精品解析：2024年上海市长宁区中考数学一模卷

2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 在 中， ，如果，，那么 的长是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于抛物线的描述正确的是（ ） A. 该抛物线是上升的 B. 该抛物线是下降的 C. 在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D. 在对称轴的右侧该抛物线是上升的 3. 已知点 在线段 上，且满足，那么下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为非零向量，且，那么下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是( ) A. ， B. ， C. , D. ， 6. 已知在 与中，点分别在边上，（点 不与点重合，点不与点重合）．如果 与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明 与相似的是（ ） ①分别是 与的角平分线； ②分别是 与的中线； ③分别是 与的高． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 如果均不为零），那么的值是____________． 8. 计算：___________． 9. 已知线段 ，线段，线段c是线段a、b的比例中项，那么______． 10. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________. 11. 如图，，如果，那么线段 的长是__________． 12. 二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么____________． 0 1 13. 已知向量与单位向量方向相反，且，那么________．（用向量的式子表示） 14. 已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________． 15. 如图，在 中， 是 上的高，且，矩形的顶点在边 上，顶点分别在边 和 上，如果，那么____________． 16. 如图，在 中， ，点 是 的重心，连接、，如果，，那么的余切值为____________． 17. 我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在 中，，点都在边 上，，如果 与是友好三角形，那么 的长为____________． 18. 如图，在矩形 中，是对角线，点P在边 上，连接，将沿着直线翻折，点C的对应点Q恰好落在 内，那么线段 的取值范围是 ___________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 已知抛物线． （1）用配方法把化为的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的顶点坐标． 20. 在平行四边形 中，点 是 的中点，相交于点 ． （1）设，试用表示； （2）先化简，再求作：（直接作在图中）． 21. 如图，在四边形 中，，垂足为点． （1）求的值； （2） 交 于点 ，如果，求 的长． 22. 小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在 点观察所测物体最高点 ，量角器零刻度线上两点均在视线 上，将铅锤悬挂在量角器的中心点 ．当铅锤静止时，测得视线 与铅垂线 所夹的角为，且此时的仰角为 ． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼 的高度．他先站在水平地面的点 处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为 ；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点 处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为 ． 问题解决： （1）请用含的代数式表示仰角 ； （2）如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼 的高度．（结果保留根号） 23. 如图，在 中，点分别是 的中点，且，连接 并延长交 于点 ． （1）证明：； （2）证明：． 24. 已知抛物线与 轴交于两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，直线经过点 与点 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 在线段 下方的抛物线上，过点 作 的平行线交线段 于点 ，交 轴于点 ． ①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结 ，当时，求的正切值； ②如果，求点 的坐标． 25. 已知 中，， 平分 ，，．点 、 分别是边 、 上的点（点 不与点 、 重合），且， 、 相交于点 ． （1）求 的长； （2）如图 ，如果，求的值； （3）如果是以 为腰的等腰三角形，求 长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第一学期初三数学教学质量调研试卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 在 中， ，如果，，那么 的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意画出示意图，再利用锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：如图， ， 在 中，， ． 故选：D． 2. 下列关于抛物线的描述正确的是（ ） A. 该抛物线是上升的 B. 该抛物线是下降的 C. 在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D. 在对称轴的右侧该抛物线是上升的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵抛物线， ∴，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，选项D正确，符合题意； 故选：D． 3. 已知点 在线段 上，且满足，那么下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把 当作已知数求出 ，求出 ，再分别求出各个比值，根据结果判断即可． 【详解】解：令，，则， 可变形为， 整理，得， ， 解得， 边长为正数， ，， 即，， ，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B． 4. 已知为非零向量，且，那么下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的相关定义，根据其运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：．∵为非零向量，且，∴，正确，故本选项不符合题意； ．∵为非零向量，且，∴，正确，故本选项不符合题意； ．∵为非零向量，且，∴，原说法错误，故本选项符合题意； ．