第一章 1 锐角三角函数 第1课时 正切与坡度（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 1　锐角三角函数 第1课时　正切与坡度 正切 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)∠A的正切：tan A＝ ______ (或 ______ )； (2)∠B的正切：tan B＝ ______ (或 ______ )； (3)由(1)，(2)得：tan A·tan B＝ ____． 1 铅直 水平 tanα 大 陡 4. 如图，表示甲，乙两山坡的情况． (1)甲的坡度为 ____，乙的坡度为 ____； (2) ____ 坡更陡(填“甲”或“乙”). 乙 B A 7. 【例2】 (随堂练习变式)如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，AB＝AC＝3，BC＝4，求tan C的值． 8. (2022·珠海期末)如图，锐角△ABC中，AB＝10，BC＝9，△ABC的面积为27.求tan B的值． 10 10. 如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的坡度i＝1∶2.5，那么该斜坡的水平距离AC的长为 _____ m. 75 【解析】∵斜坡的坡度i＝1∶2.5，∴BC∶AC＝1∶2.5，∴AC＝75 m，故答案为：75 A A 13. (2022·东莞月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝____，tan B＝____． 14. (2022·广州模拟)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC∶BC＝1∶2，则tan A＝_______． 2 C A 18. 如图，小明沿着一个斜坡从坡底A向坡顶B行走的过程中发现，他每向前走60 m，他的高度就升高36 m，求这个斜坡的坡度． 20. (练习变式)有一凉亭位于高度为500 m的山顶上，一车从山脚A处直线行驶到山顶B点的时间为15 min，已知车的平均速度为40 km/h，求山的坡度(结果精确到0.01). 1. 正切的定义：如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的 _______，记作tan A，即tan A＝ eq \f(∠A的对边,∠A的邻边) ＝ ______. eq \f(BC,AC) eq \f(BC,AC) eq \f(a,b) eq \f(AC,BC) eq \f(b,a) 3. 坡度(或坡比)的概念：如图，坡面的 _______ 高度h和 _______ 宽度l的比称为坡度(或坡比)，记作i，有i＝ eq \f(h,l) ＝ _______．坡度i越大，坡角α越 _______，坡面越 _______． eq \f(5,12) eq \f(3,4) 【典例导引】 知识点一：正切 5. 【例1】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tan A的值为( ) 　　　A． eq \f(4,3) B． eq \f(3,4) C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5) 【变式训练】 6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，则tan A的值是 ( ) 　　A． eq \f(4,3) B． eq \f(3,5) C． eq \f(3,4) D． eq \f(4,5) 解：∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝2，∴AD＝ eq \r(AB2－BD2) ＝ eq \r(32－22) ＝ eq \r(5) ，∴tan C＝ eq \f(AD,CD) ＝ eq \f(\r(5),2) 解：过点A作AH⊥BC于点H，∵S△ABC＝27，∴ eq \f(1,2) ×9AH＝27，∴AH＝6，∵AB＝10，∴BH＝ eq \r(AB2－AH2) ＝ eq \r(102－62) ＝8，∴tan B＝ eq \f(AH,BH) ＝ eq \f(6,8) ＝ eq \f(3,4) 知识点二：坡度 9. 【例3】 如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝1∶ eq \r(3) ，堤高BC＝5 m，则坡面AB的长是 ______ m. 【解析】∵坡比i＝tan ∠CAB＝ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(1,\r(3)) ，BC＝5 m，∴AC＝5 eq \r(3) ，由勾股定理得AB＝10 m，故答案为：10 A组　夯实基础 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tan A等于 ( )　 A． eq \f(1,2) B．2 C． eq \f(\r(5),5) D． eq \r(5) 12. (2022·梅州月考)在Rt△ABC中，如果各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正切值 ( ) A．不变 B．都扩大为原来的3倍 C．都缩小为原来的 eq \f(1,3) D．不能确定是否发生变化 eq \f(4,3) eq \f(3,4) B组　能力提升 15. 如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tan C的值是 _____． 【解析】过点B作BD⊥CA的延长线于点D，设每个小方格边长为1，则BD＝6，CD＝5，则tan C＝ eq \f(BD,CD) ＝ eq \f(6,5) ，故答案为： eq \f(6,5) eq \f(6,5) 16. (2022·陕西)如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为 ( ) A．3 eq \r(2) 　　 B．3 eq \r(5) C．6 eq \r(2) 　　 D．3 eq \r(7) 17. (2022·毕节)如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5 m，坡面AB的坡度为1∶ eq \r(3) ，则AB的长度为 ( ) A.10 m B．10 eq \r(3) m C．5 m D．5 eq \r(3) m 解：由题意可得，若AB＝60 m，则BC＝36 m，由勾股定理得AC＝ eq \r(602－362) ＝48(m)，∴这个斜坡的坡度i＝ eq \f(36,48) ＝ eq \f(3,4) C组　核心素养 19. 如图，在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝ eq \f(1,3) ，求tan A的值． 解：作DH⊥CD，交BC于点H，在Rt△DCH中，tan ∠BCD＝ eq \f(1,3) ＝ eq \f(DH,CD) ，设DH＝k，则CD＝3k，∵DC⊥AC，DH⊥CD，∴AC∥DH，∴ eq \f(DH,AC) ＝ eq \f(DB,BA) ，又∵D为AB的中点，∴ eq \f(DB,BA) ＝ eq \f(1,2) ，∴ eq \f(DH,AC) ＝ eq \f(1,2) ，则AC＝2k，∴tan A＝ eq \f(CD,AC) ＝ eq \f(3k,2k) ＝ eq \f(3,2) 解：在Rt△ABC中，AB＝40× eq \f(15,60) ＝10(km)，BC＝500 m＝0.5 km，∴AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \f(\r(399),2) (km)，∴山的坡度i＝ eq \f(\f(1,2),\f(\r(399),2)) ≈0.05，答：山的坡度约为0.05 $$