专题课堂(三十三) 垂径定理（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

专题课堂(三十三)　垂径定理 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧． 2. 在5个条件中：①平分弦所对的劣弧；②平分弦所对的优弧；③平分弦；④垂直于弦；⑤经过圆心(或者说直径).只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论． 1. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径及EC的长． 解：连接BE，∵OD⊥AB，AB＝8，∴AC＝CB＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×8＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD－CD＝r－2，在Rt△OAC中，r2＝(r－2)2＋42，解得r＝5，∴OD＝5，OC＝3，∵OA＝OE，AC＝BC，∴OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，BE∥OC，∵OD⊥AB，∴BE⊥AB，∴∠EBC＝90°.在Rt△CBE中，CE＝ eq \r(CB2＋BE2) ＝ eq \r(42＋62) ＝2 eq \r(13) 2. (2022·佛山期中)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，求CD的长度． 解：∵OE⊥AC于点E.∴AE＝EC.∵OE＝3，AO＝OB＝5.∴AE＝ eq \r(AO2－OE2) ＝4，∴AC＝8.∵OE⊥AC，CD⊥AB，∴∠AEO＝∠AFC＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AEO∽△AFC，∴ eq \f(AO,AC) ＝ eq \f(EO,FC) ，即 eq \f(5,8) ＝ eq \f(3,FC) ，∴FC＝ eq \f(24,5) .∵CD⊥AB，∴CD＝2FC＝ eq \f(48,5) 3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，求CD的长． 解：过O点作OE⊥CD，垂足为E，连接OD，∵AP＝2，BP＝6，∴OA＝OB＝OD＝4，OP＝OA－AP＝2，∵∠OPE＝∠APC＝30°，∴OE＝ eq \f(1,2) OP＝1.在△ODE中，DE＝ eq \r(OD2－OE2) ＝ eq \r(42－12) ＝ eq \r(15) ，由垂径定理知：CD＝2DE＝2 eq \r(15) 4. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图①.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图②.已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，求点C到弦AB所在直线的距离． 解：连接OC交AB于点D，连接OA，∵点C为运行轨道的最低点，∴OC⊥AB，∴AD＝ eq \f(1,2) AB＝3(米)，在Rt△OAD中，OD＝ eq \r(OA2－AD2) ＝ eq \r(42－32) ＝ eq \r(7) (米)，∴点C到弦AB所在直线的距离CD＝OC－OD＝(4－ eq \r(7) )米 5. 如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，求“图上”太阳升起的速度． 解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D.延长DO交⊙O于点E，∵AB＝16厘米，∴AD＝ eq \f(1,2) AB＝8(厘米)，∵OA＝10厘米，∴OD＝ eq \r(OA2－AD2) ＝ eq \r(102－82) ＝6(厘米)，∴海平线以下部分的高度＝OE＋OD＝10＋6＝16(厘米)，∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1(厘米/分) $$