第一章 1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 1　锐角三角函数 第2课时　正弦与余弦 对边 斜边 邻边 斜边 正弦 余弦 正切 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则： sin A＝ ____； sin B＝ ____； cos A＝ ____； cos B＝ ____； tan A＝ ____； tan B＝ ____． 3. sin A的值越大，梯子越 ____；cos A的值越小，梯子越 ____． 陡 陡 4. 梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，叙述正确的是 ( ) A．sin A的值越大，梯子越陡 B．cos A的值越大，梯子越陡 C．tan A的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关 A 【典例导引】 知识点一：正弦和余弦 5. 【例1】 (2022·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3.求AC的长和sin A的值． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5. (1)求AB的长； (2)求sin A，cos A的值． B C C 1. 如图，在Rt△ABC中， (1)如果锐角A确定，那么∠A的 _______ 与 _______ 的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝ eq \f(∠A的对边,斜边) ＝ _______； (2)∠A的 ________ 与 ________ 的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝ eq \f(∠A的邻边,斜边) ＝ ________； (3)锐角A的 ________、________ 和 ________ 都是∠A的三角函数． eq \f(BC,AB) eq \f(AC,AB) eq \f(12,5) eq \f(5,13) eq \f(12,13) eq \f(12,13) eq \f(5,13) eq \f(5,12) 解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(3,5) 解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝13 (2)sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(5,13) ，cos A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(12,13) 知识点二：锐角三角函数求值 7. 【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A＝ eq \f(1,2) ，求AB的长和sin B的值． 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(1,2) ，∴AC＝12，∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(122＋62) ＝6 eq \r(5) ，∴sin B＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(12,6\r(5)) ＝ eq \f(2\r(5),5) 解：在Rt△ACD中，CD＝6，tan A＝ eq \f(CD,AD) ＝ eq \f(3,2) ，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8，在Rt△BCD中，BC＝ eq \r(82＋62) ＝10，∴sin B＝ eq \f(CD,BC) ＝ eq \f(3,5) ，cos B＝ eq \f(BD,BC) ＝ eq \f(4,5) 8. 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝ eq \f(3,2) ，求sin B，cos B的值. A组　夯实基础 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝7，则sin A的值为 ( )　　　　　　　　　　　 A． eq \f(7,25) B． eq \f(24,25) C． eq \f(7,24) D． eq \f(24,7) 10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cos B＝ ( ) A． eq \f(3,5) B． eq \f(4,5) C． eq \f(\r(7),4) D． eq \f(3,4) 11. (2022·滨州)在Rt△ABC中，若∠C＝90°， AC＝5，BC＝12，则sin A的值为 _______． 12. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cos A的值是 _____ eq \f(12,13) eq \f(5,13) B组　能力提升 13. (2022·贵港)如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos ∠BAC的值是 ( ) 　　　　　　　　　　　　　 A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(\r(10),5) C． eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(4,5) (2022·益阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 若sin A＝ eq \f(4,5) ，则cos B＝ _______． eq \f(4,5) 15. (2022·深圳月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝ eq \f(3,5) ，求BC的长和tan B的值． 解：∵sin A＝ eq \f(3,5) ，∴ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(3,5) ，∵AB＝15，∴BC＝9，∴AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝12，∴tan B＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(12,9) ＝ eq \f(4,3) 16.(2022·惠州月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ eq \f(5,13) ，BC＝15，求AB及cos A的值. 解：∵∠C＝90°，BC＝15，∴sin A＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(5,13) ，∴AB＝39，由勾股定理得：AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝36，cos A＝ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(36,39) ＝ eq \f(12,13) 17. (2022·广州模拟)如图，在平面直角坐标系中，OB＝5，sin ∠AOB＝ eq \f(3,5) ，点A的坐标为(10，0). (1)求点B的坐标； (2)求sin ∠OAB的值． 解：(1)过点B作BC⊥OA于点C，在Rt△BOC 中，∠OCB＝90°，OB＝5，sin ∠AOB＝ eq \f(BC,OB) ＝ eq \f(3,5) ，∴BC＝3，∴OC＝ eq \r(OB2－BC2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，∴点B的坐标为(4，3)　 (2)∵点A的坐标为(10，0)，∴OA＝10，∴AC＝OA－OC＝10－4＝6，∵∠ACB＝90°，∴AB＝ eq \r(AC2＋BC2) ＝ eq \r(62＋32) ＝3 eq \r(5) ，∴sin ∠OAB＝ eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(3,3\r(5)) ＝ eq \f(\r(5),5) 18. (2022·东莞月考)在如图的直角三角形中，我们知道sin α＝ eq \f(a,c) ，cos α＝ eq \f(b,c) ，tan α＝ eq \f(a,b) ，∴sin2α＋cos2α＝ eq \f(a2,c2) ＋ eq \f(b2,c2) ＝ eq \f(a2＋b2,c2) ＝ eq \f(c2,c2) ＝1.即一个角的正弦和余弦的平方和为1. (1)请你根据上面的探索过程，探究sinα，cos α与tan α之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下列问题：已知α为 锐角，且tan α＝ eq \f(1,2) ，求 eq \f(sin α－2cos α,2sin α＋cos α) 的值． 解：(1)∵sin α＝ eq \f(a,c) ，cos α＝ eq \f(b,c) ，tan α＝ eq \f(a,b) ，∴ eq \f(sin α,cos α) ＝ eq \f(\f(a,c),\f(b,c)) ＝ eq \f(a,b) ，则tan α＝ eq \f(sin α,cos α) 　 (2)∵tan α＝ eq \f(1,2) ，∴ eq \f(sin α,cos α) ＝ eq \f(1,2) ，∴2sin α＝cos α，∴ eq \f(sin α－2cos α,2sin α＋cos α) ＝ eq \f(sin α－4sin α,2sin α＋2sin α) ＝－ eq \f(3,4) $$