第一章 6 利用三角函数测高（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

5　三角函数的应用 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 测倾器 度盘 铅锤 支杆 h＝l·tan α＋a a＋b tan α A 1. 测量倾斜角可以用__________，简单的测倾器由________、________和________组成． (1)测量底部可以到达的物体时所得到的数学模型如图①所示，这时物高h满足的关系式为________________________； (2)测量底部不能到达的物体时所得到的数学模型如图②所示，这时物高h满足的关系式为________________________________. b＝(h－a)( eq \f(1,tan α) － eq \f(1,tan β) ) 2. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：(1)在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；(2)量得测角仪的高度CD＝a；(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为____________________． 【解析】过点C作CF⊥AB于点F，则四边形BFCD是矩形，∴BF＝CD＝a，CF＝BD＝b，∵∠ACF＝α，∴tan α＝ eq \f(AF,CF) ＝ eq \f(AF,b) ，∴AF＝b·tan α，∴AB＝BF＋AF＝a＋b tan α.故答案为：a＋b tan α 【典例导引】 知识点一：测量底部可以到达的物体的高度 3. 【例1】 如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35 m的C处，用高1.5 m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°.求塔AB的高度．(结果精确到1 m；参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73) 解：设AB与DE交于点F.由题意得：DF⊥AB，BF＝CD＝1.5 m，DF＝BC＝35 m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan ∠EDA＝ eq \f(AF,DF) ，∴AF＝DF·tan 36°≈35×0.73＝25.55(m)，∴AB＝AF＋BF＝25.55＋1.5≈27(m).答：塔AB的高度约为27 m 【变式训练】 4. (2022·梧州)今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB.如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB＝52°，∠ADB＝60°，CD＝200 m，求AB的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28， eq \r(3) ≈1.73) 解：设AB＝x m，在Rt△ABC中，∵tan ∠ACB＝ eq \f(AB,BC) ，即tan52°＝ eq \f(x,BC) ，BC≈ eq \f(x,1.28) .在Rt△ABD中，∵tan ∠ADB＝ eq \f(AB,BD) ，即tan60°＝ eq \f(x,BD) ，∴BD＝ eq \f(x,\r(3)) .∵CD＝CB－DB，即 eq \f(x,1.28) － eq \f(x,1.73) ＝200，解得x≈984.∴AB的高度约为984米 知识点二：测量底部不可以到达的物体的高度 5. 【例2】 如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上，参考数据：tan 36.9°≈0.75，sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90). 解：由题意得，在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝ eq \f(AD,BD) ，即tan 42.0°＝ eq \f(AD,BD) ≈0.9，∴AD≈0.9BD，在Rt△BCD中，tan ∠CBD＝ eq \f(CD,BD) ，即tan 36.9°＝ eq \f(CD,BD) ≈0.75，∴CD≈0.75BD，∵AC＝AD－CD，∴15＝0.9BD－0.75BD，∴BD＝100米，∴CD＝0.75BD＝75米，答：山高CD约为75米 6. 如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°.求电动扶梯DA的长(结果保留根号). 解：如图，过点D分别作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝ eq \f(1,2) BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC－FC＝154－84＝70(米)，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝ eq \r(2) AF＝70 eq \r(2) 米．答：电动扶梯DA的长为70 eq \r(2) 米 A组　夯实基础 7. 如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A处测得塔顶B处的仰角α＝60°，在塔底C处测得A点俯角β＝45°，已知塔高60米，则山高CD等于( ) 　　　　　　　　　　　　　 A．30(1＋ eq \r(3) )米 B．30( eq \r(3) －1)米 C．30米 D．(30 eq \r(3) ＋1)米 如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m(即小颖的眼睛与地面的距离)，那么树 高是____________________． ( eq \f(5,3) eq \r(3) ＋ eq \f(3,2) )m B组　能力提升 9. (2022·仙桃)小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度AB为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．(结果保留小数点后一位，参考数据： eq \r(3) ≈1.732) 解：过点D作DG⊥EF于点G，则A，D，G三点共线，BC＝AD＝20米，AB＝CD＝FG＝1.58米，设DG＝x米，则AG＝(20＋x)米，在Rt△DEG中，∠EDG＝60°，tan 60°＝ eq \f(EG,DG) ＝ eq \f(EG,x) ＝ eq \r(3) ，∴EG＝ eq \r(3) x，在Rt△AEG中，∠EAG＝30°，tan 30°＝ eq \f(EG,AG) ＝ eq \f(\r(3)x,20＋x) ＝ eq \f(\r(3),3) ，解得x＝10，经检验，x＝10是所列分式方程的解，∴EG＝10 eq \r(3) 米，∴EF＝EG＋FG≈18.9米，∴旗杆EF的高度约为18.9米 10. (2022·河池)如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36 m，求居民楼AB的高度(结果保留整数．参考数据：sin 33°≈0.55，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65). 解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意，得CD＝36 m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE＝CD＝36 m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36 m，∴AE＝CE·tan 33°≈23.4(m)，∴AB＝AE＋BE＝23.4＋36≈59(m)，答：居民楼AB的高度约为59 m C组　核心素养 11. 某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点，测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．(结果精确到0.1米， eq \r(3) ≈1.732) 解：∵∠PBC＝60°，∴∠BPC＝30°.∵∠CBQ＝30°，∴∠PBQ＝∠BPC＝30°，∴BQ＝PQ，设CQ＝x，在Rt△BCQ中，∠CBQ＝30°，则BC＝ eq \r(3) CQ＝ eq \r(3) x，BQ＝2CQ＝2x，∴PQ＝2x，∴PC＝PQ＋QC＝3x，AC＝AB＋BC＝60＋ eq \r(3) x，在Rt△APC中，∠A＝45°，∴AC＝PC，∴3x＝60＋ eq \r(3) x，解得x＝30＋10 eq \r(3) ，∴PQ＝2x＝60＋20 eq \r(3) ≈94.6(米).答：信号发射塔PQ的高度约是94.6米 12. (2022·遂宁)数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5∶12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米？(参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89) 解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，∴FB＝PH，FH＝PB，由i＝5∶12，设BP＝5x，AP＝12x，∵PB2＋PA2＝AB2，∴(5x)2＋(12x)2＝262，∴x＝2(负值已舍去)，∴PB＝FH＝10，AP＝24，设EF＝a米，BF＝b米，又∵tan ∠EBF＝ eq \f(EF,BF) ，即 eq \f(a,b) ＝2，∴a＝2b①，∵tan ∠EAH＝ eq \f(EH,AH) ＝ eq \f(EF＋HF,AP＋PH) ＝ eq \f(EF＋BP,AP＋BF) ，∴ eq \f(a＋10,24＋b) ＝1.2②，由①②得a＝47，b＝23.5.答：塔顶到地面的高度EF约为47米 $$