第二章 6 应用一元二次方程 第1课时 几何问题与一元二次方程（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 6　应用一元二次方程 第1课时　几何问题与一元二次方程 等量关系 方程 检验 A组　夯实基础 7. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ) A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m A 8. (2022·东莞期中)如图，某农场有一块长20 m，宽16 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为252 m2，则小路的宽为_______． 2m 10. 某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 解：设扩充后广场的长为3x m，宽为2x m， 依题意得3x·2x·100＋30(3x·2x－50×40)＝642000， 解得x1＝30，x2＝－30(舍去). 所以3x＝90，2x＝60， 答：扩充后广场的长为90 m，宽为60 m C组　核心素养 11. (2022·惠州月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm.点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).那么当t为何值时，△QAP的面积等于8 cm2？ 12. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动． (1)求几秒后，PQ的长度等于5 cm； (2)运动过程中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由． 1. 解决几何问题的一般步骤： (1)审清题意，依据几何图形的性质找到____________； (2)设合适的未知数，并依据等量关系列出________； (3)正确地求解方程并________解的合理性． 2. 某中学有一块长30 m，宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为________________________． (30－2x)(20－x)＝ eq \f(3,4) ×20×30 【典例导引】 知识点一：利用一元二次方程解决几何面积问题 3. 【例1】 如图，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长． 解：设BC边的长为x米，则AB＝CD＝ eq \f(32－x,2) 米，根据题意，得 eq \f(32－x,2) ·x＝120，解得x1＝12，x2＝20，∵20>16，∴x2＝20不合题意，应舍去．答：矩形草坪BC边的长为12米 【变式训练】 4. 如图，面积为600 m2的矩形试验茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽． 解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为(69＋1－2x)m，根据题意，得x(69＋1－2x)＝600，整理，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70－2x＝40＞35，不符合题意，舍去；当x＝20时，70－2x＝30<35，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30 m，20 m 知识点二：利用一元二次方程解决几何行程问题 5. 【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P由点A出发沿AB方向向B匀速移动，速度为1 cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2 cm/s，如果动点P，Q同时从A，B两点出发，几秒后，△PBQ的面积为8 cm2？ 解：设经过x s，△PBQ的面积为8 cm2，此时AP＝x，BP＝6－x，BQ＝2x.∴S△PBQ＝ eq \f(1,2) BP·BQ＝8，即 eq \f(1,2) ×(6－x)×2x＝8，解得x1＝2，x2＝4.答：如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，经过2 s或4 s，△PBQ的面积为8 cm2 6. 如图，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝4 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于4 cm？ 解：设x秒后，PQ的长度等于4 cm，此时AP＝x cm，BP＝(4－x) cm，BQ＝2x cm，由BP2＋BQ2＝42，得(4－x)2＋(2x)2＝42，整理，得5x2－8x＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝ eq \f(8,5) .所以如果点P，Q分别从点A，B同时出发， eq \f(8,5) 秒后PQ的长度等于4 cm B组　能力提升 9. (2022·佛山月考)如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF(用其他材料做，不用篱笆围)，矩形花圃的面积能为160平方米吗？请说明理由． 解：能，理由如下：设AD＝x米，则AB＝(34＋2－2x)＝(36－2x)米，依题意，得x(36－2x)＝160，整理，得x2－18x＋80＝0，解得x1＝8，x2＝10.当x＝8时，36－2x＝36－2×8＝20＞18，不符合题意，舍去；当x＝10时，36－2x＝36－2×10＝16＜18，符合题意．∴当AD＝10米，AB＝16米时，矩形花圃面积为160平方米 解：当运动时间为t s时，AP＝2t cm，AQ＝(6－t)cm， 依题意，得 eq \f(1,2) ×2t(6－t)＝8， 整理，得t2－6t＋8＝0， 解得t1＝2，t2＝4. 答：当t为2 s或4 s时，△QAP的面积等于8 cm2 解：(1)当PQ＝5 cm时，设运动时间为x s，则AP＝x cm，BP＝(5－x)cm，BQ＝2x cm.在Rt△PBQ中，∵BP2＋BQ2＝PQ2，∴(5－x)2＋(2x)2＝52，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴当x＝2时，PQ的长度等于5 cm　 (2)不能．理由如下：设运动时间为x s，由题意得 eq \f(1,2) ×(5－x)×2x＝8，整理得x2－5x＋8＝0，Δ＝25－32＝－7＜0，∴△PQB的面积不能等于8 cm2 $$