第四章 5 相似三角形判定定理的证明（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

*5　相似三角形判定定理的证明 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 相等 夹角 成比例 ∠B＝∠DEC(答案不唯一) B B 1. 相似三角形的判定定理： (1)两角分别___________的两个三角形相似； (2)两边成比例且__________相等的两个三角形相似； (3)三边___________________的两个三角形相似． 2. 如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件：_____________________________________．(只需写一个条件) 【典例导引】 知识点：相似三角形的判定定理的证明 3. 【例1】 求证：三边成比例的两个三角形相似． 如图：已知在△ABC和△A′B′C′中， eq \f(AB,A′B′) ＝ eq \f(BC,B′C′) ＝ eq \f(CA,C′A′) ， 求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在线段AB(或它的延长线)上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(BC,DE) ＝ eq \f(AC,AE) ，又 eq \f(AB,A′B′) ＝ eq \f(BC,B′C′) ＝ eq \f(AC,A′C′) ，AD＝A′B′，∴ eq \f(BC,DE) ＝ eq \f(BC,B′C′) ， eq \f(AC,AE) ＝ eq \f(AC,A′C′) ，∴DE＝B′C′，AE＝A′C′，又∵AD＝A′B′，∴△ADE≌△A′B′C′(SSS)，∴△ABC∽△A′B′C′ 4. 如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′， eq \f(AB,A′B′) ＝ eq \f(AC,A′C′) . 求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E，则∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，∴△ABC∽△ADE，∴ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AC,AE) .∵ eq \f(AB,A′B′) ＝ eq \f(AC,A′C′) ，AD＝A′B′，∴ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AC,A′C′) ，∴ eq \f(AC,AE) ＝ eq \f(AC,A′C′) ，∴AE＝A′C′，而∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′ 5. 【例2】 (2022·汕头模拟)如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长． 解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴ eq \f(AB,CD) ＝ eq \f(AO,CO) ，即 eq \f(AB,3) ＝ eq \f(4,2) ，∴AB＝6 6. (2022·惠州月考)已知AB∥CD，AD，BC交于点O.AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长． 解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△AOB∽△DOC，∴ eq \f(AO,DO) ＝ eq \f(AB,CD) ，即 eq \f(2,3) ＝ eq \f(AB,5) ，∴AB＝ eq \f(10,3) A组　夯实基础 7. 如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( ) A．∠ADC＝∠ACB B． eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(AC,CD) C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD·AB 8. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B组　能力提升 9. (2022·揭阳期中)已知：如图，∠1＝∠2，AB·AC＝AD·AE.求证：∠C＝∠E. 证明：在△ABE和△ADC中，∵AB·AC＝AD·AE，∴ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AE,AC) ，又∵∠1＝∠2，∴△ABE∽△ADC，∴∠C＝∠E 10. (2022·广州模拟)如图，已知四边形ABDC中，AB＝AC，对角线AD和BC相交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：AB2＝AE·AD. 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB，∴ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AE,AB) ，∴AB2＝AD·AE C组　核心素养 11. (教材P102习题4.9T3变式)如图，在△ABC中，点D，E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2＝BD·BA. 求证：(1)△CED∽△ACD； (2) eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(CE,ED) . 证明：(1)∵BC2＝BD·BA，∴BD∶BC＝BC∶BA.又∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A.又∵CD平分∠ECB，∴∠ECD＝∠BCD，∴∠ECD＝∠A.∵∠EDC＝∠CDA，∴△CED∽△ACD　 (2)∵△BCD∽△BAC，∴ eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(AC,CD) ，又∵△CED∽△ACD， ∴ eq \f(CE,ED) ＝ eq \f(AC,CD) ，∴ eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(CE,ED) 12. 如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC于点F，G. (1)求证：BF＝CF； (2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴ eq \f(BF,AD) ＝ eq \f(EB,EA) ＝ eq \f(1,2) ，∴BF＝ eq \f(1,2) AD＝ eq \f(1,2) BC，∴BF＝CF　 (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△FGC∽△DGA， ∴ eq \f(FG,DG) ＝ eq \f(FC,AD) ，即 eq \f(FG,4) ＝ eq \f(3,6) ，解得FG＝2 $$