第四章 图形的相似 单元测试卷-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册单元测试（北师大版 广东专用）

第四章《图形的相似》 单元测试卷 (时间：90分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 已知2x＝3y，则下列比例式成立的是( C ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 2. 已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( B ) A．3∶5 B．5∶3 C．9∶25 D．25∶9 3. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为( B ) A.70° B．80° C．90° D．120° 4. 如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝( C ) A． B． C． D． 　　　　 5. 两个相似三角形的周长之比为1∶3，那么它们对应边上的高之比是( A ) A．1∶3 B．1∶9 C．2∶1 D．9∶1 6. 如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4 7. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为( C ) A．4.36 mm B．29.08 mm C．43.62 mm D．121.17 mm 　　　 8. 由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°.若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( C ) A．()3 B．()7 C．()6 D．()6 9. 如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为( C ) A．9 B．12 C．15 D．18 　　　 10. 将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似)，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( A ) A． B． C．10 D． 二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分) 11. 若＝，则＝____． 12. 如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则的值为____. 　　　 13. 如图，若△ABC∽△EBD，需添加的一个条件是　∠DEB＝∠A或∠BDE＝∠BCA或＝(答案不 唯一)　(填写一个条件即可). 14. 如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶AD＝2∶3，则△ABC与△DEF的周长比是__2∶5__. 　　　 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为___cm__． 三、解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分) 16. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且a＋b＋c＝36，＝＝，求△ABC三边的长． 解：设＝＝＝k(k≠0)，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，∵a＋b＋c＝36，∴3k＋4k＋5k＝36，∴k＝3，∴a＝9，b＝12，c＝15 17. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为F.求证：△ABC∽△ECD. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BCD＝90°，∴∠ACB＋∠ACD＝90°.又∵AC⊥DE，∴∠CDE＋∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠CDE，∴△ABC∽△ECD 18. 在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点△ABC(顶点是网格线的交点)的三个顶点坐标分别是A(－2，2)，B(－3，1)，C(－1，0)，以原点O为位似中心在网格内画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶2. 解：如图所示： 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 19. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12. (1)尺规作图：在BC上求作E点，使得△ABE∽△CBA； (2)在(1)条件下，求△AEC的周长． 解： (1)如图，过点A作AE⊥BC，则点E即为所求 (2)∵∠BAC＝90°，AC＝5，AB＝12，∴BC＝＝13，∵∠AEC＝∠BAC＝90°，∠C＝∠C，∴△AEC∽△BAC，∴＝＝，∵C△BAC＝AC＋AB＋BC＝5＋12＋13＝30，∴C△AEC＝ 20. 在一次数学活动课上，小芳到操场上测量旗杆的高度，她的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的点C处(如图)，然后沿BC方向走到点D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，利用她所测数据，求旗杆的高． 解：设旗杆高AB＝x.过F作FG⊥AB于点G，交CE于点H(如图)，∴△AGF∽△EHF.∵FD＝1.5，GF＝27＋3＝30，HF＝3，∴EH＝3.5－1.5＝2，AG＝x－1.5.由△AGF∽△EHF，得＝，即＝，解得x＝21.5.答：旗杆的高为21.5米 21. 如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，∠BAE＝∠EDA. (1)求证：△ABE∽△DEA； (2)若AD＝4，CE＝2，求AE的长． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，又∵∠BAE＝∠EDA，∴△ABE∽△DEA　(2)∵△ABE∽△DEA，∴＝，∴AE2＝BE·AD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝4，∵CE＝2，∴BE＝2，∴AE2＝2×4＝8，∴AE＝2 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分) 22. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB. 求证：(1)∠CAE＝∠BAF； (2)CF·FQ＝AF·BQ. 证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CF＝BE，∴CF－EF＝BE－EF，即CE＝BF，在△ACE和△ABF中， ∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE＝∠BAF　(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，∵AE2＝AQ·AB，AC＝AB，∴＝，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC＝∠AQF，∴∠AEF＝∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠BQF＝∠AFE，∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴＝，即CF·FQ＝AF·BQ 23. 问题提出 如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F，探究的值． 问题探究 (1)先将问题特殊化．如图②，当∠BAC＝60°时，直接写出的值； (2)再探究一般情形．如图①，证明(1)中的结论仍然成立； 问题拓展 (3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝(n<2)，延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F.直接写出的值(用含n的式子表示). 解：(1) (2)取BC的中点H，连接DH，∵点D为AC的中点，∴DH∥AB，DH＝AB，∵AB＝AC，∴DH＝DC，∴∠DHC＝∠DCH，∵BD＝DE，∴∠DBH＝∠DEC，∴∠BDH＝∠EDC，∴△DBH≌△DEC(ASA)，∴BH＝EC，∴＝，∵DH∥AB，∴△EDH∽△EFB，∴＝＝，∴＝，∴＝ (3)＝.【解法提示】取BC的中点H，连接DH，由(2)同理可证△DGH≌△DEC(ASA)，∴GH＝CE，∴HE＝CG，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∵DH∥BF，∴△EDH∽△EFB，∴＝＝，∵DH＝AB，∴＝，∴＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$