精品解析：江苏省江阴市第一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

江阴一中2024年9月月考 高二数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若，则实数λ的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则互共轭复数 C. 若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 D. 若，则 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C. 若，，则直线倾斜角为90° D. 若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 13. 已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为__________. 14. 在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 设复数（其中），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 16. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面PBC，平面PAB，D为PC的中点，. （1），，，用a，b，c表示； （2）若，求. 17. 设直线l的方程为． （1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； （2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； （3）当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 18. 如图1所示中，，，，分别为，中点.将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得.连接，，得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上. （1）证明：平面； （2）若，连接，，求直线与平面的夹角的正弦值； （3）求动点到线段的距离的取值范围. 19. 在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． （1）点到平面距离； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴一中2024年9月月考 高二数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简得，根据题意列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为， 又因为此复数在第二象限， 所以，解得. 故选：B. 2. 已知，，若，则实数λ的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，据此可得答案. 【详解】由题可得. 注意到， 则. 故选：A 3. 已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出直线与线段的延长线，再结合图像观察即可得解. 【详解】解：由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点，则， 又， 则直线的斜率的取值范围是， 故选C. 【点睛】本题考查了直线斜率，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题. 4. 已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由是方程的根求出，，然后由复数减法的几何意义求解即可. 【详解】∵是关于的方程（，）的一个根， ∴（，），化简得， ∴，解得， ∴， 如图所示复平面内，复数和表示的点为和，表示的向量为和， 则由复数减法的几何意义，复数表示的向量为， 若，则， ∴点的集合图形是以为圆心，半径为的圆， ∴围成的面积为. 故选：A. 5. 已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线垂直得出,再根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以即得, 所以, 因为，都是正实数，所以. 当且仅当时，取最小值25. 故选：D. 6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点坐标可得重心与外心的坐标，进而得欧拉线方程. 【详解】由重心坐标公式可得：重心，即. 由，，可知外心在的垂直平分线上， 所以设外心，因为， 所以， 解得，即：， 则， 故欧拉线方程为：， 即：， 故选：A. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解. 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：D 8. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，， 设，则， ，可得； 当时，，当时，， 取， 连结， 则， 四边形为矩形，则， 即，又和为平面中的两条相交直线， 平面，又， 为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明 过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点的轨迹形状即可求得周长. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则互为共轭复数 C. 若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据复数的乘方结合复数的相关概念分析判断；对于C：根据复数的模的几何意义可判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于A，设， 则，故A正确； 对于B，取，那么，但不是共轭复数，故B错误； 对于C，设在复平面内的点为，由知，点在以为圆心，1为半径的圆上，故C正确； 对于D，取，则，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的斜率为，则直线的倾斜角为 C. 若，，则直线的倾斜角为90° D. 若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 【答案】CD 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率关系，斜率公式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误； B：直线的斜率时，因为可以是不为的任意实数，而直线倾斜角的范围为，故B错误； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，故C正确； D：过，两点的斜率为：，故D正确. 故选：CD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ） A. 与平面的夹角的正弦值为 B. 点到的距离为 C. 线段的长度的最大值为 D. 与的数量积的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得，， 若，则，可得， 则，解得，即. 对于选项A：可知平面的法向量， 则， 所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确； 对于选项B：因为， 所以点到的距离为，故B正确； 对于选项C：因为， 则， 且，可得当且仅当时，取到最大值， 所以线段的长度的最大值为3，故C错误； 对于选项D：因为，， 则， 且，可知当时，取到最小值； 当时，取到最大值； 所以与的数量积的范围是，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的一般式方程为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据直线过原点和不过原点设出直线方程，然后代入点即可得解. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为或， 因为直线过点可得或，可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或 13. 已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可. 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 14. 在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件先确定出在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的余弦值的取值范围. 【详解】记在底面内的投影为，则底面， 又、平面，故、， 则，， 又，则， 所以的轨迹是以为圆心半径为的圆， 建立如下图所示的空间直角坐标系： 设，，， 所以， 所以，其中 设直线与直线的所成角为， 所以. 故答案为：. 点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 设复数（其中），. （1）若是实数，求的值； （2）若是纯虚数，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知为实数，所以，求得，再进行复数的乘法运算即可； （2）由题知为纯虚数，所以，求得，再根据复数的模长公式计算即可. 【小问1详解】 由已知， 是实数， ，即， . 【小问2详解】 ， 由于是纯虚数，，解得， 则. . 16. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面PBC，平面PAB，D为PC的中点，. （1），，，用a，b，c表示； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用空间向量线性运算，准确化简、运算，即可求解； （2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【小问1详解】 如图所示，连接，可得， 因为为的中点，且， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为， 所以 ， 因为平面，平面，且平面,平面， 所以， 又因为， 所以， 所以. 17. 设直线l的方程为． （1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P； （2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程； （3）当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】(1) 因为，，通过化简得，结合过定点列方程组，解出方程组的解即可得到定点坐标. (2) 令得，，令可得，.因为，点A，B分别在x，y轴的正半轴上，所以得到的取值范围，再利用均值不等式求出的值即可得到直线方程. (3) 由(2)可知直线l分别与x，y 轴的正半轴相交，所以，，均为正整数且a也为正整数求得. 将的值代入原方程即可. 【小问1详解】 由得，则，解得， ∴不论a为何值，直线l必过一定点； 【小问2详解】 由， 当时，，当时，， 又由，得， ， 当且仅当，即时，取等号． ，， ∴直线方程为． 【小问3详解】 直线l在两坐标轴上的截距均为正整数，即，均为正整数，而a也为正整数， ，， ∴直线l的方程为． 18. 如图1所示中，，，，分别为，中点.将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得.连接，，得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上. （1）证明：平面； （2）若，连接，，求直线与平面的夹角的正弦值； （3）求动点到线段的距离的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求解线面角的正弦； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可. 【小问1详解】 因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后， ，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立 空间直角坐标系，则，，，，， 为中点，所以，，设平面法向量为 ，又，，所以， ，令，则，，所以，所以， 所以，所以平面. 【小问2详解】 设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，所以，， ，设平面的法向量为，， ，令，则，，所以，， 设直线与平面的夹角为， 所以， 所以直线与平面的夹角的正弦值. 【小问3详解】 设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为. 19. 在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点． （1）点到平面的距离； （2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点在靠近的三等分点处 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量后利用点面距公式可求点到平面的距离； （2）求出直线与的方向向量后可求它们夹角的余弦值； （3）设，求出面和平面法向量后利用夹角公式可求参数的值，从而可得所求的位置关系. 【小问1详解】 过作直线平面， 则可以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有，，，，，， 则，， 设面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 所以点到面的距离. 【小问2详解】 因为为的中点，所以，所以，， 所以 所以异面直线与AE所成角的余弦值为． 【小问3详解】 设，其中， 则，， 设面的一个法向量为， 则有，令，则，， 所以，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 所以， 若存在点，使得二面角的余弦值为， 则，所以，解得（舍去）或， 故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处． 另解： 连接，则，易得，所以， 又平面，， 所以，，所以两两互相垂直， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 同理可得平面的一个法向量， 所以，即， 解得（舍）或，所以存在点在处或在靠近的三等分点处． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $