专题3.1 实数（5大知识点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）（新教材）

专题3.1 实数（5大知识点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点一】平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【知识点二】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 题型目录 【知识点一】概念巩固 【题型1】平方根、立方根的理解.....................................................3; 【题型2】实数、无理数概念的理解...................................................3; 【知识点二】与实数相关概念和性质 【题型3】实数的性质与分类.........................................................4; 【题型4】实数与数轴和大小比较.....................................................4; 【知识点三】估算与整数部分和小数部分 【题型5】无理数的估算与整数部分和小数部分.........................................4; 【知识点四】实数的运算 【题型6】求一个数的平方根、算术平方根、立方根.....................................5; 【题型7】实数的混合运算...........................................................5; 【知识点五】实数的应用 【题型8】平方根、立方根的应用.....................................................6; 【题型9】实数的应用...............................................................6; 【题型10】直通中考................................................................7; 【题型11】拓展延伸................................................................7. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平方根、立方根的理解 【典例1】（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）已知的平方根是的立方根是是最小的正整数，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）判断下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是； B．是64的立方根； C．是的立方根； D．的平方根是． 【题型2】实数、无理数概念的理解 【典例2】（22-23七年级·浙江·假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·期中）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·福建龙岩·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【题型3】实数的性质与分类 【典例3】（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合内： 0，，π，，，，2024，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）． 【变式1】（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．131和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）的相反数是 ，的绝对值是 ，0的平方根是 ． 【题型4】实数与数轴和大小比较 【典例4】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“”连接：，，, 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）比较下列实数的大小（填上、或=）． ① ；② 【题型5】无理数的估算与整数部分和小数部分 【典例5】（23-24七年级下·全国·单元测试）【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，为两个连续整数，且，则 ． 【题型6】求一个数的平方根、算术平方根、立方根 【典例6】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）已知，，是的算术平方根，求的平方根． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D．4的平方根是 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根是 ． 【题型7】实数的混合运算 【典例7】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题： (1); (2) 【题型8】平方根、立方根的应用 【典例12】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长． 【变式1】（22-23七年级下·辽宁营口·阶段练习）已知一个表面积为平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·四川达州·期中）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． 【题型9】实数混合运算的应用 【典例13】（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式2】（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2023·四川资阳·中考真题）数轴上点到原点的距离为，则点所表示的数是（　　） A． B． C．或 D． 【例2】（2023·海南·中考真题）设为正整数，若，则的值为 ． 【题型11】拓展延伸 【例1】（20-21七年级下·广东广州·期中）设表示最接近x的整数（，为整数），则（    ） A．132 B．146 C．164 D．176 【例2】（2022·河北邯郸·三模）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 实数（5大知识点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点一】平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【知识点二】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 题型目录 【知识点一】概念巩固 【题型1】平方根、立方根的理解.....................................................3; 【题型2】实数、无理数概念的理解...................................................4; 【知识点二】与实数相关概念和性质 【题型3】实数的性质与分类.........................................................6; 【题型4】实数与数轴和大小比较.....................................................7; 【知识点三】估算与整数部分和小数部分 【题型5】无理数的估算与整数部分和小数部分.........................................8; 【知识点四】实数的运算 【题型6】求一个数的平方根、算术平方根、立方根....................................11; 【题型7】实数的混合运算..........................................................12; 【知识点五】实数的应用 【题型8】平方根、立方根的应用....................................................13; 【题型9】实数的应用..............................................................15; 【题型10】直通中考...............................................................18; 【题型11】拓展延伸...............................................................18. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平方根、立方根的理解 【典例1】（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）已知的平方根是的立方根是是最小的正整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根、最小正整数的概念，由题意得出，，，再代入进行计算即可，熟练掌握平方根、立方根、最小正整数的概念是解此题的关键． 解：∵的平方根是， ， ∵的立方根是， ∴， ∵是最小的正整数， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．是9的平方根 B．的平方根为 C．25的平方根为 D．负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）判断下列说法正确的是（    ）． A．的平方根是； B．是64的立方根； C．是的立方根； D．的平方根是． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义逐项判定即可． 解∶A． 是负数，没有平方根，故原说法错误，不符合题意； B．4是64的立方根，故原说法错误，不符合题意； C．是的立方根，故原说法正确，符合题意； D．的平方根是，故原说法错误，不符合题意； 故选∶C． 【题型2】实数、无理数概念的理解 【典例2】（22-23七年级·浙江·假期作业）判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由． (1)无理数都是开方开不尽的数．（      ） (2)无理数都是无限小数．（      ） (3)无限小数都是无理数．（      ） (4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（      ） (5)不带根号的数都是有理数．（      ） (6)带根号的数都是无理数．（      ） (7)有理数都是有限小数．（       (8)实数包括有限小数和无限小数．（      ） 【分析】根据有理数，无理数，实数的概念逐项判断即可． 解：（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数；故答案为：错误； （2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确； （3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误； （4）（错误）0是有理数；故答案为：错误； （5）（错误）如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误； （6）（错误）如，虽然带根号，但，这是有理数；故答案为：错误； （7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误； （8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确． 【点拨】本题考查了有理数，无理数，实数的概念，理解概念是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·期中）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可． 解：A、是有限小数，属于有理数； B、是整数，属于有理数； C、是无限不循环小数，属于无理数； D、，属于有理数； 故选：C． 【点拨】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【变式2】（22-23七年级下·福建龙岩·期中）有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点拨】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 【题型3】实数的性质与分类 【典例3】（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合内： 0，，π，，，，2024，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）． 【答案】无理数集合：π，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）；正实数集合：，π，，2024，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1） 【分析】本题主要考查了实数分类，根据实数的分类方法和无理数定义进行解答即可． 解：； 无理数集合：π，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）； 正实数集合：，π，，2024，，（相邻两个1之间的0的个数逐次加1）． 【变式1】（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．131和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，求一个数的算术平方根，有理数的乘法计算，先计算出每个选项中的两个数，再根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 解：A、131和不互为相反数，不符合题意； B、和互为相反数，符合题意； C、和不互为相反数，不符合题意； D、和不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）的相反数是 ，的绝对值是 ，0的平方根是 ． 【答案】 / / 0 【分析】本题主要考查了倒数、绝对值、平方根的性质．根据倒数、绝对值、平方根的性质，即可求解． 解：的相反数为， 的绝对值是， 0的平方根是0． 故答案为：，，0． 【题型4】实数与数轴和大小比较 【典例4】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“”连接：，，, 【答案】图见解析， 【分析】本题主要考查了数轴，实数的大小比较，需熟练掌握实数的大小比较法则．根据数轴的特点把各数表示在数轴上，然后根据数轴上的数右边的总比左边的大进行排列即可． 解： ∴按从小到大顺序进行排列如下： ． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，求出正方形的边长是解题的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可表示点E． 解：∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， ∴， 点A在数轴上表示的数为1， ∴点E表示的数为． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）比较下列实数的大小（填上、或=）． ① ；② 【答案】 【分析】①根据实数的大小比较解答即可. ②根据实数的大小比较，无理数的估算解答即可. 本题考查了无理数的估算，大小比较，正确掌握无理数大小比较的基本原则是解题的关键. 解：①∵，且， ∴； 故答案为：. ②∵， ∴ ∴， ∵是负数， ∴， 故答案为：. 