第二章 4 二次函数的应用 第2课时 二次函数在商品利润问题中的应用（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

4　二次函数的应用 第2课时　二次函数在商品利润问题中的应用 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 销售量 总成本 销售量 成本 15 p＝－3x2＋168x－2160 29 121 1. 与商品利润有关的计算公式： (1)销售额＝销售单价×__________； (2)利润＝销售额－__________＝每件利润×__________； (3)每件利润＝销售单价－________单价． 2. 某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(10≤x≤20，且x为整数)出售，可卖出(20－x)件，若使利润最大，则每件商品的售价应为__________元． 【解析】设利润为w元，则w＝(x－10)(20－x)＝－(x－15)2＋25，∵10≤x≤20，∴当x＝15时，二次函数有最大值25，故答案为：15 【典例导引】 知识点：二次函数在商品利润问题中的应用 3. 【例1】 某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx＋b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件． (1)求k，b的值； (2)求销售该商品每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润． 解：(1)由题意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30＝50k＋b，,10＝70k＋b，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝80)) 　 (2)∵w＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋80)＝－(x－60)2＋400，∴当x＝60时，w有最大值为400元，答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元 【变式训练】 4. (习题变式)某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件． (1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为_______件； (2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润． 解：(1)由题意，得200－10×(52－50)＝200－20＝180(件)，故答案为：180　 (2)由题意，得y＝(x－40)[200－10(x－50)]＝－10x2＋1100x－28000＝－10(x－55)2＋2250，∴当每件的销售价x为55元时，获得最大利润，最大利润为2250元 5. 【例2】 某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的关系． (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，将(20，100)，(25，50)代入y＝kx＋b，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20k＋b＝100，,25k＋b＝50，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－10，,b＝300，)) ∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋300　 (2)设该款电子产品每天的销售利润为w元，由题意得w＝(x－10)y＝(x－10)(－10x＋300)＝－10x2＋400x－3000＝－10(x－20)2＋1000，∵－10＜0，∴当x＝20时，w有最大值，最大值为1000元．答：该款电子产品销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大利润为1000元 6. 某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合如图所示的一次函数关系． (1)根据图象，直接写出y与x的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 解：(1)y与x的函数关系式为：y＝－2x＋260 (2)设每天获得的利润为w元，由题意得w＝(x－50)(－2x＋260)＝－2x2＋360x－13000＝－2(x－90)2＋3200.∴当x＝90时，w有最大值，w最大值＝3200.答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元 A组　夯实基础 7. (2022·广州月考)学子书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y(本)与销售单价x(元)满足一次函数关系：y＝－3x＋108(29≤x≤36).如果销售这种图书每天的利润为p(元)，则p与x的函数关系式为________________________________；当销售单价定为________元时，每天获得的利润最大． 8. (2022·聊城)某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为________元(利润＝总销售额－总成本). B组　能力提升 9. (2022·辽宁)某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y(千克)与每千克售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每千克售价x(元) …… 20 22 24 …… 日销售量y(千克) …… 66 60 54 …… (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？ 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由表中数据得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20k＋b＝66，,22k＋b＝60，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝126，)) ∴y与x之间的函数关系式为y＝－3x＋126　 (2)设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，由题意，得w＝(x－18)y＝(x－18)(－3x＋126)＝－3x2＋180x－2268＝－3(x－30)2＋432，∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，∴18≤x≤28，∵－3<0，∴当x<30时，w随x的增大而增大，∴当x＝28时，w有最大值，最大值为420元．答：当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元 10. (2022·贺州)2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套． (1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； (2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？ 解：(1)根据题意，得y＝200－ eq \f(1,2) ×4(x－48)＝－2x＋296，∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋296　 (2)根据题意，得W＝(x－34)(－2x＋296)＝－2(x－91)2＋6498，∵a＝－2＜0，∴抛物线开口向下，W有最大值，当x＝91时，W最大值＝6498.答：每套售价定为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元 C组　核心素养 11. (2022·铜仁)为实施乡村振兴战略，某村产业合作社种植了“千亩桃园”.2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题： (1)求每天销量y(吨)与批发价x(千元/吨)之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)根据题意得y＝12－2(x－4)＝－2x＋20(4≤x≤5.5)，所以每天销量y(吨)与批发价x(千元/吨)之间的函数关系式为y＝－2x＋20，自变量x的取值范围是4≤x≤5.5　 (2)设每天获得的利润为w千元，根据题意得w＝(－2x＋20)(x－2)＝－2x2＋24x－40＝－2(x－6)2＋32，∵－2<0，∴当x<6时，w随x的增大而增大．∵4≤x≤5.5，∴当x＝5.5时，w有最大值，最大值为－2×(5.5－6)2＋32＝31.5，∴将批发价定为5.5千元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元 12. (2022·东莞模拟)为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)(8≤x≤40)满足的函数图象如图所示． (1)根据图象信息，求y与x的函数关系式； (2)求五一期间销售草莓获得的最大利润． 解：(1)当8≤x≤32时，设y＝kx＋b(k≠0)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22k＋b＝150，,32k＋b＝120，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝216，)) ∴当8≤x≤32时，y＝－3x＋216，当32＜x≤40时，y＝120，∴y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x＋216（8≤x≤32），,120（32<x≤40）)) 　 (2)设利润为W元，则当8≤x≤32时，W＝(x－8)y＝(x－8)(－3x＋216)＝－3(x－40)2＋3072，∵开口向下，对称轴为直线x＝40，∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，∴x＝32时，W最大＝2880；当32＜x≤40时，W＝(x－8)y＝120(x－8)＝120x－960，∵W随x的增大而增大，∴x＝40时，W最大＝3840，∵3840＞2880，∴最大利润为3840元 $$