横竖两条宽为的小路，其余部分为花圃； 方案二：在长方形土地上开辟一个面积为的圆形花圃，其余部分为活动场地． (1)求该长方形土地的周长是多少？ (2)请直接写出方案一中的花圃面积（即图2中阴影部分）是多少． (3)请通过计算说明方案二是否可行（取3）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 无理数的概念 题型二 平方根与算术平方根概念理解 题型三 求一个数的算术平方根 题型四 利用算术平方根的非负性解题 题型五 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 求一个数的平方根 题型八 求代数式的平方根 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 题型十 利用平方根解方程 题型十一 平方根的应用 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 无理数的概念】 【例1】（23-24七年级下·吉林·期末）在实数，，，，中，无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是正确理解无理数的几种形式． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 共个无理数， 故选：． 1．（23-24九年级上·河南周口·期末）从数据，，1.9，，，0.010010001…中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的概念，概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法． 【详解】解：从数据，，1.9．，，中任选一个数，抽到的无理数的有，这2种可能， 从数据，，1.9．，，中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是． 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）在实数，，，，…，，，中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义．根据无理数的定义，结合所给数据即可求解． 【详解】解：，， ， 在实数，，，，…，，，中，有理数有个， 无理数有（个）， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 整数：{                        } 负分数：{                    } 无理数：{                    } 【答案】③④⑤；②⑦⑧；①⑥ 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，根据相关定义逐一填写即可，有限小数或无限不循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． 【详解】解：整数：{0，， } 负分数：{，，} 无理数：{ ，} 故答案为：③④⑤；②⑦⑧；①⑥． 【经典例题二 平方根与算术平方根概念理解】 【例2】（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的概念，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此即可判断，关键是掌握算术平方根的定义． 【详解】解：A、8是64的算术平方根，故A不符合题意； B、9是81的算术平方根，故B不符合题意； C、的算术平方根是，正确，故C符合题意； D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1，故D不符合题意． 故选：C． 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的意义，熟练掌握概念是解题关键.根据平方根和算术平方根的意义，逐一判断即可. 【详解】①49的算术平方根是7，选项正确； ②负数没有平方根，选项错误； ③的平方根是，，选项错误； ④算术平方根等于它本身的数是0和1，选项正确. 故选：B. 2．（22-23八年级下·黑龙江大庆·期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是 ，这个数的算术平方根是 ，两个平方根的和是 ． 【答案】 0 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得另一个平方根，再根据算术平方根的非负性可得这个数的算术平方根，最后根据相反数的性质即可解答． 【详解】解：∵一个正数的平方根是m， ∴那么这个数的另一个平方根是； 根据算术平方根的非负性可知，这个正数的算术平方根是； 根据一个正数的两个平方根互为相反数可知，这个正数的0． 故答案为，，0． 【点睛】本题主考查了平方根、算术平方根的意义，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键． 3．（23-24七年级下·山东·单元测试）王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为，它的平方根为，求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知，是或者是两数中的一个，（1） 当，解得．（2） 所以这个数为．（3） 当时，解得．（4） 所以这个数为．（5） 综上可得，这个数为2或．（6） 王老师看后说，小张的解法是错误的．在以上解答过程中你认为有几处错误？请指出错误步骤，并加以改正． 【答案】这个数为4，小张错在第（3）（5）（6），共3个错处． 【分析】根据知道一个数的平方根时，要求这个数需要平方，由算术平方根的非负性质可知2m-6≥0，从而可对求得的m的值作出取舍． 【详解】解：可以看出小张错在把“某个数的算术平方根”当成“这个数本身”；当时，这个数的算术平方根为；这个数为，故（3）错误； 当时，这个数的算术平方根为（舍去），故（5）错误； 综上可得，这个数为4，故（6）错误； 所以小张错在第（3）（5）（6）． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根的定义，掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 【经典例题三 求一个数的算术平方根】 【例3】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）若x是81的算术平方根，则x的值为（　　） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的知识，解决本题的关键是掌握会求一个数的算术平方根． 根据和算术平方根的知识可得． 【详解】解：，则． 故选：C． 1．（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的概念，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此即可判断，关键是掌握算术平方根的定义． 【详解】解：A、8是64的算术平方根，故A不符合题意； B、9是81的算术平方根，故B不符合题意； C、的算术平方根是，正确，故C符合题意； D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1，故D不符合题意． 故选：C． 2．（2024·山东威海·一模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的知识，根据计算得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．（17-18七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可； 【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 【经典例题四 利用算术平方根的非负性解题】 【例4】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若实数x，y满足，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，负整指数幂，以及代数式求值，根据算术平方根的非负性，可得出，，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：变形为：， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 1．