∵为非零向量，且，∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是( ) A. ， B. ， C. , D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项的条件只要能推出 或 ，即可得出△ADE∽△ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解： A、根据和，不能推出DE∥BC，故本选项错误； B、根据和，不能推出DE∥BC，故本选项错误； C、∵ ， ∴ ， ∵， ∴= ∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC，故本选项正确； D、根据= 和 =,不能推出DE∥BC，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出△ABC∽△ADE． 6. 已知在 与中，点分别在边上，（点 不与点重合，点不与点重合）．如果 与相似，点分别对应点，那么添加下列条件可以证明 与相似的是（ ） ①分别是 与的角平分线； ②分别是 与的中线； ③分别是 与的高． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据 与相似，可得，，，再根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解： 与相似，点分别对应点， ，，， ①分别是 与的角平分线时：，， ， 又 ， ；故①正确； ②分别是 与的中线时，，， ， ， 又 ， ；故②正确； ③分别是 与的高时，现有条件不足以证明 ，故③错误； 综上可知，添加①或②时，可以证明 与相似 故选A． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7. 如果均不为零），那么的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，令，则然后化简整理即可求得．令，则，，即可作答． 【详解】解：根据题意，可令，则 因此，． 故答案为：． 8. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 9. 已知线段 ，线段，线段c是线段a、b的比例中项，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，得到，代入计算，结合线段的非负性，确定答案即可． 【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，线段 ，线段， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例中项即称线段c是线段a、b的比例中项，根据定义计算是解题的关键． 10. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________. 【答案】4∶9 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3， ∴这两个相似三角形的相似比为2：3， ∴它们的面积比是4：9． 故答案为：4：9． 考点：相似三角形的性质． 11. 如图，，如果，那么线段 的长是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理结合比例解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴． 故答案为6． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活应用平行线分线段成比例定理列出比例式是解答本题的关键． 12. 二次函数图像上部分点的坐标满足下表：那么____________． 0 1 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解． 【详解】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线， 所以和 时的函数值相等， 即当时，y的值为． 故答案为：． 13. 已知向量与单位向量方向相反，且，那么________．（用向量的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量反向的定义是解题的关键． 根据单位向量的定义和向量方向相反的条件，结合模长关系求解． 【详解】∵ 向量 与单位向量 方向相反，且 ，， ∴ ． 故答案为：． 14. 已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坡度，先利用勾勾股定理求出水平距离，然后利用公式计算是解题的关键． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴斜坡的坡度为， 故答案为：． 15. 如图，在 中， 是 上的高，且，矩形的顶点在边 上，顶点分别在边 和 上，如果，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，通过四边形为矩形推出，因此与两个三角形相似，将视为的高，可得出，再将数据代入计算是本题的关键． 【详解】解：设与交于点M． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵和分别是和的高， ∴,， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在 中， ，点 是 的重心，连接、，如果，，那么的余切值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长 交 于 ，过 作于 ，可证，得，根据 为 的重心，可知，又因为，可得：，可知，在中利用勾股定理可得：，进而即可求解． 【详解】解：如下图所示，过 作于 ，延长交 于点 ， ，， ， ， ， ， 为 的重心， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 17. 我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在 中，，点都在边 上，，如果 与是友好三角形，那么 的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程．如图，过过点A作于点F．证明，推出，设这构建方程求解． 【详解】解：如图，过点A作于点F． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设这 ∵， ∴ ∴（负根已经舍去）， ∴ 故答案为：． 18. 如图，在矩形 中，是对角线，点P在边 上，连接，将沿着直线翻折，点C的对应点Q恰好落在 内，那么线段的取值范围是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点 恰好落在 边上，以及点 恰好落在 边上时的值，即可得出线段的取值范围． 【详解】解：当点 的对应点 恰好落在 边上时，如图： 由折叠的性质知，，， 又 矩形 中， ， 四边形是正方形， ， ； 当点 的对应点 恰好落在 边上时，如图， 由折叠的性质知， ， 又 矩形 中， ， ， ， 又 ， ， ，即， ， ， 线段的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 已知抛物线． （1）用配方法把化为的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）该抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）设平移后的抛物线解析式为，代入点 ，求得的值即可求解． 