第一章 2 矩形的性质与判定 第3课时 矩形的性质与判定的综合（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 2　矩形的性质与判定 第3课时　矩形的性质与判定的综合 1. 矩形的性质与判定： (1)性质：①具有平行四边形的一切性质；②四个角都是直角；③对角线相等； (2)判定：①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形． 2. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是_______________________ (填写一个即可). AC＝BD或∠ABC＝90°等 3. 综合应用： (1)矩形的分割特殊性：矩形的两条对角线把它分割成四个面积相等的_______三角形，若矩形的两条对角线所夹锐角为60°，则有一对等边三角形； (2)矩形折叠中求长度：一般需设未知数结合_______定理列方程求解． 4. 如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，重叠部分为△EBD，则有：①△EBD是等腰三角形，EB＝____；②折叠后∠ABE和∠CDE一定_______；③折叠后得到的图形是________图形；④△EBA和________一定是全等三角形． 等腰 勾股 ED 相等 轴对称 △EDC 【典例导引】 知识点：矩形的性质与判定的综合 5. 【例】 (2022·茂名期末)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB. (1)求证：▱ABCD是矩形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴OA＋OC＝OB＋OD，即AC＝BD ∴▱ABCD是矩形 (2)若AB＝6，BO＝5，求该矩形的面积． 【变式训练】 6. (2022·佛山月考)如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. (1)求证：四边形BFDE是矩形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵CF＝AE， ∴DF＝BE且DF∥BE， ∴四边形BFDE是平行四边形． 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形 (2)已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的长度． D 8. (2022·安徽)两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝( ) A．α－90° B．α－45° C．180°－α D．270°－α C B组　能力提升 9. 如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D1，C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于( ) 　　　　　　　　　　　　　 A．128° B．130° C．132° D．136° 【解析】在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，又由折叠可知，∠GEF＝∠DEF，可求出∠DEG＝128°，∴∠EGB＝∠DEG＝128°，故选：A A D 11. (2022·鄂州)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD. (1)求证：DF＝CF； (2)若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积． 12. (2022·张家界)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF. (1)求证：△ODE≌△FCE； (2)试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程． C组　核心素养 13. (2022·中山期末)如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点(不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB，QP＝QD. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)求证：CD＝CP. 14. (2022·深圳期末)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，过点A作AE⊥BC，交CB延长线于点E，过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F. (1)求证：四边形AECF是矩形； (2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长． 解：由(1)得：OA＝BO＝5，▱ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵AC＝2OA＝10， ∴BC＝ eq \r(AC2－AB2) ＝ eq \r(102－62) ＝8， ∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝6×8＝48 解：∵∠ADE＝60°，DE⊥AB， ∴∠DAE＝30°， 又∵AD＝3， ∴DE＝ eq \f(1,2) AD＝ eq \f(3,2) A组　夯实基础 7. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC＝120°，BO＝4，则矩形的边BC的长是( ) 　 A．6 B．8 C．6 eq \r(3) D．4 eq \r(3) 10. (2023·惠州月考)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的点F处，则CE的长是( ) 　　　　　　　　　　　　　 A．1 B． eq \f(4,3) C． eq \f(3,2) D． eq \f(5,3) 【解析】设CE＝x，则BE＝3－x，由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5，求出AF＝4，BF＝AB－AF＝1，在Rt△BEF中，BE2＋BF2＝EF2，即(3－x)2＋12＝x2，解得x＝ eq \f(5,3) .故选：D 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝ eq \f(1,2) AC，OD＝ eq \f(1,2) BD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF　 (2)由(1)可知，DF＝CF，∵∠CDF＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF＝6，∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝6，∴BD＝2OD＝12，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴BC＝ eq \r(BD2－CD2) ＝ eq \r(122－62) ＝6 eq \r(3) ，∴S矩形ABCD＝BC·CD＝6 eq \r(3) ×6＝36 eq \r(3) 解：(1)∵点E是CD的中点，∴CE＝DE，又∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，在△ODE和△FCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ODE＝∠FCE，,DE＝CE，,∠DEO＝∠CEF，)) ∴△ODE≌△FCE(ASA)　 (2)四边形ODFC为矩形，证明如下：∵△ODE≌△FCE，∴OE＝FE，又∵CE＝DE，∴四边形ODFC为平行四边形，又∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，∴四边形ODFC为矩形 证明：(1)∵PQ⊥CP，∴∠QPC＝90°，∴∠BPC＋∠QPA＝180°－90°＝90°，∵∠QPA＝∠PCB，∴∠BPC＋∠PCB＝90°，∴∠B＝180°－(∠BPC＋∠PCB)＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形　 (2)连接CQ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵∠CPQ＝90°，∴在Rt△CDQ和Rt△CPQ中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CQ＝CQ，,QD＝QP，)) ∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)，∴CD＝CP 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AE⊥BC，∴四边形AECF是矩形　 (2)连接OE，在菱形ABCD中，AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，∴O为AC的中点，由(1)知，四边形AECF为矩形，∴∠AEC＝90°，∵AE＝4，∴BE＝ eq \r(52－42) ＝3，∴CE＝3＋5＝8，在Rt△AEC中，AE＝4，CE＝8，∴AC＝ eq \r(AE2＋CE2) ＝4 eq \r(5) ，在Rt△AEC中，∵O为AC的中点，∴OE＝ eq \f(1,2) AC＝2 eq \r(5) $$