3.4圆心角 （第二课时）课件-2024-2025学年浙教版数学九年级上册

3.4圆心角（第二课时） 一、知识回顾，类比探究 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦和这两条弦上的弦心距也相等. ∠AOB=∠COD 定理 逆定理 AE=BE CD⊥AB 圆心角定理还能再进一步的研究吗？ 条件 结论 ∠AOB=∠COD ① ② ③ 条件 结论 AB=CD 条件 结论 OE=OF 条件 结论 二、分类探索，得出定理 你能给出证明吗？ 条件 结论 已知，如图在☉O中， OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距,且 . 求证：∠AOB=∠COD,AB=CD,OE=OF. ∴∠AOB=∠COD, ∴AB=CD,OE=OF. 证明：∵ 圆心角定理 AB=CD 条件 结论 已知，如图在☉O中， OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距,且AB=CD. 求证：∠AOB=∠COD, ,OE=OF. ∴∠AOB=∠COD, 证明：∵AB=CD,OA=OC,OB=OD ∴ ,OE=OF. ∴ △ AOB ≌ △ COD, 已知，如图在☉O中， OE是弦AB的弦心距，OF是弦CD的弦心距,且OE=OF. 求证：∠AOB=∠COD,AB=CD, . OE=OF 条件 结论 ∴∠AOE=∠COF, 证明：∵ OE⊥AB,OF⊥CD, ∴ ,AB=CD. ∴ Rt△ AOE ≌ Rt △ COF(HL), ∵OE=OF,OA=OC, ∵OA=OB,OC=OD, ∴∠AOB=∠COD, ∴∠AOB=2∠AOE ,∠COD =2∠COF, 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等。 三、尝试应用，巩固定理 联结OA、OB、OC， 你还能得到哪些结论？ 练习 如图，等边三角形ABC内接于☉O， 你能得到哪些结论？ ∠AOB=∠BOC=∠COA=120° 四、例题演练，提升能力 例3 如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．延长AO,分别交BC于点P，交 于点D，连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由. 解：四边形BDCO是菱形，理由如下： ∵AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120° ∴∠BOD=180°-∠AOB=60° 又∵OB=OD， ∴△BOD是等边三角形 同理，∴△COD是等边三角形 ∴OB=OC=BD=CD ∴四边形BDCO是菱形 例4 已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．求证： 分析：连结OD,OE， 只要证明∠AOD=∠DOE=∠BOE. 证明: 连结OD,OE 在等边三角形ABC中，∠A=60° ∵OA=OD ∴△AOD为等边三角形 ∴∠AOD=60° 同理∠BOE=60° ∴∠DOE= 180°-∠AOD-∠BOE=60° ∴∠DOE= ∠AOD=∠BOE B 提升 已知：如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC，底边AB为⊙O的一条弦，点C在圆外，边AC、BC分别与⊙O 交于点D，E．求证： 证明: 连结CO、AO、BO 过点O作OM⊥AC于M， ON⊥BC于N， ∵OA=OB， AC=BC，OC=OC ∴△ AOC ≌ △ BOC(SSS) ∴∠ACO=∠BCO， ∴OM=ON · O D A E C B 五、拓展发散，内化应用 M N 六、梳理小结，感悟提升 圆心角定理 圆心角定理的逆定理 等量关系 弧 弦心距 弦 圆心角 定理研究的基本路径和方法 联系 依据 条件 结论 多个命题（定理） $$