【小问1详解】 解： ， ∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，顶点坐标为； 【小问2详解】 设平移后的抛物线解析式为， ∵新的抛物线经过点 ， ∴， 解得， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标是． 20. 在平行四边形 中，点 是 的中点，相交于点 ． （1）设，试用表示； （2）先化简，再求作：（直接作在图中）． 【答案】（1） （2）， 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量， 根据题意得 和，进一步得到，则，代入向量即可． 化解得，将对应线段代入得到，过点E作，则，，连接即可． 【小问1详解】 解：∵四边形 为平行四边形， ∴ ，， ∴， 则， ∵点 是 的中点， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ， ∵， ∴， 过点E作，则， ∴， 21. 如图，在四边形 中，，垂足为点． （1）求的值； （2） 交 于点 ，如果，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形： （1）根据，得证明，结合相似三角形的性质，得的值； （2）根据相似三角形的性质且，得，，再证明，列式代数计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ 则 【小问2详解】 解：如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， 得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得． 22. 小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在 点观察所测物体最高点 ，量角器零刻度线上两点均在视线 上，将铅锤悬挂在量角器的中心点 ．当铅锤静止时，测得视线 与铅垂线 所夹的角为，且此时的仰角为 ． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼 的高度．他先站在水平地面的点 处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为 ；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点 处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： （1）请用含的代数式表示仰角 ； （2）如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼 的高度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长 交于L，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交 于点M，根据题意可得：米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图：延长 交于L， 由题意得： ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：延长交 于点M， 由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴ 解得： ∴米， ∴米， ∴大楼EF的高度为米． 23. 如图，在 中，点 分别是 的中点，且 ，连接 并延长交 于点 ． （1）证明：； （2）证明：． 【答案】（1） 证明： ， ，即， 又 点 分别是 的中点， ，， ， ∴， ； （2） 证明：如图，作交 于点H， ， ，；，， ，， 又 点 分别是 的中点， ，， ，， ， 由（1）得， ，即， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）根据等边对等角可得，再证这组夹角的两边成比例即可； （2）作交 于点H，可证，，推出，，进而可得，再根据得出，推出，等量代换可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知抛物线与 轴交于两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，直线经过点 与点 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 在线段 下方的抛物线上，过点 作 的平行线交线段 于点 ，交 轴于点 ． ①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结 ，当时，求的正切值； ②如果，求点 的坐标． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）先由一次函数求出，再运用待定系数法求二次函数解析式，即可作答． （2）①依题意，得，，根据角的等量代换，即，先求出点B的坐标．的正切值等于； ②先表达出，，，，再根据相似三角形的性质与判定，列式化简计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵直线经过点 与点 则当； ∴ ∴ 解得 ； 【小问2详解】 解：①如图： ∵，且两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 则 ∵ ∴轴 则 ∵过点 作 的平行线交线段 于点 ，交 轴于点 ． ∴ 则 ∵ 轴交于两点（点 在点 的左侧）， ∴ ∴， ∴ ∵ 则的正切值等于； ②设， 的解析式为 ∴把代入 得 解得 ∵过点 作 的平行线交线段 于点 ，交 轴于点 ∴设 的解析式为 把代入 得 ∴ 令， 即 当 解得 则把代入 得 ∴ ∵过点 作轴，过点 作轴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴， ∴ 解得 ∵点 在线段 下方的抛物线上， ∴（舍去） ∴． 把代入 ∴ ∴点 的坐标 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 已知 中，， 平分 ，，．点 、 分别是边 、 上的点（点 不与点 、 重合），且， 、 相交于点 ． （1）求 的长； （2）如图 ，如果，求的值； （3）如果是以 为腰的等腰三角形，求 长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义以及 和的关系，可以得出，，据此求出 的长即可； （2）根据 和相似，可以求出 和 的长，过 作交 于 ，根据和可求出的值； （3）分情况讨论：当时；当 时，即可解答． 【小问1详解】 解：， 平分 ， ， ， 又， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 过 作交 于 ，如图：     ， ， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当 时，在 上截取点 ，使，如图所示： 则， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， 综上， 的长为或 ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等角的补角相等、相似三角形的判定和性质、平行线的判定及性质、等腰三角形的判定与性质、外角的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确判断相似条件与全等是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $