4.4 一次函数的应用 知识考点梳理 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

4.4 一次函数的应用 ● 考点清单解读 ● 重难题型突破 ■考点一 确定一次函数的表达式 确定一次函数表达 式的一般步骤 （1）设：设函数表达式为 y=kx+b（k，b 是 常数，k≠0）； （2）代：将已知的对应值代入所设表达式，得到关于 k，b 的方程； （3）解：解方程求得 k，b 的值（一次函数图象与y 轴交点的纵坐标为 b 的值）； （4）写：将 k，b 的值代回表达式中并写出表达式 4.4 一次函数的应用 考点清单解读 返回目录 4.4 一次函数的应用 归纳总结 确定正比例函数的表达式需要一个条件（或一个点的坐标），确定一次函数的表达式需要两个条件（或两个点的坐标）. 考点清单解读 返回目录 4.4 一次函数的应用 典例1 一次函数的图象经过（0，5）和（1，7）两点，求这个一次函数的表达式． 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 4.4 一次函数的应用 ［答案］ 解：设一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），将（0，5）和（1，7）代入，得 b=5，k+b=7，解得 k=2，则该一次函数的表达式为 y=2x+5. 考点清单解读 返回目录 ■考点二 一次函数的实际应用 4.4 一次函数的应用 解一次函 数实际应 用题的一 般步骤 （1）设实际问题中的自变量与自变量的函数； （2）通过列方程与点的坐标求一次函数表达式； （3）确定自变量的取值范围； （4）应用一次函数的性质解决问题； （5）检验所求解是否符合题意； （6）作答 考点清单解读 返回目录 4.4 一次函数的应用 归纳总结 从图象上获取信息可以从两个方面去分析：（1）根据函数图象可判断函数类型；（2）从横轴、纵轴的实际意义去理解函数图象上点的坐标的实际意义，进而结合所学知识解决实际问题． 考点清单解读 返回目录 4.4 一次函数的应用 典例2 如图所示的是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图象，此蜡烛经过 ____ h 燃烧完毕． 对点典例剖析 考点清单解读 返回目录 4.4 一次函数的应用 ［解题思路］由题图得图象经 过（0，15），（1，7），设y=kx+b，则 15=b，7=k+b，解得 k=-8，所以 y=-8x+15．当 y=0 时，x= ． ［答案］ 考点清单解读 返回目录 ■考点三 一次函数和一元一次方程的关系 4.4 一次函数的应用 关系 “数”的 角度 函数 y=ax+b（a≠0）中，y=0 时 x 的值一元一次方程 ax+b=0 的解 “形”的 角度 函数 y=ax+b（a≠0）的图象与 x 轴交点的横坐标一元一次方程 ax+b=0 的解 考点清单解读 返回目录 4.4 一次函数的应用 利用一次函 数的图象解 一元一次方 程的步骤 （1）转化：将一元一次方程转化为一次函数； （2）画图象：画出一次函数的图象； （3）找交点：找出一次函数的图象与 x 轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解 续表 考点清单解读 返回目录 4.4 一次函数的应用 归纳总结 （1）一般情况下将一元一次方程转化为 kx+b=0 的形式后，可设 y=kx+b，将求方程的解转化为求一次函数图象与 x 轴交点的横坐标；（2）一次函数 y=kx+b，当 y=m 时，求 x 的值，可以借助图象找点的横坐标. 考点清单解读 返回目录 4.4 一次函数的应用 典例3 如图，直线 y =ax +b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于 x的方程 ax+b=0 的解为 _______. ［答案］ x=2 考点清单解读 返回目录 ■题型一 借助两个一次函数图象解决问题 例 1 A，B 两地相距 300 km，甲、乙两辆火车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行．如图，L1，L2 分别表示两辆火车离 A 地的距离 s（km）与行驶时间 t（h）的关系． （1）写出 L1，L2 的函数表达式； （2）求两辆火车什么时间相遇； （3）求两辆火车什么时间相距100 km. 4.4 一次函数的应用 重难题型突破 返回目录 4.4 一次函数的应用 重难题型突破 返回目录 4.4 一次函数的应用 ［答案］ 解：（1）设 L1 的表达式为 s=kt+b， 因为过点（1，240），（0，300），所以 k+b=240，b=300，解得 k=-60， 所以 L1 的表达式为 s=-60t+300； 设 L2 的表达式为 s=mt， 将（1，40）代入，得 m=40，所以 L2 的表达式为 s=40t； 重难题型突破 返回目录 4.4 一次函数的应用 （2）根据题意，得-60t+300=40t，解得 t=3. 答：两辆火车行驶 3 h 时相遇； （3）由题意，得相遇前相距 100 km：-60t+300-40t=100，解得 t=2； 相遇后相距 100 km：40t-（-60t+300）=100，解得 t=4． 答：两辆火车行驶 2 h 或 4 h 时相距 100 km． 重难题型突破 返回目录 4.4 一次函数的应用 变式衍生 某工作室制作工艺品并出售，当该工艺品的数量在60 个以内时，该工作室制作的这种工艺品都能全部售完．图中的线段 AB，OC 分别表示该工作室每天的成本 y1（单位：元），收入 y2（单位：元）与销售量 x（单位：个）之间的函数关系．若该工作室某一天既不盈利也不亏损，求这天生产工艺品的个数． 重难题型突破 返回目录 4.4 一次函数的应用 解：设 y1=k1x +b1，将（0，240），（60，480）代入，得 b1＝240，60k1+b1＝480，解得 k1＝4， 所以 y1=4x+240； 设 y2=k2x， 将（60，720）代 入 ， 得 60k2 =720， 解 得 k2 =12，所以 y2=12x， 当该工作室某一天既不盈利也不亏损时，y1=y2，即 4x+240=12x， 解得 x=30. 答：这天生产工艺品的个数是 30． 重难题型突破 返回目录 ■题型二 一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积 例 2 如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1， 0），与 y 轴交于点B（0，-2）． （1）求直线 AB 的表达式； （2）直线 AB 上是否存在一点 P，使△BOP的面积为 2？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 4.4 一次函数的应用 重难题型突破 返回目录 4.4 一次函数的应用 ［答案］ 解：（1）设直线 AB 的表达式为 y=kx+b（k≠0），将点 A（1，0），点 B（0，-2）的坐标代入，得 k+b=0，b=-2，解得 k=2，b=-2，所以直线 AB 的表达式为 y=2x-2； （2）设点 P 的坐标为（x，y），由题意，得 OB=2， 因为 S△BOP =2，所以 ×2·|x|=2，解得 x=±2， 所以 y=2×2-2=2 或 y=2×（-2）-2=-6. 所以点 P 的坐标是（2，2）或（-2，-6）． 重难题型突破 返回目录 4.4 一次函数的应用 思路点拨 设直线的表达式，将已知点坐标代入，求出 k，b 的值，由三角形面积公式求出三角形面积. 解题通法 解决根据一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积求点的坐标时，可以设点的坐标，利用三角形面积公式求解，注意点的位置不固定时要分类讨论. 重难题型突破 返回目录 $$