2025届广东省深圳实验学校高三上学期数学第2周周末练习

深圳实验学校2025届高三数学第2周周末练习 姓名：___________班级：__________ 命题人：张汇华 审题人：谢瑞钿 一、单选题 1．已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（    ） A．4 B．16 C． D． 2．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A．(-∞，-1)∪(2，+∞) B．(-∞，-2)∪(1，+∞) C．(-1，2) D．(-2，1) 3．已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是 A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D． 6．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8．若函数与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为 A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．在单调递增，在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．已知函数，且，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．的最大值为 三、填空题 12．已知a、b∈R+，且2a＋b＝1，则S＝的最大值为 . 13．若，则函数的最大值为 . 14．设函数的极小值点为，若的图象上不存在关于直线对称的两点，则的取值范围为 . 四、解答题 15．设函数． (1)若在处取得极值，求的值； (2)若在上为减函数，求的取值范围. 16．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若在区间上的最大值为M，最小值为m，求证：． 17．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点 ①； ②． 18．已知函数，，其中实数，e为自然对数的底数. (1)当，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求a的值. 19．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围； (3)当时，证明：. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可. 【详解】因为. 故选：B. 2．D 【解析】由，利用分段函数的单调性求解. 【详解】函数的图象如图所示： 所以函数是定义域上的增函数， 又， 所以， 即， 解得， 故选：D 3．D 【分析】作出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数的图像，和函数的图像. 由图像可知：函数的图像是过原点的直线， 当直线介于与轴之间符合题意， 直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为 ， 求其导数可得，因为，故， 故直线的斜率为， 故只需直线的斜率. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题. 4．D 【分析】由已知当时，有恒成立，可判断函数 为减函数，由是定义在R上的奇函数，可得g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，结合g（x）的图象，解不等式即可 【详解】设则g（x）的导数为 ∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）＜0，∴当x＞0时，函数为减函数，又，∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵ ∴函数g（x）的图象如图：数形结合可得 ∵xf（x）＞0且，f（x）=xg（x）（x≠0） ∴x2•g（x）＞0∴g（x）＞0  ∴0＜x＜1或-1＜x＜0 故选D． 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 5．A 【分析】在上递增，根据在上有最小值，可知有极小值点，也即最小值点，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】在区间上单调递增，由题意只需 ， 这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值． 所以的取值范围是. 故选：A 6．B 【分析】将的最小值，转化为到圆心的最小距离再减去半径来求得的最小值，设出函数上任意一点的坐标，求得圆心的坐标，利用两点间的距离公式求得的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去求得的最小值. 【详解】依题意，圆心为，设点的坐标为， 则， 设， ， 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，故， 所以时，且， 所以时，，函数单调递减， 当时，令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 则，即， 所以时，单调递增，即单调递增， 所以，故当时，函数单调递增， 所以， 故的最小值为， 则线段的长度的最小值为． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：将的最小值，转化为到圆心的最小距离再减去半径来求得的最小值是解决本题的关键. 7．D 【分析】将函数恰有两个极值点转化成：函数有两个不同的零点.即：方程有两个不同的实数根，再转化成：有两个不同的实数根，讨论的单调性并画出简图，结合图象即可列不等式求解． 【详解】由题可得：， 因为函数恰有两个极值点， 所以函数有两个不同的零点. 令，等价转化成有两个不同的实数根， 记：，所以， 当时，，此时函数在此区间上递增， 当时，，此时函数在此区间上递增， 当时，，此时函数在此区间上递减， 作出的简图如下： 要使得有两个不同的实数根，则，即：， 整理得：. 故选D 【点睛】本题主要考查了极值点与导数的关系，还考查了转化思想及计算能力，考查了函数图象与导数的关系，属于难题． 8．B 【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可 【详解】，，设公切线与的图象切于点，与曲线切于点， ∴，故，所以，∴，∵，故， 设，则， ∴在上递增，在上递减，∴， ∴实数a的最大值为e 故选：B. 9．BC 【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项. 【详解】函数的定义域满足 ，即， 即函数的定义域是， ∵， 设，则函数在单调递增，在单调递减， 又函数单调递增， 由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确； 因为,, 所以，即函数图象关于直线对称，故C正确； 又，， 所以，所以D错误． 故选：BC． 10．