6.4 数据的离散程度 知识考点梳理（课件）2024-2025学年北师大版数学八年级上册

6.4 数据的离散程度 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ■考点一 极 差 6.4 数据的离散程度 定义 特点 优缺点 极差 一组数据中最大数据与最小数据的差 极差是刻画数据离散程度的一个统量．它只能反映数据的波动范围，不能衡量每个数据的变化情况 计算简单，但它受极端值的影响较大 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 归纳总结 一般而言，极差越大，该组数据的分布面越大，离散程度也越大；极差越小，该组数据的分布面越小，离散程度也越小. 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 典例1 在校数学竞赛中，10 名学生的参赛成绩统计如图所示，则这 10 名学生的参赛成绩的极差是_________. 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 ［解题思路］ 极差=最大值-最小值 ↓ ↓ 极差= 95 分 - 80 分 =15 分 ［答案］ 15 分 考点清单解读 返回目录 ■考点二 方差和标准差 6.4 数据的离散程度 定义 方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即 意义 （1）方差是刻画一组数据离散程度的指标，它反 映的是一组数据偏离平均数的程度； （2）方差越大，数据越不稳定；方差越小，数据越稳定 1. 方差 s2= ［（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2］ 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 续表 拓展 若 x1，x2，…，xn 的平均数是 x，方差是 s2 ，则①ax1，ax2，…，axn 的平均数是 ax，方差是 a2s2；②x1+b，x2+b，…，xn+b 的平均数是 x+b，方差是 s2；③ax1+b，ax2+b，…axn+b 的平均数是 ax+b，方差是 a2s2 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 归纳总结 方差的计算步骤：可概括为“一均、二差、三方、四均”，即求一组数据的平均数→求这组数据中各数据与平均数的差→求所得各个差数的平方→求所得各平方数的平均数. 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 2. 标准差 标准差是衡量一组数据稳定性的另一个重要的统计量，它就是方差的算术平方根. 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 归纳总结 在根据平均数和方差比较两组数据时，一般先看平均数，在平均数相同或相近的情况下，再比较两组数据的方差，方差越小，数据越稳定. 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 典例2 若甲、乙两人参加 5 次射击训练的成绩（单位：环）如下： 则甲、乙两人射击成绩比较稳定的 是 _____.（选填“甲”或“乙”） 对点典例剖析 甲 6 7 8 9 10 乙 7 8 8 8 9 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 ［解题思路］ x甲= ×(6+7+8+9+10)=8(环), x乙= ×(7+8+8+8+9)=8(环), s2 甲= ×[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2, s2 乙= ×[(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2]=0.4, 因为 s2 甲>s2 乙, 所以乙的成绩比较稳定. ［答案］ 乙 考点清单解读 返回目录 ■考点三 用样本方差估计总体方差 6.4 数据的离散程度 内容 在考察总体方差时，有时所要考察的总体包含很多 或者考察本身带有破坏性，就常用样本的方差来 估计总体的方差 注意 在样本相同的情况下，方差越大，说明数据的波动 越大，越不稳定；方差是刻画数据离散程度的量， 此外统计中还有其他刻画数据离散程度的量 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 归纳总结 （1）在实际工作中，样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，有时还要考虑实现的可能性及所付出的代价； （2）确定样本方差时，一定要注意极端值对方差的影响. 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 典例3 甲、乙两台包装机同时包装糖果，分别从中随机抽取 5 袋，测得它们的实际质量（单位：g）如下表所示，______ 包装机包装的糖果质量比较稳定．（选填“甲”或“乙”） 对点典例剖析 甲 100 102 99 101 98 乙 100 97 104 97 102 考点清单解读 返回目录 6.4 数据的离散程度 ［解题思路］由计算得，x甲=100，x乙=100，s2甲＝2，s2乙＝7.6，因为 s2 甲＜s2 乙，所以甲包装机包装的糖果质量比较稳定． ［答案］ 甲 考点清单解读 返回目录 ■题型 方差的实际应用 例 某中学开展唱歌比赛活动，八（1）班和八（2）班各选出5 名选手参加复赛，5 名选手的复赛成绩（满分为 100 分）如图所示. 6.4 数据的离散程度 重难题型突破 返回目录 （1）根据图示填写下表： （2）通过计算得知八（2）班的平均成绩为 85 分，请计算八（1）班的平均成绩； （3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； 6.4 数据的离散程度 班级 中位数/分 众数/分 八(1)班 85 _ 八(2)班 _ 100 重难题型突破 返回目录 （4）经计算八（1）班复赛成绩的方差为 70，请计算八（2）班复赛成绩的方差，并说明哪个班学生的成绩比较稳定． 6.4 数据的离散程度 重难题型突破 返回目录 6.4 数据的离散程度 ［答案］ 解：（1）从上到下依次为 85 80 （2）八（1）班的平均成绩是（75+80+85+85+100）÷5=85（分）； （3）从平均数上看，两个班平均数均为 85 分，水平相当，从中位数上看，八（1）班为 85 分，八（2）班为 80 分，八（1）班好于八（2）班，所以八（1）班复赛成绩较好； 重难题型突破 返回目录 6.4 数据的离散程度 (4)八(2)班复赛成绩的方差是 ×[(70-85)2+(75-85)2+(80-85)2+(100-85)2+(100-85)2]= ×800=160, 因为 70＜160，所以八（1）班学生的成绩比较稳定． 重难题型突破 返回目录 6.4 数据的离散程度 变式衍生 为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校实习基地，单位时间内现场进行加工直径为 20 mm的零件测试，他俩各加工的 10 个零件的相关数据依次如图表所示（单位：mm）： 重难题型突破 返回目录 6.4 数据的离散程度 （1）考虑平均数与完全符合要求的个数，哪个同学的成绩好些？ （2）计算出 s2B 的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些？ （3）考虑图中折线走势，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由． 重难题型突破 返回目录 6.4 数据的离散程度 解：（1）由表中数据可看出，A，B 的平均数相同，而 B 完全符合要求的个数多，所以 B 的成绩好些； （2）∵s2B = ×［3 ×（19.9 -20.0）2 +5 ×（20.0 -20.0）2 +（20.1-20.0）2+（20.2-20.0）2］=0.008，s2A＝0.026， ∴s2A＞s2B， ∴ 在平均数相同的情况下，B 的波动小，B 的成绩更好些； 重难题型突破 返回目录 6.4 数据的离散程度 （3）派 A 去参赛较合理.理由：从题图中折线走势可知，尽管 A 的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测 A 的潜力大，而 B 比较稳定，潜力小，所以派 A 去参赛较合适（答案不唯一，合理即可）． 重难题型突破 返回目录 $$