第一章 4 解直角三角形（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

4　解直角三角形 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 解直角三角形 ∠A＋∠B＝90° C A 45° 10 60° C C 1. (1)由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做______________； (2) 解直角三角形有以下两种情况： ①已知两条边； ②已知一条边和一个锐角． 2. 如图，Rt△ABC的三个关系： (1)边边关系：a2＋b2＝c2，ab＝ch(h为斜边上的高)； (2)角角关系：__________________________； (3)边角关系：以∠B为例，sin B＝________，cos B＝________，tan B＝________． eq \f(b,c) eq \f(a,c) eq \f(b,a) 【典例导引】 知识点：解直角三角形 3. 【例1】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.已知a＝6，b＝2 eq \r(3) ，解这个直角三角形． 解：∵tan B＝ eq \f(b,a) ＝ eq \f(2\r(3),6) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠B＝30°，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵sin B＝ eq \f(b,c) ，∴c＝ eq \f(2\r(3),\f(1,2)) ＝4 eq \r(3) 【变式训练】 4. (习题变式)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 eq \r(3) ，BC＝12，解这个直角三角形． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 eq \r(3) ，BC＝12，由勾股定理，得AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝8 eq \r(3) ，∵tan B＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(4\r(3),12) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠B＝30°，∴∠A＝90°－30°＝60° 5. 【例2】 如图，在△ABC中，cos B＝ eq \f(\r(2),2) ，sin C＝ eq \f(3,5) ，BC＝7，求△ABC的面积. 解：作AD⊥BC于点D，∵cos B＝ eq \f(\r(2),2) ，∴∠B＝45°，BD＝AD，∵sin C＝ eq \f(3,5) ，∴设AD＝3x，则AC＝5x，DC＝4x，BD＝3x，∵BC＝7，∴BD＋DC＝3x＋4x＝7x＝7，解得x＝1，∴AD＝3，则△ABC的面积是 eq \f(1,2) ×3×7＝ eq \f(21,2) 6. 如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝ eq \f(3,4) ，∠B＝30°.求AC和AB的长． 解：作CH⊥AB于点H.在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝ eq \f(1,2) BC＝6，BH＝ eq \r(BC2－CH2) ＝6 eq \r(3) .在Rt△ACH中，tan A＝ eq \f(3,4) ＝ eq \f(CH,AH) ，∴AH＝8，∴AC＝ eq \r(AH2＋CH2) ＝10，∴AB＝AH＋BH＝8＋6 eq \r(3) A组　夯实基础　　　　　 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ eq \r(3) ，AB＝2，则∠B等于( ) A.15° B．20° C．30° D．60° 8. (2022·广西)如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是( ) 　　　　　　　　　　　　　 A．12sin α米 B．12cos α米 C． eq \f(12,sin α) 米 D． eq \f(12,cos α) 米 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝10，∠A＝45°，则∠B＝________，b＝________，c＝__________． 10. (2022·东莞月考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝ eq \r(3) ，b＝3，则c＝__________，∠B＝__________． 10 eq \r(2) 2 eq \r(3) 11. (2022·珠海月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝ eq \r(7) ，解这个直角三角形． 解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°.∵sin A＝ eq \f(BC,AB) ，tan A＝ eq \f(BC,AC) ，即 eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(7),AB) ， eq \r(3) ＝ eq \f(\r(7),AC) ，∴AB＝ eq \f(2\r(21),3) ，AC＝ eq \f(\r(21),3) 12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tan B＝ eq \f(3,4) ，求sin A的值． 解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝4，∴tan B＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(AC,4) ＝ eq \f(3,4) ，∴AC＝3，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝5，∴sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(4,5) B组　能力提升 13. (2022·乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ eq \r(5) ，点D是AC上一点，连接BD.若tan ∠A＝ eq \f(1,2) ，tan ∠ABD＝ eq \f(1,3) ，则CD的长为( ) A．2 eq \r(5) B．3 C． eq \r(5) D．2 14. (2022·宜宾)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos ∠ADF的值为( )　　　　　　　　　　　 A． eq \f(8,17) B． eq \f(7,15) C． eq \f(15,17) D． eq \f(8,15) C组　核心素养 15. (2022·广州期中)如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2，求AB的长． 解：∵∠A＝105°，∠B＝30°，∴∠C＝45°.过点A作AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，∴sin C＝ eq \f(AD,2) ＝ eq \f(\r(2),2) ，∴AD＝ eq \r(2) .在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°.∵AD＝ eq \r(2) ，∴AB＝2AD＝2 eq \r(2) 16. (广东中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，延长AC至点E，使CE＝AB. (1)若AE＝1，求△ABD的周长； (2)若AD＝ eq \f(1,3) BD，求tan ∠ABC的值． 解：(1)∵BC的垂直平分线交AC于点D，∴BD＝CD，C△ABD＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC，∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC＋CE＝AE＝1，故△ABD的周长为1　 (2)设AD＝x，∵AD＝ eq \f(1,3) BD，∴BD＝3x，又∵BD＝CD，∴AC＝AD＋CD＝4x，在Rt△ABD中，AB＝ eq \r(BD2－AD2) ＝ eq \r(（3x）2－x2) ＝2 eq \r(2) x，∴tan ∠ABC＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(4x,2\r(2)x) ＝ eq \r(2) $$