【题型5】无理数的估算与整数部分和小数部分 【典例5】（23-24七年级下·全国·单元测试）【阅读资料】 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部地写出来，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)5，；(2)1；(3). 【分析】此题考查了无理数的估算； （1）确定即可解答； （2）利用估算分别得到，，再代入计算即可； （3）利用估算方法得到，确定的整数部分是10，小数部分是，由此得到，计算出的值即可． 解：（1），即， 的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5，； （2）， 即， 的小数部分， ， 即， 的整数部分， ； （3）， ， 即， 的整数部分是10，小数部分是， 是整数，且， ， ， 的相反数是． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数估算，根据平方根定义，得到即可得到答案，熟练掌握无理数估算方法是解决问题的关键． 解：， ，则，即， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，为两个连续整数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，求出的值，代入代数式进行计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型6】求一个数的平方根、算术平方根、立方根 【典例6】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）已知，，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根和平方根的定义，求代数式的值．解题的关键是根据算术平方根和立方根的定义得出、、的值，然后代入进行计算，再根据平方根的定义即可得出结论． 解：∵，，是的算术平方根， ∴，，， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．1的平方根与算术平方根都是1 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D．4的平方根是 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的计算，理解这两个概念及区别是解题的关键．注意仔细审题．分别对各选项进行计算即可． 解：A、1的平方根是，1算术平方根是1，原说法错误，不符合题意； B、负数没有算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、，而4的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、4的平方根是，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根是 ． 【答案】5 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根的定义，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． 根据平方根及立方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算，再利用算术平方根的定义即可求得答案． 解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， ∴，， 则， 那么原式的算术平方根是5， 故答案为：5． 【题型7】实数的混合运算 【典例7】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)4; (2)3。 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据算术平方根定义和立方根定义进行计算即可； （2）根据算术平方根定义，立方根定义进行计算即可． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)3； (2). 【分析】本题考查了实数的运算： （1）先计算立方根，算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算立方根，乘方，算术平方根，化简绝对值，再计算加减即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）计算下列各题： (1); (2) 【答案】(1); (2)。 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根、平方根的求法是解题的关键. （1）利用立方根、绝对值进行计算即可； （2）利用立方根、绝对值、平方根进行计算即可. 解：（1） （2） 【题型8】平方根、立方根的应用 【典例12】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长． 【答案】(1)厘米；(2)厘米． 【分析】（）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （）根据题意列出式子再进行计算即可； 本题考查立方根、算术平方根，孰练掌握相关的知识点是解题的关键． 解：（1）根据题意可得：铁块的棱长为（厘米）， 答：这个铁块的棱长为厘米； （2）由题可知，设长方体铁块底面正方形的边长为厘米， ∴，， 解得：， 答：长方体铁块底面正方形的边长为厘米． 【变式1】（22-23七年级下·辽宁营口·阶段练习）已知一个表面积为平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方体的棱长为，根据正方体的表面积公式列方程解答即可． 解：设正方体的棱长为， ， 或（舍去）． 故选：． 【点拨】此题主要考查了正方体的表面积公式，也利用了开平方的运算，解答时要根据实际情况舍去负值． 【变式2】（23-24八年级上·四川达州·期中）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 解：①， ， 故答案为：； ②， ， 故答案为：． 【题型9】实数混合运算的应用 【典例13】（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)，； (2)见解析；(3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 解：（1）， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 【变式2】（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点拨】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2023·四川资阳·中考真题）数轴上点到原点的距离为，则点所表示的数是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握实数和数轴的知识是解题关键．根据点在原点的距离为该点表示的数的绝对值，进行求解即可． 解：∵表示的点到原点的距离为， ∴点表示的数是或． 故选：C． 【例2】（2023·海南·中考真题）设为正整数，若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】先估算出的范围，即可得到答案． 解：， ，即， ， ， 故答案为：1． 【点拨】本题考查了无理数的估算，能估算出的大小是解题的关键． 【题型11】拓展延伸 【例1】（20-21七年级下·广东广州·期中）设表示最接近x的整数（，为整数），则（    ） A．132 B．146 C．164 D．176 【答案】D 【分析】先计算出，，，，，即可得出，，中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，11个6，从而可得出答案． 解：，即，，则有2个1； ，即，，，都是2，则有4个2； ，同理，可得出有6个3； ，同理，可得出有8个4； ，同理，可得出有10个5； 则剩余11个数全为6． 故 ． 故选：D． 【点拨】本题考查了估算无理数的大小，难度较大，注意根据题意找出规律是关键． 【例2】（2022·河北邯郸·三模）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$