第二章 3 确定二次函数的表达式（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

3　确定二次函数的表达式 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 y＝2x2 y＝(x－1)2－5 y＝a(x－1)(x＋3)(a≠0) 1. 确定二次函数表达式： (1)一般式：已知图象上的任意三点坐标； 基本步骤：①设y＝ax2＋bx＋c；②找(三点)；③列(三元一次方程组)；④解(方程组)；⑤代(回代)；⑥写(一般形式). (2)顶点式：已知图象的顶点坐标与另一点的坐标； 基本步骤：①设y＝a(x－h)2＋k；②找(一点)；③列(一元一次方程)；④解(方程)；⑤代(回代)；⑥写(一般形式). (3)交点式：已知图象与x轴的两个交点坐标及另一点坐标； 基本步骤：①设y＝a(x－x1)(x－x2)；②找(一点)；③列(一元一次方程)；④解(方程)；⑤代(回代)；⑥写(一般形式). 2. 按要求填空： (1)若二次函数y＝ax2的图象经过点(－1，2)，则二次函数y＝ax2的表达式是__________________； 　(2)二次函数y＝x2－2x－4配方得到抛物线的顶点式为：___________________； 　(3)抛物线与x轴交于点(1，0)，(－3，0)，则该抛物线可设为：________________________________． 【典例导引】 知识点：用待定系数法确定二次函数表达式 3. 【例1】 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，1)，B(4，－6)，C(0，2)，求此抛物线的函数表达式． 解：将A(－1，1)，B(4，－6)，C(0，2)代入y＝ax2＋bx＋c，得a＝－ eq \f(3,5) ，b＝ eq \f(2,5) ，c＝2，则此抛物线的表达式为y＝－ eq \f(3,5) x2＋ eq \f(2,5) x＋2 【变式训练】 4. (习题变式)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，求抛物线的函数表达式． 解：把A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入y＝ax2＋bx＋c，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝－3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝－3，)) ∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3 5. 【例2】 若二次函数图象的顶点坐标是(2，－1)，且图象过点(0，3)，求二次函数的表达式． 解：设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2－1，把点(0，3)代入抛物线的表达式得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝(x－2)2－1，即y＝x2－4x＋3 6. 已知抛物线的顶点坐标是(1，－5)，与y轴的交点是(0，－3)，求这个二次函数的表达式． 解：由抛物线顶点坐标为(1，－5)，可设其表达式为y＝a(x－1)2－5，将(0，－3)代入，得a－5＝－3，解得a＝2，则抛物线表达式为y＝2(x－1)2－5，即y＝2x2－4x－3 7. 【例3】 若抛物线经过(0，1)，(－1，0)，(1，0)三点，求此抛物线的表达式． 解：设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)，把(0，1)代入得a×1×(－1)＝1，解得a＝－1，∴抛物线表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1 8. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(－3，0)，B(1，0)，C(2，－5)，求此二次函数的表达式. 解：设抛物线表达式为y＝a(x＋3)(x－1)，把C(2，－5)代入得a(2＋3)(2－1)＝－5，解得a＝－1，∴抛物线表达式为y＝－(x＋3)(x－1)，即y＝－x2－2x＋3 A组　夯实基础 9. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，求该抛物线的表达式． 解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴抛物线表达式可化为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，∴抛物线表达式是y＝x2－2x－3 10. (2022·深圳月考)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，2)，对称轴为直线x＝－2，求此抛物线的表达式． 解：由题意得：对称轴为直线x＝－ eq \f(b,2) ＝－2，c＝2，解得b＝4，c＝2，则此抛物线的表达式为y＝x2＋4x＋2 B组　能力提升 11. (2022·佛山月考)已知抛物线的顶点坐标为(1，－2)，与y轴交于点(0，－4)，求抛物线的表达式． 解：∵抛物线的顶点坐标为(1，－2)，∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－2(a≠0)，把(0，－4)代入上式得：a－2＝－4，解得a＝－2，∴抛物线的表达式为：y＝－2(x－1)2－2 12. (2022·广州期中)已知二次函数的图象经过A(2，0)，B(－1，0)和C(1，2)三点，求该二次函数的表达式． 解：设二次函数的表达式为y＝a(x－2)(x＋1)，把C(1，2)代入得a×(1－2)×(1＋1)＝2，解得a＝－1，所以二次函数的表达式为y＝－(x－2)(x＋1)，即y＝－x2＋x＋2 13. (2022·广州期中)若二次函数图象的对称轴是直线x＝ eq \f(3,2) ，并且图象过A(0，－4)和B(4，0)，求此二次函数的表达式． 解：根据题意，设二次函数表达式为y＝a(x－ eq \f(3,2) )2＋k，将点A(0，－4)和B(4，0)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)a＋k＝－4，,\f(25,4)a＋k＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,k＝－\f(25,4)，)) ∴二次函数表达式为y＝(x－ eq \f(3,2) )2－ eq \f(25,4) ，即y＝x2－3x－4 14. 已知抛物线的对称轴是直线x＝1，函数的最小值是－1，且图象经过点(3，1)，求此抛物线的函数表达式． 解：设此函数表达式为y＝a(x－1)2－1，又∵图象经过点(3，1)，∴1＝a(3－1)2－1，∴a＝ eq \f(1,2) ，∴此函数表达式为y＝ eq \f(1,2) (x－1)2－1，即y＝ eq \f(1,2) x2－x－ eq \f(1,2) C组　核心素养 15. (2022·牡丹江)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D. (1)求该抛物线的表达式； (2)连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，求线段CP的长． 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－b＋c＝0，,－9＋3b＋c＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝3，)) ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3　 (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴D(1，4)，把x＝0代入y＝－x2＋2x＋3，得y＝3，∴C(0，3)，∵P为BD的中点，B(3，0)，∴P(2，2)，∴CP＝ eq \r(（2－0）2＋（2－3）2) ＝ eq \r(5) 16. (2022·黑龙江)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，点B(2，－3)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D. (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，点B(2，－3)，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－b＋c＝0，,4＋2b＋c＝－3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝－3，)) ∴抛物线的表达式为：y＝x2－2x－3　 (2)存在，理由如下：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴D点坐标为(1，－4)，令x＝0，则y＝x2－2x－3＝－3，∴C点坐标为(0，－3)，又∵B点坐标为(2，－3)，∴BC∥x轴，∴S△BCD＝ eq \f(1,2) ×2×1＝1，设抛物线上的点P坐标为(m，m2－2m－3)，则S△PBC＝ eq \f(1,2) ×2×|m2－2m－3－(－3)|＝|m2－2m|＝4，当m2－2m＝4时，解得m＝1± eq \r(5) ，当m＝1＋ eq \r(5) 时，m2－2m－3＝1；当m＝1－ eq \r(5) 时，m2－2m－3＝1，当m2－2m＝－4时，方程无解．综上，P点坐标为(1＋ eq \r(5) ，1)或(1－ eq \r(5) ，1) $$