AC 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合函数的单调性、极值及零点得存在性定理可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题意可得，解得， 所以， 令得或，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极值点，故A正确； 因为，， 所以函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为， 因为，则是奇函数， 所以是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为， 当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 11．BCD 【分析】对于A，A不正确 对于B，的图象关于点对称B正确 对于C，在上的单调性C正确 对于D，的最小正周期是的最大值D正确 【详解】由题，，故A不正确； 因为，所以的图象关于点对称，（方法：若，则的图象关于点对称），故B正确； ，易知当时，，在上单调递减，故C正确． 易知的最小正周期是，因此只需考虑函数在上的最大值即可，由选项C可知，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，函数的最大值为，当时，，因此的最大值为，故D正确． 故选：BCD 12． 【详解】∵、，且 ∴，当且仅当时取等号. ∴的最大值为 故答案为. 点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 13．-8 【详解】试题分析：设 当且仅当时成立 考点：函数单调性与最值 14． 【分析】由无解，构造函数在不存在零点，利用导数判断函数单调性，结合单调性分析函数零点. 【详解】由题，无解， 则在不存在零点. 又时，，而， 所以必有时， 故必有使在时在0附近单调递减， （否则若，若不存在正零点则单调递增而恒正， 若存在正零点，记的最小正零点为，则在[0，m]恒成立， 不符合题意）， 而， 故同理必有，而， 同理必有， ， 而， 故， 又，故， 又，故 下证明充分性：即只需恒成立， 而单调递增，设零点为，由前述必要条件知， 故， 只需， 而零点为得， 故即证， 即， 由题必有，则， 令， 则， 只需，即， 令，即， 而单调递增且有唯一零点，且， 故在单调递减，单调递增，而， 故，原命题得证. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据极值点定义可知，由此可得，代回验证可知满足题意，由此可得结果； （2）将问题转化为在上恒成立，采用分离变量法可得，令，利用导数可求得，由此可得的取值范围. 【详解】（1），； 当时，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，符合题意； 综上所述：. （2）若在上为减函数，则在上恒成立， 即对恒成立， 令， 则， 在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 16．(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求得，讨论与的大小关系，讨论不同情况下导函数的正负，即可求得对应单调性； （2）根据（1）中所求函数单调性，求得关于的函数关系，再构造函数求其单调性和最值，即可证明. 【详解】（1）因为，则， 当时，令，解得或，此时单调递增； 令，解得，此时单调递减； 当时，，故此时在上单调递增； 当时，令，解得或，此时单调递增； 令，解得，此时单调递减； 综上所述：当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减， 在单调递增. （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 又，， 故； 又，， 则，即， 故； 则 令， 则， 令，可得，此时单调递增， 令，可得，此时单调递减， 又， 故当时，，即当时，，即证. 【点睛】本题考查含参函数单调性的讨论，以及利用导数求函数的最值，属综合中档题. 17．(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论. 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； (2)若选择条件①： 由于，故，则， 而， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②： 由于，故，则， 当时，，， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. 当时，构造函数，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 注意到，故恒成立，从而有：，此时： ， 当时，， 取，则， 即：， 而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点. ， 由于，，故， 结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用． 18．(1)； (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程. （2）构造，利用导数研究其单调性，讨论参数a，确定使恒成立的a值即可. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，，故在处的切线方程为. （2）由题设，恒成立， 令，又，故只需保证恒成立， 则，且，进而有， 1、当时，，即单调递增，而，， 所以使，故在上，即单调递减，此时存在，不满足题设； 2、当时，，则，进而有， 所以单调递增，， 所以上，递减，上，递增，故，满足题设， 3、当时，，而当趋向负无穷时也趋于负无穷， 所以使，故在上，即递增，此时，不满足题设； 综上，. 【点睛】关键点点睛：第二问，注意讨论参数的范围研究是否在的右侧存在减区间或左侧存在增区间，若存在则题设条件不成立，仅当其在右侧递减左侧递增时符合题意. 19．(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）利用导数研究函数的单调性计算最值即可； （3）构造差函数，先利用二次求导及得出，使得，结合隐零点判定其单调性及最值，再利用消元转化得，最后利用（2）的结论得出，由隐零点的范围即可得证. 【详解】（1）当时，， 所以，则在处的切线方程为：， 化简得； （2）由题意知的定义域为且， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 解得，即a的取值范围是； （3）记， 所以， 令，， 所以，所以即在上单调递增. 又，所以，， 所以，使得，即， 所以，， 所以当，，单调递减： 当，，单调递增， 所以 由（2）知，，故， 所以. 又，所以， 故，即，原不等式得证 【点睛】关键点点睛：第三问，构造差函数，先利用二次求导及得出，使得，结合隐零点判定其单调性及最值，再利用消元转化得求，最后利用（2）的结论得出，由隐零点的范围即可得证.用到了二次求导及隐零点、函数放缩等方法. 答案第16页，共18页 答案第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$