（23-24七年级下·云南大理·期末）若，则的值是（   ） A．10 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非负性是解题的关键． 根据绝对值、平方、二算术平方根的非负性，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：A． 2．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，先根据题意得到，再由非负数的性质 ，据此化简绝对值推出，则，求出b、c的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数…是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 【答案】(1)三个数是“完美组合数”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，理解“完美组合数”的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义判断即可； （2）分两种情况讨论：当时；当时；分别计算即可． 【详解】（1）是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，10，5，2都是整数， ∴三个数是“完美组合数”． （2）当时，， 解得．不符合定义，舍去． 当时，， 解得． 此时， ，且10，40，20都是整数， ∴，是“完美组合数”，符合题意． 综上，． 【经典例题五 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例5】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 1．（2021·北京·中考真题）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】由题意可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 2．（22-23八年级上·湖南郴州·期末）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【答案】35 【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）解答下列各题 (1)已知，求的平方根． (2)已知为实数，且．求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了算术平方根与平方根、一元一次不等式组，熟练掌握平方根的性质是解题关键． （1）先根据偶次方和算术平方根的非负性可得，，从而可得的值，再根据平方根的性质求解即可得； （2）先根据算术平方根的被开方数的非负性可得，代入可求出的值，再求算术平方根即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的平方根是． （2）解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【经典例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例6】（23-24八年级上·北京门头沟·期中）已知：，，，，若符合上面规律，则的值为（   ） A．179 B．109 C．210 D．104 【答案】B 【分析】分析数据可得：，有；，有；若，必有；且，则；则． 【详解】解：，可得； ，可得； ，则，， 则， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据算术平方根的性质化简，根据题意找到规律是解题的关键． 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）观察下表，被开方数a的小数点的位置移动和它的算术平方根的小数点的位置移动符合一定的规律． a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 若，则 （   ） A． B． C． D．1414 【答案】B 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．被开方数200是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解∶ ∵，， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 3．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 【答案】(1)①两；②，；③ (2)，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根； （1）根据所提供的方法进行计算即可； （2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． 【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较小的个位数字，则． 故答案为：①两；②，；③； （2）已知也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下： 由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较大的个位数字，则． 【经典例题七 求一个数的平方根】 【例7】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）若，则x的平方根是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据算术平方根相等可得，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的平方根是， 故选：C． 【点睛】本题考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 1、（2023·浙江宁波·模拟预测）已知x，y为实数，且，则的平方根为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性，求出x，y的值，进而求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵x，y满足， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故选：D． 2．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知a、b满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质、算术平方根、绝对值，根据非负数的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：由题可知，， 解得， 则． 故的平方根为：． 故答案为：． 3．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）已知a的平方根为，的算术平方根为2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根以及平方根； （1）直接利用平方根的定义以及算术平方根的定义分析得出答案； （2）直接利用平方根的定义分析得出答案． 【详解】（1）∵a的平方根为， ∴， ∵的算术平方根为2 ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴的平方根为． 【经典例题八 求代数式的平方根】 【例8】（23-24八年级上·广东江门·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边平方得出，再求得即可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 1．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】两式相加，构造，求16的平方根即可 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴=±4， 故选A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键． 2．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）已知正数x满足，那么代数式 x的值是 ． 【答案】 【分析】将已知条件变形为，两边平方得可得，再变形为，结合x＞0即可得出结论． 【详解】解：由，得，即， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵x＞0， ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，也不想奇葩热闹我擦哎哟嘎就解答此题的关键． 3．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①4；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及求一个数的平方根，解题的关键是理解并掌握完全平方公式． （1）①根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；②先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； （2）①先将两边都除以，得出，然后求出，再求出，即可获得答案；②分两种情况讨论：当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①4；②； （2）①已知，， 则两边同时除以，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴． 【经典例题九 已知一个数的平方根，求这个数】 【例9】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）若一个数的平方根是和，则这个数是（　　） A．1 B． C．4 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知，求得，继而得，即可由求出答案． 【详解】解：∵一个数的平方根是和， ∴， 解得：， ∴， ∴，即这个数为16． 故选：D． 1.（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是(   ) A．441 B．49 C．7或21 D．49或441 【答案】B 【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；进而可得这个正数的平方根，最后可得这个正数的值． 【详解】解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15， ∴a+3和2a﹣15互为相反数， 即(a+3)+(2a﹣15)＝0； 解得a＝4， 则a+3＝﹣(2a﹣15)＝7； 则这个数为＝49； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根的概念、解一元一次方程，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 2．（23-24七年级下·河南漯河·期中）若与是某个正数的平方根，则这个正数是 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义，利用分类讨论思想求出的值是解此题的关键．根据平方根的定义得出或，求出，再求出的值，即可求出个正数． 【详解】解：∵与是一个正数的平方根， ∴或， 解得：或， ∴或1， ∴这个正数是或1， 故答案为：或1． 3．（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别为和，求a和这个正数． 【答案】，81 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得出相关的方程，计算即可．解题关键是明确一个正数的两个平方根互为相反数． 【详解】∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴， 解得：． ∴． ∴这个数为81． 【经典例题十 利用平方根解方程】 【例10】（22-23八年级下·重庆永川·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义解答即可. 【详解】      故选：D 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作．正确理解算术平方根的定义是解题的关键. 1.（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，利用平方根的含义解方程，直接利用完全平方公式的变形进行计算即可； 【详解】解：∵，， ∴ ； ∴； 故选B 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如果，那么 ． 【答案】或/或 【分析】此题考查了平方根的应用，根据平方根的定义两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，解题的关键是能根据定义得出两个一元一次方程． 【详解】两边同时除以，, 两边开方得：， ∴或 ， 解得：或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知下列4个等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)观察上述等式，请写出第5个等式； (2)写出第个等式，并证明； (3)我们还发现：第1个等式中可以写成，第2个等式中可以写成，…，依此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)，3612，3613或13，84，85 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据所给已知条件，找出规律． （1）观察给出的等式得出规律，写出第5个等式即可； （2）根据已知等式得出规律，根据整式混合运算法则进行证明即可； （3）先根据题意找出规律，得出第n组：第一个数为：，第二个数为：，第三个数为；分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； （2）解：解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第n个等式：； 证明：左边， 右边； ∴左边右边． （3）解：∵第一组：，，， 第二组：，，， 第三组：，，， 第四组：，，， …… 则第n组：第一个数为：，第二个数为：，第三个数为； ∴当时，解得：， 此时第二个数为：， 第三个数为：； 当时，整理得：， 开平方得：， 解得：， ∵为整数， ∴此时不符合题意舍去； 当时，整理得：， 开平方得：， 解得：或（舍去）， 此时第一个数为，第二个数为，第三个数为； 综上分析可知，其中一个数为85的“勾股数”为：，3612，3613或13，84，85． 【经典例题十一 平方根的应用】 【例11】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 【答案】A 【分析】根据平方根小数点的移动规律解答． 【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8； 故选：A． 【点睛】此题考查了平方根小数点的移动规律：当被开方数的小数点向右每移动两位，则平方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左移动一位． 1．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， （舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的大长方形ABCD．    （1）图中四个全等的直角三角形中较长直角边长为a，较短直角边为b，则 （直接填数字）． （2）图②中大长方形ABCD的周长是 ． 【答案】 2 12 【分析】设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为（），矩形图可知小正方形的边长为b，易得，根据矩形的面积与大正方形的面积相等列方程求得，进而求出a值，即可解决问题． