第一章 1 菱形的性质与判定 第3课时 菱形的性质与判定的综合应用（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 1．1　菱形的性质与判定 第3课时　菱形的性质与判定的综合应用 1. 菱形的面积： (1)菱形的面积等于对角线乘积的______； (2)菱形的面积等于底×高． 2. 如图，在菱形ABCD中， S菱形ABCD＝4S△ABO＝__________； S菱形ABCD＝________． 3. 菱形的性质与判定： (1)性质：①四条边都相等；②两条对角线互相垂直，且每条对角线平分每一组对角； (2)判定：①平行四边形＋一组邻边相等；②平行四边形＋对角线互相垂直；③四条边相等. 一半 AB·DH 4. 下列条件不能判定四边形是菱形的是( ) A．一组邻边相等的平行四边形 B．一条对角线平分一组对角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形 B 【典例导引】 知识点：菱形性质与判定的综合应用 5. 【例1】 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AB＝5，则菱形ABCD的面积为_______． 24 【变式训练】 6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为______． 4 7. 【例2】 (2022·广州期末)如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起得到四边形ABCD. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠ABC＝60°，求四边形ABCD的面积． 8. 如图，平行四边形ABCD中，以点A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作∠DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF. (1)求证：四边形AFED是菱形； (2)若AD＝4，∠DAB＝60°，求四边形AFED的面积． A组　夯实基础 9. 菱形的两条对角线分别为12和16，则菱形的边长是( )　　　　　　　　　　　　　 A．5 B．6 C．8 D．10 10. (2022·乐山)已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8 cm和6 cm，则菱形的面积为________． 11. 已知菱形的周长为 ，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为______. 12. 菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24，则菱形的高等于_______． D 24cm2 4 B组　能力提升 13. (2023·深圳期中)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EF.若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为( ) 　　　　　　　 　　　　　　 A．2 B．3 C．4 D．5 B 14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝_______. 15. (2022·茂名期中)如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6. (1)求△ABC的周长； (2)求△ABC的面积． 16. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，ED⊥BC，DF∥AB，求证：AD与EF互相垂直平分． 证明：∵∠C＝90°，ED⊥BC， ∴ED∥AC. 又∵DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形．又∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵DF∥AB，∴∠EAD＝∠ADF，∴∠CAD＝∠ADF，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形，∴AD与EF互相垂直平分 C组　核心素养 17. (2022·广元)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE. (1)求证：四边形AECD为菱形； (2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积． 18. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，AD＝CD，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. (1)求证：四边形ADBF是菱形； (2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40.求AC的长． eq \f(1,2) AC·BD 【解析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO＝4，AC⊥BD， 由勾股定理可得AO＝3， ∴AC＝6，即可得菱形ABCD的面积为 eq \f(1,2) ×6×8＝24.故答案为：24 【解析】∵OA＝1，OB＝2， ∴AC＝2，BD＝4， 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得菱形ABCD的面积为 eq \f(1,2) ×2×4＝4. 故答案为：4 解：(1)由题意得：AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形 (2)过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°－60°＝30°，∴AB＝2BE，BE＝ eq \f(\r(3),3) AE＝ eq \r(3) ，∴AB＝2 eq \r(3) ，∴S菱形ABCD＝BC·AE＝2 eq \r(3) ×3＝6 eq \r(3) 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DEA＝∠FAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠FAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴AD＝ED，∵AD＝AF，∴DE＝AF，∴四边形AFED是平行四边形，又∵AD＝ED，∴平行四边形AFED是菱形　 (2)过点D作DG⊥AF于点G，∵∠DAB＝60°，∴∠ADG＝90°－60°＝30°，∴AG＝ eq \f(1,2) AD＝2，∴DG＝ eq \r(AD2－AG2) ＝ eq \r(42－22) ＝2 eq \r(3) ，由(1)得：四边形AFED是菱形，∵AF＝AD＝4，∴菱形AFED的面积＝AF·DG＝4×2 eq \r(3) ＝8 eq \r(3) 4 eq \r(5) eq \f(120,13) 【解析】连接AC，BD交于点O，AC交EF于点G，根据菱形性质可得菱形面积为 eq \f(1,2) AC·BD，然后根据三角形中位线定理得EF∥BD，EF＝ eq \f(1,2) BD，∴AC⊥EF，AG＝3CG，最后根据三角形面积公式S△AEF＝ eq \f(1,2) EF·AG＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) BD· eq \f(3,4) AC＝ eq \f(3,16) AC·BD＝3.故选：B eq \f(24,5) 【解析】根据S菱形ABCD＝ eq \f(1,2) AC·BD＝24，可求得AC＝6，再根据勾股定理求出BC＝ eq \r(OB2＋OC2) ＝5，然后由S菱形ABCD＝BC·AH＝24，得AH＝ eq \f(24,5) .故答案为： eq \f(24,5) 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，BD＝6，∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝ eq \f(1,2) AC＝4，BO＝ eq \f(1,2) BD＝3，∴∠AOB＝90°，∴BC＝AB＝ eq \r(32＋42) ＝5，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝5＋5＋8＝18　 (2)S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BO＝ eq \f(1,2) ×8×3＝12 解：(1)∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AB∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形　 (2)∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠AEC＝120°，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC＝ eq \r(3) BC＝2 eq \r(3) ，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BC＝ eq \f(1,2) ×2 eq \r(3) ×2＝2 eq \r(3) 解：(1)∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE(AAS)，∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵BD＝CD，AD＝CD，∴AD＝BD，∴四边形ADBF是菱形　 (2)∵四边形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，∵点D是BC的中点，∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，∴ eq \f(1,2) AB·AC＝40，∴ eq \f(1,2) ×8AC＝40，∴AC＝10 $$