第一章 2 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 2　矩形的性质与判定 第2课时　矩形的判定 1. 矩形的判定1： 有一个角是________的平行四边形叫做矩形． 2. 如图，在▱ABCD中， 若∠BAD＝________， 则▱ABCD是矩形． 3. 矩形的判定2： 对角线________的平行四边形是矩形. 直角 90° 相等 4. 如图，在▱ABCD中，AC，BD是对角线，则当对角线__________时，▱ABCD是矩形． 5.矩形的判定3： 有三个角是________的四边形是矩形. 6. 当________＝________＝________＝________时，四边形ABCD是矩形． AC＝BD 直角 ∠ABC ∠BCD ∠ADC 90° 【典例导引】 知识点：矩形的判定 7. 【例1】 如图，在▱ABCD中，O是AB的中点，CO＝DO.求证：▱ABCD是矩形． 【变式训练】 8. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)求证：四边形AECF是矩形． 9. 【例2】 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD且AB＝CD，∠BAC＝∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形 10. (2022·广州期末)如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△OAB是等边三角形．求证：▱ABCD是矩形． 证明：∵△AOB为等边三角形， ∴OA＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD为矩形 A组　夯实基础 11. (2022·陕西)在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是( ) A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝AD D．AC＝BD D 12. (2022·聊城)要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( ) A．测量两条对角线是否相等 B．度量两个角是否是90° C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 C B组　能力提升 13. (2022·佛山月考)如图，平行四边形ABCD中，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA，BD＝2OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形 14. (2022·深圳月考)如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝BC，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形CEDO是矩形． 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形CEDO是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， ∴▱CEDO是矩形 15. (2022·中山期中)如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO.求证：四边形AMCN是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OB－BM＝OD－DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵MO＝NO，∴MN＝2MO，∵AC＝2MO，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形 16. (2022·东莞月考)如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形． C组　核心素养 17. 如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形． (1)求证：四边形ACED是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD＝BC. ∵点C是BE的中点， ∴BC＝CE，∴AD＝CE， ∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形 (2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC， ∵AB＝AE， ∴DC＝AE，又由(1)知四边形ACED是平行四边形， ∴四边形ACED是矩形 18. (2022·十堰)如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点. (1)求证：BE＝DF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°， ∵O是AB的中点， ∴AO＝BO，在△DAO和△CBO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC，,AO＝BO，,DO＝CO，)) ∴△DAO≌△CBO(SSS)，∴∠A＝∠B，∵∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠D，,∠AEB＝∠CFD，,AB＝CD，)) ∴△ABE≌△CDF(AAS)　 (2)∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°.∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEC＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，∴∠HBC＝ eq \f(1,2) ∠ABC，∠HCB＝ eq \f(1,2) ∠BCD，∴∠HBC＋∠HCB＝ eq \f(1,2) (∠ABC＋∠BCD)＝ eq \f(1,2) ×180°＝90°，∴∠H＝90°，同理可得∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形 证明：连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝OD，AO＝OC， ∵E，F分别为AO，OC的中点， ∴EO＝ eq \f(1,2) OA，OF＝ eq \f(1,2) OC， ∴EO＝FO， 又∵BO＝OD， ∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE＝DF (2)设 eq \f(AC,BD) ＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由． 解：当k＝2时，四边形DEBF是矩形．理由如下：当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形，∴当OD＝OE时，四边形DEBF是矩形，∵AE＝OE，∴AC＝2BD，∴当k＝2时，四边形DEBF是矩形 $$