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为（）， 由图②可得，小正方形的边长为b， ，即， ∴围成的矩形长为：， ∴围成的矩形面积为：， ∵矩形的面积与大正方形的面积相等， ， 解得：（舍去负值）， ， ， 矩形的周长为：， 故答案为：2，12． 【点睛】本题考查了赵爽弦图，注意利用图形之间关系进行求解． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒 （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根与算术平方根都是 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题关键．根据平方根和算术平方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、9的平方根是，没有平方根，则此项错误，不符合题意； B、没有算术平方根，则此项错误，不符合题意； C、，4的平方根是，则此项错误，不符合题意； D、的平方根与算术平方根都是，则此项正确，符合题意； 故选：D． 3．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，不等式的性质和在数轴上表示不等式的解集．得出是解题的关键． 根据题意得出且，求解即可； 【详解】解：∵实数，满足，， ∴且， ∴，， ∴， 在数轴表示为， 故选：B． 4．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上点的特点、绝对值和算术平方根的运用等知识，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键．先根据数轴确定、、的正负，然后根据算术平方根的性质和绝对值的性质化简，最后计算即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴，， ∴． 故选：D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长． 【详解】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为， 故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即， 故选B． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则以x，y，z为边长的三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及非负数的性质，先利用非负数的性质求出x、y、z的值，然后利用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解∶， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴以x，y，z为边长的三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 7．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）一个正数的平方根是与，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根与解一元一次方程，解题的关键是掌握：一个正数的两个平方根互为相反数．据此构建方程求解即可． 【详解】解：∵与是一个正数的两个平方根， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，算术平方根的定义，有理数的乘法，代数式求值，由绝对值的意义可得，由算术平方根的定义可得，再根据有理数的乘法法则可知异号，进而得到的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知的三边长分别为a、b、c，且满足求最大边c的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，三角形三边关系的应用，完全平方公式，先根据算术平方根的非负性得出，，再根据三角形的三边关系求出最大边c的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵的三边长分别为a、b、c，且为最大边， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（22-23八年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 【答案】4047 【分析】此题考查了与实数运算有关的规律题，解题的关键是找到变化的规律并表示出来． 【详解】解：时，，， 时，，， 时，，， …… ∴，， 当时，，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知，． (1)如果x的算术平方根为3，求a的值． (2)如果x，y是同一个正数的两个不同的平方根，求这个正数． 【答案】(1) (2)这个正数是25 【分析】本题考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义得出，求解即可； （2）根据平方根的定义得出，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， ． （2）解：x，y是同一个正数的两个不同的平方根， ， ， 这个正数是， 这个正数是25． 12．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据绝对值、完全平方及二次根式的非负性可得，，，求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键． 【详解】解：，，，且， ，，， ，，， ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A所表示的数为m． (1)实数m的值是______． (2)求的值． (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据左减原则计算解答即可． （2）根据，代入求值即可． （3）根据题意，得，解得，代入，计算平方根． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：． （2）解：根据，代入，得 原式= ． （3）解：根据题意，得， 解得，代入， 故 ． 【点睛】本题考查了点的坐标的平移规律，已知字母的值求代数式的值，有理数的非负性，相反数的应用，平方根的意义，熟练掌握平移，非负性，平方根是解题的关键． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）在计算中时，小明和小华算出了不同的答案： 小明的做法是∶ 当 时， ； 小华的做法是：当 时，． 你认为谁的答案正确，说说你的理由． 【答案】小华的答案正确，见解析 【分析】根据算术平方根的非负性，即可判断求解， 本题考查了算术平方根的非负性，解题的关键是：熟练掌握算术平方根的非负性． 【详解】解：小华的答案正确． 理由：∵表示的是的负平方根， ∴而小明的答案为，小华的答案为，故小华的答案正确． 15．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图1，某公园有一块面积为的长方形土地，已知该长方形土地的长与宽之比为，现要对这块土地上进行规划，现有两种方案： 方案一：如图2所示，在长方形土地上开辟横竖两条宽为的小路，其余部分为花圃； 方案二：在长方形土地上开辟一个面积为的圆形花圃，其余部分为活动场地． (1)求该长方形土地的周长是多少？ (2)请直接写出方案一中的花圃面积（即图2中阴影部分）是多少． (3)请通过计算说明方案二是否可行（取3）． 【答案】(1) (2) (3)不可行 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和算术平方根的定义． （1）根据长方形的面积和长与宽之比为，求出长方形的长和宽，得出周长即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可； （3）先求出圆形花圃的半径，从而得出直径，然后再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：，负值舍去， ∴长方形的长为，宽为， 则长方形的周长为：． （2）解：方案一中的花圃面积为： ． （3）解：面积为的圆形花圃的半径为： ， 则圆形花圃的直径为， ∵， ∴方案二是不可行． 学科网（北京）股份有限公司 $$