第13章 回归教材(四) 共顶点的等腰三角形（作业课件）-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册（人教版 河南专用)

回归教材(四)　共顶点的等腰三角形 数学 八年级上册 人教版 100分闯关 4 6 教材母题►　(教材P83习题T12)如图，△ABD和△ACE都是等边三角形．求证：BE＝CD. 证明：∵△ABD，△AEC都是等腰三角形，∴BA＝DA，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC，∠BAE＝∠BAC＋∠CAE，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DA＝BA，,∠DAC＝∠BAE，,AC＝AE，)) ∴△DAC≌△BAE(SAS).∴BE＝DC 一、共顶点的等边三角形 【教材变式1】如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B，A，E在同一直线上，连接BD交AC于点M，连接CE交AD于点N，连接MN.求证：(1)BD＝CE；(2)BM＝CN；(3)MN∥BE. 证明：(1)证△ABD≌△ACE，∴BD＝CE (2)证△ABM≌△ACN，∴BM＝CN (3)由(2)得，AM＝AN，∴∠AMN＝∠ANM＝60°＝∠DAE，∴MN∥BE 二、共顶点的等腰三角形 【教材变式2】如图，已知△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝30°，AB＝AC，AD＝AE，连接CE，连接BD并延长交CE于点F，连接AF. (1)求证：BD＝CE； (2)求∠CFA的度数． 解：(1)证△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE (2)设AC与BD的交点为O，过点A作AM⊥BD于点M，过点A作AN⊥EF于点N，易知∠BAC＝∠BFC＝30°，∴∠BFE＝150°，∵S△ABD＝S△ACE，即 eq \f(1,2) BD·AM＝ eq \f(1,2) CE·AN，∴AM＝AN，又∵AM⊥BD，AN⊥EF，∴∠AFB＝∠AFE＝75°，∴∠CFA＝105° 三、共顶点的等腰直角三角形 【教材变式3】已知，在等腰△ABC和等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°. (1)如图①，求证：DB＝CE； (2)如图②，求证：S△ACD＝S△ABE. 证明：(1)证△ABD≌△ACE(SAS)，∴DB＝CE (2)方法一：过点E作EM⊥AB交BA的延长线于点M，作DQ⊥AC于点Q，证△EAM≌△DAQ，∴EM＝DQ，又∵AB＝AC，∴S△ACD＝S△ABE 方法二：取DC的中点F，过点C作CG∥AD，交AF的延长线于点G，证△ADF≌△GCF，证△AEB≌△CGA，易知S△ACG＝S△ACD＝S△ABE $$