易错课堂(八) 二次函数（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

易错课堂(八)　二次函数 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 a≠2 a＝2且b≠－2 a≥5 ±4或0 (10＋7x) (12＋6x) 忽略二次函数y＝ax2＋bx＋c中的a≠0 【例1】 m为何值时，y＝(m＋1)xm2－3m－2是关于x的二次函数？ 易错分析：易忽略了m＋1≠0这一隐含条件． 解：根据题意，得m2－3m－2＝2，且m＋1≠0.解得m＝4.即当m＝4时，y＝(m＋1)xm2－3m－2是关于x的二次函数 1. 已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当____________时，x，y之间是二次函数关系； (2)当________________________时，x，y之间是一次函数关系. 2. 已知二次函数y＝(m－1)x2－2mx＋m＋1. (1)求这个函数图象和x轴的交点坐标；(可以用含m的代数式表示) (2)当m为何整数时，函数图象和x轴的交点横坐标都为正整数？ 解：(1)①当m－1＝0，即m＝1时，函数y＝－2x＋2和x轴的交点为(1，0)； ②当m－1≠0，即m≠1，且y＝0时，(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0，∴b2－4ac＝4，∴x1＝ eq \f(2m＋2,2（m－1）) ＝ eq \f(m＋1,m－1) ＝1＋ eq \f(2,m－1) ，x2＝ eq \f(2m－2,2（m－1）) ＝1，∴该函数图象和x轴的交点坐标是(1＋ eq \f(2,m－1) ，0)，(1，0)　 (2)∵方程的两个根都是正整数，∴ eq \f(2,m－1) 是正整数，∴m－1＝1或2， ∴m＝2或3 　不判断最值是否在顶点处 【例2】 在－2≤x≤4这个范围内，求二次函数y＝x2的最值． 易错分析：当－2≤x≤4时，既包含了正数，0，又包含了负数，因此这个范围内函数值y随x的变化情况要分段研究． 解：由于－2≤x≤4包含了x＝0，所以二次函数y＝x2的最小值为0；当x＝－2时，y＝4；而当x＝4时，y＝16，故二次函数y＝x2的最大值为16 3. 已知关于x的二次函数y＝x2＋(1－a)x＋1，当x的取值范围是1≤x≤3时，函数值y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是___________． 4. 已知抛物线y＝x2－2ax＋16的顶点在坐标轴上，则a＝_______________． 5. 已知二次函数y＝x2＋(2m－4)x＋m2－4m－5(m是常数，－1＜m＜5)的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴负半轴交于点C. (1)求二次函数的图象顶点Q的坐标； (2)当－3≤x≤2时，函数的最大值为7，求m的值. 解：(1)∵y＝x2＋(2m－4)x＋m2－4m－5＝(x＋m－2)2－9，∴Q(2－m，－9)　 (2)∵y＝x2＋(2m－4)x＋m2－4m－5＝(x＋m－2)2－9，∴抛物线的对称轴为直线x＝2－m，∵ eq \f(－3＋2,2) ＝－0.5，①当2－m≤－0.5，即m≥2.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝2时，函数最大值为7，∴(2＋m－2)2－9＝7，解得m＝4或m＝－4(舍去)；②当2－m＞－0.5，即m＜2.5时，根据二次函数的对称性及增减性，当x＝－3时，函数最大值为7，∴(－3＋m－2)2－9＝7，解得m＝1或m＝9(舍去).综上所述，m＝4或m＝1 　在利用二次函数最值解决实际问题时，忽略了自变量的取值范围 【例3】 在一面8米长的墙边，用18米长的篱笆围成两个相邻的矩形鸡舍(如图)，若用x表示垂直于墙的一边长，y表示两个鸡舍的面积和，求y与x的函数关系式，并求y的最大值. 易错分析：此解法没有考虑实际情况，∵x＝3时，矩形鸡舍的另一边长为18－3x＝9，而墙只有8米长，∴x＝3不合题意． 解：由题意，得y＝x(18－3x)＝－3x2＋18x＝－3(x－3)2＋27. ∵墙长8米，∴0＜18－3x≤8，∴ eq \f(10,3) ≤x＜6. 如图，当x＝ eq \f(10,3) 时，y有最大值为 eq \f(80,3) 平方米 6. 近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数y(辆)与每辆车每天的租金x(元)满足关系式y＝－ eq \f(1,50) x＋36(500≤x≤1800，且x为50的整数倍)，公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w元． (1)求w与x的函数关系式；(利润＝租金－支出) 解：由题意得w＝(x－200)y＝(x－200)(－ eq \f(1,50) x＋36) ＝－ eq \f(1,50) x2＋40x－7200(500≤x≤1800，且x为50的整数倍) (2)公司在十一黄金周的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过800元．请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元？ 解：w＝－ eq \f(1,50) x2＋40x－7200＝－ eq \f(1,50) (x－1000)2＋12800.∵－ eq \f(1,50) ＜0，w有最大值，∴当x＝1000时，w的最大值为12800，由题意可得，后4天时500≤x≤800，∵当x＜1000时，w随着x的增大而增大，∴当x＝800时，w的最大值为12000，∴3×12800＋4×12000＝86400(元)，答：这7天公司获得的总利润最多为86400元 7. 玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件，今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年销售量增加x倍(本题中0＜x≤1). (1)用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为___________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为______________元； (2)求今年这种玩具每件的利润y(元)与x之间的函数关系式； (3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是多少万元？ 解：(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝－x＋2(0<x≤1) (3)w＝2(1＋x)(－x＋2)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x－0.5)2＋4.5， 又∵－2＜0，0＜x≤1，∴w有最大值，∴当x＝0.5时，w最大值＝4.5. 答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大为4.5万元 $$