第13章 13.4 课题学习 最短路径问题（作业课件）-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册（人教版 河南专用)

13．4　课题学习　最短路径问题 数学 八年级上册 人教版 100分闯关 知识点一　运用“垂线段最短”解决最短路径问题 1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若点P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_____________． 6 3 4 B 6 C 7 6 8 9 11 14 16 17 18 20 23 24 2．如图，△ABC的边BC长为6，面积是24，边AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F.若M，N分别是边BC和直线EF上的动点，求BM＋MN的最小值． 解：连接AM，∵EF垂直平分AB，∴AM＝BM，过点A作AH⊥BC于点H，∵S△ABC＝24，∴ eq \f(1,2) BC·AH＝24，即 eq \f(1,2) ×6·AH＝24，∴AH＝8，故BM＋MN＝AM＋MN≥AH＝8，即BM＋MN的最小值为8 知识点二　运用“两点之间，线段最短”解决最短路径问题 3．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(4，2)，点P是x轴上任意一点，当PA＋PB有最小值时，P点的坐标为( ) A．(0，0) B．(1，0) C．(2，0) D．(3，0) 5．如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP＋CP的最小值是___________． 6．如图，已知E，F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点，在BC上求作一点M，使△EFM的周长最小．(不写作法) 解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′F交BC于点M.则点M就是所要求作的点 7．如图，点A是邮局总部，想在公路l1上建一分局D，在公路l2上建一分局E，使AD＋DE＋EA的和最小，请作出D，E(不写作法，保留作图痕迹). 解：作点A关于直线l1的对称点A′，关于直线l2的对称点A″，连接A′A″交l1于点D，交l2于点E，点D，E即为所求作的点 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，S△ABC＝20，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上动点，求PC＋PQ的最小值． 解：在AB边上截取AM＝AQ，连接PM，易证△APM≌△APQ，∴PM＝PQ，过点C作CH⊥AB于点H，∵S△ABC＝20，∴ eq \f(1,2) AB·CH＝20，即 eq \f(1,2) ×10·CH＝20，∴CH＝4，∴PC＋PQ＝PC＋PM≥CH＝4，故PC＋PQ的最小值为4 9．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内一点，且OP＝8，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR的周长最小．求△PQR周长的最小值． 解：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接MN，分别交OA，OB于点Q，R，连接PQ，PR，此时，△PQR的周长最小．∵P，M关于OA对称，∴OM＝OP＝8，QM＝QP，∠MOA＝∠POA，同理，ON＝OP＝8，RN＝RP，∠NOB＝∠POB，∴OM＝ON＝8，∠MON＝2∠AOB＝60°，∴△MON是等边三角形，∴MN＝OM＝8，∴△PQR的周长＝QP＋QR＋PR＝QM＋QR＋RN＝MN＝8，即△PQR周长的最小值为8 10．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC，点P是射线CD上一动点，点Q是线段AB上一动点．当PE＋PQ最小时BQ＝7，求AC的长． 解：延长BC至点F，使CF＝CE，过点F作FQ⊥AB于点Q，FQ交CD于点P，连接PE，此时PE＋PQ最小，BQ＝7，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，∵FQ⊥AB，∴∠F＝90°－60°＝30°，∴BF＝2BQ＝14，EF＝BF－BE＝14－6＝8，∴CF＝ eq \f(1,2) EF＝4，∴AC＝BC＝BF－CF＝14－4＝10 11．如图，为了做好元旦期间的交通安全工作，自贡市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检查，再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法． 解：如图所示，分别作A，B关于公路m，n的对称点A′，B′，连接A′B′交m，n于M，N两点，连AM，BN，则沿A→M→N→B即为最短路线 12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数． 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，连接AM，AN，此时△AMN的周长取最小值．∵∠DAB＝120°，∴∠A′＋∠A″＝60°.∵A，A′关于BC对称，A，A″关于CD对称，∴AM＝A′M，AN＝A″N，∴∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120° $$