第一章 3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 3　正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 1. 正方形的判定方法： (1)对角线________的菱形是正方形； (2)对角线________的矩形是正方形； (3)有一个角是________的菱形是正方形； (4)有一组邻边________的矩形是正方形． 相等 垂直 直角 相等 2. 下列说法不正确的是( ) A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 C 【典例导引】 知识点：正方形的判定 3. 【例1】 (2022·茂名月考)如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，AC＝BD.求证：菱形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形 【变式训练】 4. 如图，在▱ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.求证：▱ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形． 又∵AB＝AD， ∴▱ABCD是正方形 5. 【例2】 如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AEB＝∠CEB，求证：四边形ABCD是正方形． 6. 如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°， ∵∠CEF＝45°， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△AEB≌△AFD(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形 7. 如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，若增加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，则下列条件中，不正确的是( ) A. AC＝BD B．AB＝BC C．∠ABC＝90° D．AO＝BO B 8. (2023·汕头期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________________________________，使矩形ABCD是正方形． AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一) B组　能力提升 9. (2022·中山月考)如图，已知矩形ABCD，AE平分∠DAB交DC的延长线于点E，过点E作EF⊥AB，垂足F在边AB的延长线上，求证：四边形ADEF是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠DAB＝90°， ∵AE平分∠DAB， ∴∠EAF＝45°， ∵EF⊥AB， ∴∠D＝∠DAF＝∠F＝90°，∴四边形ADEF是矩形，∵∠EAF＝45°，∴∠AEF＝45°，∴∠EAF＝∠AEF，∴AF＝EF，∴矩形ADEF是正方形 10. 如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠A＝90°. ∵四边形EFGH是菱形， ∴HG＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH. 又∵∠AEH＋∠AHE＝90°， ∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形 C组　核心素养 11. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD.垂足分别为M，N. (1)求证：∠ADB＝∠CDB； (2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形． 解：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB　 (2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形 12. (2022·潮州期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E. (1)求证：四边形ADCE为矩形； (2)当∠BAC＝______°时，四边形ADCE是一个正方形． 证明：在△ABE和△CBE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠BCE，,∠AEB＝∠CEB，,BE＝BE，)) ∴△ABE≌△CBE(AAS)， ∴BA＝BC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形 解：(1)∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，∴∠CAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠CAE＝ eq \f(1,2) ∠CAM.∵∠BAC与∠CAM是邻补角，∴∠BAC＋∠CAM＝180°，∴∠CAD＋∠CAE＝ eq \f(1,2) (∠BAC＋∠CAM)＝90°.∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形 (2)∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD.由(1)知四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形，故答案为：9 $$