第二章 二次函数 单元测试卷-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册单元测试（北师大版 广东专用）

第二章《二次函数》 单元测试卷 (时间：90分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是( A ) A．y＝2x2 B．y＝ C．y＝a2x D．y＝ 2. 二次函数y＝(x＋2)2－1的顶点是( C ) A．(2，－1) B．(2，1) C．(－2，－1) D．(－2，1) 3. 用配方法将y＝x2－6x＋11化成y＝a(x－h)2＋k的形式为( D ) A．y＝(x＋3)2＋2 B．y＝(x－3)2－2 C．y＝(x－6)2－2 D．y＝(x－3)2＋2 4. 对于二次函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( D ) A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m C．最大值为0 D．与y轴不相交 5. 把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为( C ) A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2＋3 6. 一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式：h＝－3(t－2)2＋5，则小球距离地面的最大高度是( C ) A．2米 B．3米 C．5米 D．6米 7. 若点(3，a)，(4，b)都在二次函数y＝(x－2)2的图象上，则a与b的大小关系是( B ) A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定 8. 二次函数y＝(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( D ) A.第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 9. 九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是( C ) A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 10. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴正半轴的交点为A(3，0)，其部分图象如图所示，有下列结论：①abc＞0; ②2c－3b＜0; ③5a＋b＋2c＝0；④若B(，y1)，C(，y2)，D(－，y3)是抛物线上的三点，则y1＜y2＜y3.其中正确结论的个数有( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 　 　 二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分) 11. 已知关于x的二次函数y＝(x－3)2＋5，则函数值y的最小值是__5__． 12. 函数y＝－(x－3)2＋2中，当x＞3时，y随x的增大而__减小__.(填“增大”或“减小”) 13. 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此抛物线的对称轴是直线x＝__－1__． 14. 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)，则不等式x2＋bx＋c≤x＋m的解集为__1≤x≤3__． 【解析】∵直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)，∴由图象得：不等式x2＋bx＋c≤x＋m的解集为1≤x≤3.故答案为：1≤x≤3 15. 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，水柱落点距O点3 m，那么喷头高__8__m时，水柱落点距O点4 m. 三、解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分) 16. 二次函数图象顶点坐标是(2，－5)，且过原点，求该二次函数的表达式． 解：设二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－5，把(0，0)代入得4a－5＝0，解得a＝，∴该二次函数的表达式为y＝(x－2)2－5 17. 抛物线y＝x2－4x＋3. (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标． 解：(1)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以该抛物线与x轴交点的坐标为：(1，0)，(3，0).令x＝0，则y＝3，所以该抛物线与y轴交点的坐标为(0，3)　(2)由抛物线y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1知，该抛物线的顶点坐标是(2，－1) 18. 已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x轴交于A，B两点． (1)试确定此二次函数的表达式； (2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？ 解：(1)设此二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，将(0，3)，(－3，0)，(2，－5)代入得解得∴此二次函数表达式为y＝－x2－2x＋3 (2)当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P在这个二次函数图象上 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 19. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13). (1)求a，b的值； (2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值． 解：(1)把点(1，－2)，(－2，13)代入y＝ax2＋bx＋1，得解得　(2)由(1)得函数表达式为y＝x2－4x＋1，把x＝5代入y＝x2－4x＋1得y1＝6，又∵y2＝12－y1＝6，∴y1＝y2，又∵对称轴为直线x＝2，∴＝2，解得m＝－1 20. 如图，直线y1＝kx＋1与抛物线y2＝ax2＋bx－2交于A，B两点，且点A的坐标为(1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝－. (1)分别求k和a，b的值； (2)求不等式kx＋1＞ax2＋bx－2的解集． 解：(1)把A(1，0)代入y1＝kx＋1，得k＋1＝0，解得k＝－1；把A(1，0)代入y2＝ax2＋bx－2，得a＋b－2＝0①，而－＝－，即b＝3a②，联立①②，解得a＝，b＝　(2)由(1)可得抛物线的表达式为y＝x2＋x－2，联立方程组得∴B(－6，7)，由图象可知，当－6＜x＜1时，y1＞y2，∴不等式kx＋1＞ax2＋bx－2的解集为－6＜x＜1 21. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10 m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m. (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A，B处分别安装照明灯．已知点A，B到OE的距离均为6 m，求点A，B的坐标． 解：(1)由题意可知抛物线的顶点P(5，9)，∴可以设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋9，把(0，0)代入，可得a＝－，∴抛物线的表达式为y＝－(x－5)2＋9　(2)令y＝6，得－(x－5)2＋9＝6，解得x1＝5＋，x2＝5－，∴A(5－，6)，B(5＋，6) 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分) 22. 打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y(盒)与销售单价x(元)之间的函数图象如图所示． (1)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润． 解：(1)设函数表达式为y＝kx＋b，由题意得解得∴y＝－5x＋500，当y＝0时，－5x＋500＝0，∴x＝100，∴y与x之间的函数关系式为y＝－5x＋500(50<x<100)　(2)设销售利润为w元，则w＝(x－50)(－5x＋500)＝－5x2＋750x－25000＝－5(x－75)2＋3125，∵抛物线开口向下，50<x<100，∴当x＝75时，w有最大值，是3125，∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元 23. 如图，已知抛物线y＝(x－2)(x＋a)(a＞0)与x轴交于点B，C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． (1)若抛物线过点M(－2，－2)，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，解答下列问题： ①求出△BCE的面积； ②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH＋EH的值最小，直接写出点H的坐标． 解： (1)将M(－2，－2)代入抛物线表达式，得－2＝(－2－2)(－2＋a)，解得a＝4 (2)①∵a＝4，∴抛物线表达式为y＝(x－2)(x＋4)，令y＝0，则0＝(x－2)(x＋4)，解得x1＝2，x2＝－4，∵点B在点C的左侧，∴B(－4，0)，C(2，0)，当x＝0时，y＝－2，即E(0，－2)，∴S△BCE＝×6×2＝6　②∵点B与点C关于抛物线的对称轴对称，B(－4，0)，C(2，0)，∴抛物线对称轴为直线x＝＝－1，连接BE，与对称轴交于点H，点H即为所求，设直线BE表达式为y＝kx＋b，将B(－4，0)与E(0，－2)代入，得解得∴直线BE的表达式为y＝－x－2，将x＝－1代入，得y＝－2＝－，∴H(－1，－) 学科网（北京）股份有限公司 $$