第二章 4 二次函数的应用 第1课时 二次函数在几何问题中的应用（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

4　二次函数的应用 第1课时　二次函数在几何问题中的应用 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 未知数 图象 公式 C 9 C 32 2 1. 利用二次函数求几何图形面积的最值： (1)根据几何图形的特征用含有__________的代数式表示所求图形的面积，构建二次函数模型； (2)运用二次函数的________与________求函数的最大(小)值． 2. 如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( ) A.60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2 3. 利用二次函数解决抛物线型问题：在实际问题中，存在着与抛物线的形状相关的图形，如抛物线型建筑物(拱门、桥洞问题等)、球的运动轨迹、喷泉喷出的水的轨迹等，都可以通过建立二次函数的模型来解决． 4. 网球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－t2＋6t，则网球在飞行中距离地面的最大高度是________米． 【典例导引】 知识点一：二次函数在最大面积问题中的应用 5. 【例1】 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个矩形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20 m的栅栏围成，如图，设AB＝x m，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 解：由题意可得，花园的面积为：x(20－2x)＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50，∴当x＝5时，花园的面积取得最大值，此时花园的面积是50，BC的长是20－2×5＝10＜15，即当x取5时，花园的面积最大，最大面积是50 m2 【变式训练】 6. (习题变式)如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形的花圃，且花圃的长可借一段墙体(墙体的最大可用长度为10 m)，设AB的长为x m，所围的花圃面积为y m2，当x取何值时，花圃的面积最大？ 解：由题意得y＝x(24－3x)，即y＝－3(x－4)2＋48，∵x>0，且0<24－3x≤10，∴ eq \f(14,3) ≤x＜8，∵a＝－3<0，∴二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝4，∴当x＝ eq \f(14,3) 时，花圃的面积最大 知识点二：二次函数在抛物线型问题中的应用 7. 【例2】 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，水管应多长？ 解：设这段抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋3.∵该抛物线过点(3，0)，∴0＝a(3－1)2＋3，解得a＝－ eq \f(3,4) ，∴y＝－ eq \f(3,4) (x－1)2＋3.∵当x＝0时，y＝－ eq \f(3,4) (0－1)2＋3＝2.25，∴水管应长2.25 m 8. 一座隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为8 m，宽为2 m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6 m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)一辆货车高4 m，宽2 m，能否从该隧道内通过，为什么？ 解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，∵顶点为(4，6)，∴y＝a(x－4)2＋6，∵它过点(0，2)，∴a(0－4)2＋6＝2，解得a＝－ eq \f(1,4) ，∴抛物线的表达式为y＝－ eq \f(1,4) (x－4)2＋6，即y＝－ eq \f(1,4) x2＋2x＋2　 (2)∵车宽2 m，∴x＝3或x＝5，当x＝3时，y＝－ eq \f(1,4) ×(3－4)2＋6＝5 eq \f(3,4) >4，∴该货车能通过隧道 A组　夯实基础 9. 如图，用长为8 m的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( ) A. eq \f(64,25) m2　　　B． eq \f(4,3) m2 C． eq \f(8,3) m2 D．4 m2 10. (2022·新疆)如图，用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长)，则这个围栏的最大面积为__________m2. 11. (2022·甘肃)如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝________s． 12. (2022·广安)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降__________米，水面宽8米． eq \f(14,9) B组　能力提升 13. 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AF＝40 m，AE＝30 m. (1)如果设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝x，DC∥AF，∴△EDC∽△EAF，∴ eq \f(CD,AF) ＝ eq \f(ED,AE) ，∵AF＝40 m，AE＝30 m，CD＝x m，∴ eq \f(x,40) ＝ eq \f(DE,30) ，∴DE＝ eq \f(3,4) x，∴AD＝30－ eq \f(3,4) x　 (2)∵矩形的面积y＝AD·AB＝x(30－ eq \f(3,4) x)＝－ eq \f(3,4) (x－20)2＋300(0＜x＜40)，∴当x＝20时，y的值最大，最大值为300 m2 14. (2022·无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24 m，设较小矩形的宽为x m(如图). (1)若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 解：(1)根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为 eq \f(24－x－2x,3) ＝(8－x)m，∴(x＋2x)×(8－x)＝36，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝6时，3x＝18>10不符合题意，舍去，∴x＝2.答：此时x的值为2　 (2)设矩形养殖场的总面积是y m2，∵墙的长度为10 m，∴0<x≤ eq \f(10,3) ，根据题意，得y＝(x＋2x)×(8－x)＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48，∵－3<0，∴当x＝ eq \f(10,3) 时，y取最大值，最大值为－3×( eq \f(10,3) －4)2＋48＝ eq \f(140,3) (m2).答：当x＝ eq \f(10,3) 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 eq \f(140,3) m2 C组　核心素养 15. (2022·佛山月考)如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，此时水面宽度为10米. (1)在如图的坐标系中求抛物线的表达式； (2)若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时水能漫到拱桥顶？ 解：(1)设所求抛物线的表达式为：y＝ax2.设D(5，b)，则B(10，b－3)，把D，B的坐标分别代入y＝ax2，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25a＝b，,100a＝b－3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,25)，,b＝－1，)) ∴y＝－ eq \f(1,25) x2　 (2)∵b＝－1，∴拱桥顶O到CD的距离为1，1÷0.25＝4(小时)，∴再持续4小时到达拱桥顶 16. (2022·河南)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式； (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m处．身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5，3.2)，设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋3.2，将(0，0.7)代入，得0.7＝25a＋3.2，解得a＝－ eq \f(1,10) ，∴抛物线的表达式为y＝－ eq \f(1,10) (x－5)2＋3.2＝－ eq \f(1,10) x2＋x＋ eq \f(7,10) 　 (2)当y＝1.6时，－ eq \f(1,10) x2＋x＋ eq \f(7,10) ＝1.6，解得x＝1或x＝9，∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2(m)或9－3＝6(m)，答：当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2 m或6 m $$