第四章 4 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

4　探索三角形相似的条件 第4课时　黄金分割 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 黄金分割 黄金比 C C B A 178.8 0.618 1. 黄金分割的概念： 如图，在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC).如果 eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(BC,AC) ，那么称线段AB被点C_____________，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做____________，其值为_________________. 注意：一条线段的黄金分割点有2个． eq \f(\r(5)－1,2) 2. 如图，点C为线段AB的黄金分割点，求AC与AB的黄金比． 解：设AB＝1，AC＝x，∵ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(BC,AC) ，即 eq \f(x,1) ＝ eq \f(1－x,x) ，∴x2＋x－1＝0，解得x1＝ eq \f(－1＋\r(5),2) ，x2＝ eq \f(－1－\r(5),2) (舍去)，∴黄金比 eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ≈0.618 典例导引】 知识点：黄金分割的概念 3. 【例1】 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是( )　　　　　　　　　　　　 A．AB2＝AC·CB B．CB2＝AC·AB C．AC2＝BC·AB D．AC2＝2BC·AB 【变式训练】 4. 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则( )　　　　　　　　　　　　　 A．AP2＋BP2＝AB2 B．BP2＝AP·AB C．AP2＝AB·BP D．AB2＝AP·PB 5. 【例2】 如图，点C是AB的黄金分割点，那么 eq \f(AC,AB) 的值是( )　　　　　　　　　　　 A． eq \f(\r(5)＋1,2) B． eq \f(\r(5)－1,2) C． eq \f(3＋\r(5),2) D． eq \f(3－\r(5),2) 【解析】∵点C是AB的黄金分割点，AC>BC，∴ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，故选：B 6. 已知点P是线段AB的一个黄金分割点(AP＜PB)，则 eq \f(PB,AB) 的值为( )　　　　　　　　　　　　　 A． eq \f(\r(5)－1,2) B． eq \f(3－\r(5),2) C． eq \f(1＋\r(5),2) D． eq \f(3－\r(5),4) 【解析】点P是线段AB的一个黄金分割点(AP＜PB)，∴ eq \f(PB,AB) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，故选：A 7. 【例3】 如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，AC＝mBC，则m的值是_______________． 【解析】根据黄金分割点的概念， eq \f(BC,AB) ＝ eq \f(AC,BC) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，故可得m＝ eq \f(\r(5)－1,2) .故答案为： eq \f(\r(5)－1,2) eq \f(\r(5)－1,2) 8. 如图，线段AB＝20 cm，若点P是AB的黄金分割点(PA＞PB)，则线段PA的长为_______________________cm.(结果保留根号) 【解析】点P是AB的黄金分割点(PA＞PB)，则PA＝ eq \f(\r(5)－1,2) AB＝ eq \f(\r(5)－1,2) ×20＝(10 eq \r(5) －10)cm.故答案为：(10 eq \r(5) －10) (10 eq \r(5) －10) A组　夯实基础 9. 东方明珠塔高468米，上球体点A是塔身的黄金分割点(如图所示).则点A到塔顶部的距离约是_________________米．(精确到0.1米) 10. (2022·陕西)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE·AB.已知AB为2米，则线段BE的长为___________________米． ( eq \r(5) －1) B组　能力提升 11. 九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板比较美观，通过手绘(如图)、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G，则EG≈_________________DE.(精确到0.001) 12. 如图，以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD，已知矩形ABCD为“黄金矩形”，即矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，若AD＝2，求BE的长． 解：∵四边形AEFD是正方形，∴AE＝AD＝2，∵矩形ABCD为黄金矩形，∴BC＝AD， eq \f(BE,BC) ＝ eq \f(AD,AB) ，即 eq \f(BE,AE) ＝ eq \f(AE,AB) ，∴点E是AB的黄金分割点，且AE>BE，∴ eq \f(BE,AE) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，∵AE＝2，∴BE＝ eq \r(5) －1 C组　核心素养 13. (2022·东莞月考)如图，以长为2的线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取一点F，使PF＝PD.求证：点A是线段BF的黄金分割点． 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB＝2，∵P是AB的中点，∴AP＝BP＝1，∴PF＝PD＝ eq \r(AD2＋AP2) ＝ eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) ，∴AF＝PF－AP＝ eq \r(5) －1，BF＝PF＋BP＝ eq \r(5) ＋1，∴ eq \f(AB,BF) ＝ eq \f(2,\r(5)＋1) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ， eq \f(AF,AB) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，∴ eq \f(AB,BF) ＝ eq \f(AF,AB) ，∴点A是线段BF的黄金分割点 14. (2022·广州模拟)如图，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝ eq \f(1,2) AB，连接DA，在DA上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE. (1)求证：C是线段AB的黄金分割点； (2)若BD＝1，求BC的长． (2)当BD＝1时，由(1)知BC＝(3－ eq \r(5) )x，∴BC＝3－ eq \r(5) 解：(1)设BD＝x，则AB＝2x，由勾股定理得AD＝ eq \r(5) x，∵DE＝BD，AE＝AC，∴AC＝AE＝AD－DE＝AD－BD＝( eq \r(5) －1)x，BC＝AB－AC＝(3－ eq \r(5) )x，∴ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ， eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(3－\r(5),\r(5)－1) ＝ eq \f(\r(5)－1,2) ，∴ eq \f(AC,AB) ＝ eq \f(BC,AC) ，∴C是线段AB的黄金分割点　 $$