第一章 2 30°，45°，60°角的三角函数值（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 2　30°，45°，60°角的三角函数值 1 3 1 【典例导引】 知识点一：30°，45°，60°角的三角函数值 3. 【例1】 计算： (1)4sin230°＋tan60°－2cos 30°； B C 30° 75° B B －1 C A 2. 填空： (1)sin30°＝ ______；　　 (2)2cos60°＝ ________； (3)3tan45°＝ _______； (4) eq \r(2) sin45°＝ ________； (5)sin230°＝ ________； (6)tan230°＝ _______． eq \f(1,2) eq \f(1,4) eq \f(1,3) 解：原式＝4×( eq \f(1,2) )2＋ eq \r(3) －2× eq \f(\r(3),2) ＝1＋ eq \r(3) － eq \r(3) ＝1 (2) eq \f(2,tan60°) －2tan45°－ eq \f(4,3) cos30°＋4sin30° 解：原式＝ eq \f(2,\r(3)) －2×1－ eq \f(4,3) × eq \f(\r(3),2) ＋4× eq \f(1,2) ＝0 变式训练】 4. 计算： (1)8sin260°＋tan45°－4cos 30°； (2) eq \f(tan45°－cos60°,2sin30°) ＋tan230°. 解：原式＝8×( eq \f(\r(3),2) )2＋1－4× eq \f(\r(3),2) ＝8× eq \f(3,4) ＋1－2 eq \r(3) ＝6＋1－2 eq \r(3) ＝7－2 eq \r(3) 解：原式＝ eq \f(1－\f(1,2),2×\f(1,2)) ＋( eq \f(\r(3),3) )2＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＝ eq \f(5,6) 知识点二：由特殊角的三角函数值求角度 5. 【例2】 已知∠A为锐角，若cos A＝ eq \f(1,2) ，则∠A的度数为 ( ) A．75° B．60° C．45° D．30° 6. 已知∠A为锐角，且sin A＝ eq \f(\r(2),2) ，那么∠A等于 ( ) A．15° B．30° C．45° D．60° 7. 【例3】 已知tan A＝ eq \f(\r(3),3) ，则锐角A的度数是 ________. 8. 若tan (α－15°)＝ eq \r(3) ，则锐角α的度数是 ________. A组　夯实基础 9. (2022·天津)tan 45°的值等于 ( ) A．2 B．1 C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(\r(3),3) 10. 2sin 45°的值等于 ( ) A．1 B． eq \r(2) C． eq \r(3) D．2 11. (2022·广东)sin 30°＝ _____． 12. (2022·荆门)计算： eq \r(3,－\f(1,8)) ＋cos60°－(－2022)0＝ ______． eq \f(1,2) 13. (2022·深圳期末)计算：2cos 60°＋4sin 60°·tan 30°－6cos245°. (2022·佛山期中)计算： eq \f(tan 60°,2sin 60°－tan 45°) －cos 30° 解：原式＝2× eq \f(1,2) ＋4× eq \f(\r(3),2) × eq \f(\r(3),3) －6×( eq \f(\r(2),2) )2＝1＋2－3＝0 解：原式＝ eq \f(\r(3),2×\f(\r(3),2)－1) － eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),\r(3)－1) － eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3)（\r(3)＋1）,（\r(3)＋1）（\r(3)－1）) － eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(3＋\r(3),2) － eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(3,2) B组　能力提升 15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则sin B的值是 ( ) A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(3),3) 【解析】先求出∠B的度数为90°－30°＝60°，则sin B＝sin 60°＝ eq \f(\r(3),2) ，故选：C 16. 已知∠α为锐角，且sin (α＋30°)＝ eq \f(\r(3),2) ，则∠α＝ ( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】根据sin (α＋30°)＝ eq \f(\r(3),2) ，且∠α为锐角，得∠α＋30°＝60°，∴∠α＝30°，故选：A 17. 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝cos B＝ eq \f(1,2) ，判断△ABC的形状． 解：由sin A＝cos B＝ eq \f(1,2) ，且∠A，∠B都是锐角，得∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形 18. (2022·广州期末)在△ABC中，若|sin A－ eq \f(\r(2),2) |＋( eq \f(\r(2),2) －cos B)2＝0，且∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数． 解：∵|sin A－ eq \f(\r(2),2) |＋( eq \f(\r(2),2) －cos B)2＝0，∴sin A－ eq \f(\r(2),2) ＝0， eq \f(\r(2),2) －cos B＝0，∴sin A＝ eq \f(\r(2),2) ，cos B＝ eq \f(\r(2),2) ，∴∠A＝45°，∠B＝45°，∴∠C＝180°－45°－45°＝90° C组　核心素养 19. (2022·绥化)定义一种运算： sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 例如：当α＝45°，β＝30°时，sin(45°＋30°)＝ eq \f(\r(2),2) × eq \f(\r(3),2) ＋ eq \f(\r(2),2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(\r(6)＋\r(2),4) ，则sin 15°的值为 ____________. eq \f(\r(6)－\r(2),4) 20. (2022·深圳月考)如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？(结果保留根号) 解：过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵AC＝10 km，∠A＝30°，∴DC＝AC sin 30°＝5 km，AD＝AC cos 30°＝5 eq \r(3) km.在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝5 km，BC＝5 eq \r(2) km，∵AC＋BC－AB＝AC＋BC－(AD＋BD)＝10＋5 eq \r(2) －(5 eq \r(3) ＋5)＝(5＋5 eq \r(2) －5 eq \r(3) ) km.∴汽车从A地到B地比原来少走(5＋5 eq \r(2) －5 eq \r(3) )km $$