第一章《勾股定理》 单元测试卷（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年八年级数学上册（北师大版 广东专用）

第一章《勾股定理》 单元测试卷 数学 八年级上册 北师版 原创新课堂 B 2. 下列选项中不是勾股数的是 ( ) A．7，24，25 B．4，5，6 C．3，4，5 D．9，12，15 B 3. 已知直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则斜边长为 ( ) A．16 B．14 C．12 D．10 D 4. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则以AB为边的正方形的面积为 ( ) A．10 B．9 C．100 D．25 A 5. 如图，一根长为5 m的竹竿AB斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离3 m，则该竹竿的顶端A离地面的竖直高度为 ( ) A．2 m B．3 m C．4 m D．4.5 m C 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为 ( ) A．5 B．6 C．8 D．10 C 7. 已知直角三角形的两直角边之比是3∶4，周长是36，则斜边是 ( ) A．5 B．10 C．15 D．20 C D 9. 放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和向东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分钟到家，小华用24分钟到家，小明和小华家的距离为 ( ) A．600米 B．800米 C．1000米 D．1300米 D A 二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分) 11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.若b＝24，c＝25，则a＝ ____． 7 12. 已知三角形的三边长为a，b，c，且满足等式a∶b∶c＝8∶15∶17，则此三角形是 ______ 三角形． 直角 13. 如图，一座城墙高12米，墙外有一个宽为5米的护城河，那么一个长为14米的云梯 ____ (填“能”或“不能”)到达城墙的顶端． 能 【解析】设至少需要x米长的云梯，由勾股定理得x2＝52＋122＝169，∴x＝13.∵14>13，∴一个长为14米的云梯能够到达城墙的顶端．故答案为：能 14. 如图，BD为△ABC的中线，AB＝10，AD＝6，BD＝8，△ABC的周长是 ____． 32 25 三、解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分) 16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a∶c＝15∶17，b＝24，求a的值． 解：设a＝15x，则c＝17x， 由勾股定理，得(15x)2＋242＝(17x)2， 解得x＝3， 则a＝15x＝45 17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝35 cm，c＝25 cm，求Rt△ABC的面积． 解：∵∠C＝90°， ∴a2＋b2＝c2＝625， ∴(a＋b)2－2ab＝625， ∴352－2ab＝625， ∴ab＝300， 18. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠DAB的度数． 解：连接AC，在Rt△ABC中， 由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8， 在△ADC中，AC2＋AD2＝8＋1＝9＝DC2， 所以△ADC是直角三角形，∠DAC＝90°， 又因为AB＝BC，∠ABC＝90°， 所以∠BAC＝45°， 所以∠DAB＝90°＋45°＝135° 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 19. 如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B，A两点，且知AB＝30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 解：甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行， 所以AO⊥BO， 因为甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时， 所以OB＝16×1.5＝24(海里)， 又因为AB＝30海里， 所以在Rt△AOB中，AO2＝AB2－OB2＝324， 所以AO＝18， 所以乙轮船每小时航行18÷1.5＝12(海里) 20. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1 m，将它往前推送4 m(水平距离BC＝4 m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2 m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度． 解：设秋千的绳索长为x m， 则AC＝(x－1)m， 在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2， 故x2＝42＋(x－1)2， 解得x＝8.5. 答：绳索AD的长度是8.5 m 21. 如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36 cm，OB＝12 cm，点P从点A出发，沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P，Q两点恰好在C点相遇，求BC的长度． 解：∵点P，Q同时出发，且速度相同， ∴BC＝CA， 设BC＝x cm，则CA＝x cm， ∴OC＝OA－CA＝(36－x)cm， ∵∠AOB＝90°， ∴在Rt△OBC中，根据勾股定理得OB2＋OC2＝BC2， 即122＋(36－x)2＝x2， 解得x＝20， ∴BC＝20 cm 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分) 22. 笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H(A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH.测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米． (1)问CH是否为从旅游地C到河的最近 的路线？请通过计算加以说明； (2)求原来路线AC的长． 解：(1)CH是从旅游地C到河的最近的路线， 理由是：在△CHB中，CH2＋BH2＝42＋32＝25＝BC2， ∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°， ∴CH⊥AB， ∴CH是从旅游地C到河的最近的路线 (2)设AC＝AB＝x千米， 则AH＝(x－3)千米， 在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2＝AH2＋CH2， 即x2＝(x－3)2＋42， 23. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图①)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①请叙述勾股定理； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件) 3 m2 解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c， 那么a2＋b2＝c2(或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方)　 ②证明：在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 在图③中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 在图②中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． (2)①三个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有图④，⑤，⑥3个；故答案为：3　 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，以下式子成立的是 ( ) A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2 C．b2＋c2＝a2 D．(a＋c)2＝b2 8. 已知△ABC的三边为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则 ( ) A．△ABC是锐角三角形 B．c边的对角是直角 C．△ABC是钝角三角形 D．a边的对角是直角 10. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处，若AB＝3，AD＝4，则ED的长为 ( ) A． eq \f(3,2) B．3 C．1 D． eq \f(4,3) 【解析】在△ABD中，AD2＋BD2＝62＋82＝100＝AB2，∴△ABD是直角三角形且AD⊥BD，又∵BD为△ABC的中线，∴BD垂直平分AC，∴AB＝BC＝10，AC＝2AD＝12，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝32，故答案为：32 15. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池的示意图，该U形池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 eq \f(40,π) m的半圆，其边缘AB＝CD＝20 m，点E在CD上，CE＝5 m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 ______ m．(边缘部分的厚度忽略不计) ∴S△ABC＝ eq \f(1,2) ab＝150(cm2) 解得x＝ eq \f(25,6) . 答：原来的路线AC的长为 eq \f(25,6) 千米 (2)①如图④，⑤，⑥，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有 ____ 个； ②如图⑦所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图⑧所示的“勾股树”．在如图⑨所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，a2＋b2＋c2＋d2＝______．(结果可用含m的式子表示) 即c2＝ eq \f(1,2) ab×4＋(b－a)2，化简，得a2＋b2＝c2. 即(a＋b)2＝c2＋ eq \f(1,2) ab×4，化简，得a2＋b2＝c2. 即 eq \f(1,2) (a＋b)(a＋b)＝ eq \f(1,2) ab×2＋ eq \f(1,2) c2， 化简，得a2＋b2＝c2 ②S1＋S2＝S3.证明如下： ∵S1＋S2＝ eq \f(1,2) π( eq \f(a,2) )2＋ eq \f(1,2) π( eq \f(b,2) )2＋S3－ eq \f(1,2) π( eq \f(c,2) )2＝ eq \f(1,8) π(a2＋b2－c2)＋S3， ∵a2＋b2＝c2.∴S1＋S2＝S3 $$