第一章 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 3　正方形的性质与判定 第1课时　正方形的性质 1. 正方形的定义： 有一组_________相等，并且有一个角是_________的平行四边形叫做正方形． 2. 几何语言： 如图，在平行四边形ABCD中， ∵AB＝BC，∠A＝90°， ∴平行四边形ABCD是正方形 (____________________________________________________________). 邻边 直角 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 3. 正方形的性质(如图)： (1)正方形既是________， 又是________； (2)正方形的四个角都是________； 正方形四条边________； 正方形的对角线________且互相____________； (3)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有____条对称轴(如图中虚线)，对称中心是点________. 矩形 菱形 直角 相等 相等 垂直平分 4 O 4. 如图，四边形ABCD是正方形． (1)∠BAC＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝____； (2)AB＝BC＝CD＝____； (3)AC＝____，AC⊥____． 90° AD BD BD 【典例导引】 知识点：正方形的性质 5. 【例1】 (2022·广州期末)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠ADE为( ) A. 15° B．20° C．12.5° D．10° A 【变式训练】 6. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为_______°. 【解析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可得∠BPC＝180°－∠1－∠BCP，∴∠BPC＝135°，故答案为：135 135 7. 【例2】 (2022·珠海期末)如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，且AE＝DF.求证：BE＝AF. 8. (2022·广州模拟)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在线段BC，CD上，连接AE，AF，且BE＝DF.求证：AE＝AF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， ∵BE＝DF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(SAS)， ∴AE＝AF D 10. 如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是( ) 　　　　　　　　　　　　　 A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6) D B组　能力提升 11. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( ) A. 45° B．22.5° C．67.5° D．75° B B 13. (2022·东莞期中)如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，DF.求证：BF＝DF. 14. 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M. 求证：AE＝BF. 证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵CE＝DF，∴BE＝CF，∴△AEB≌△BFC(SAS)，∴AE＝BF 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD， 在Rt△BAE和Rt△ADF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝DF，,∠BAE＝∠ADF，,AB＝DA，)) ∴Rt△BAE≌Rt△ADF(SAS)，∴BE＝AF A组　夯实基础 9. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AO＝3，则AB的长为( ) 　　　　　　　　　　　　　 A．2 B．3 C． eq \r(6) D．3 eq \r(2) 12. (2022·青岛)如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为( ) A. eq \f(\r(6),2) B． eq \r(6) C．2 eq \r(2) D．2 eq \r(3) 证明：在正方形ABCD中，BC＝CD，∠DCA＝∠BCA＝45°，在△CDF和△CBF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DC＝BC，,∠DCF＝∠BCF，,CF＝CF，)) ∴△CDF≌△CBF(SAS)，∴BF＝DF C组　核心素养 15. (2022·雅安)如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)若AB＝3 eq \r(2) ，BE＝2，求四边形AECF的面积. 解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)　 (2)连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，又∵DF＝BE，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形，∵AB＝3 eq \r(2) ，∴AC＝BD＝6，∵BE＝DF＝2，∴EF＝2，∴四边形AECF的面积＝ eq \f(1,2) AC·EF＝ eq \f(1,2) ×6×2＝6 16. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF. (1)求证：△ADE≌△CBF； (2)若AB＝4 eq \r(2) ，AE＝2，求四边形BEDF的周长． 解：(1)由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，在△ADE和△CBF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,∠DAE＝∠BCF，,AE＝CF，)) ∴△ADE≌△CBF(SAS)　 (2)∵AB＝AD＝4 eq \r(2) ，∴BD＝ eq \r(AB2＋AD2) ＝ eq \r(（4\r(2)）2＋（4\r(2)）2) ＝8，由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，又∵AE＝CF＝2，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF＝4－2＝2，故四边形BEDF为菱形．∵∠DOE＝90°，∴DE＝ eq \r(DO2＋EO2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，∴4DE＝8 eq \r(5) ，故四边形BEDF的周长为8 eq \r(5) $$