第13章 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 第2课时 含30°角的直角三角形的性质（作业课件）-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册（人教版 河南专用)

13．3　等腰三角形 13．3.2　等边三角形 第2课时　含30°角的直角三角形的性质 数学 八年级上册 人教版 100分闯关 知识点　含30°角的直角三角形的性质 1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AB等于( ) A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3 B 3 B 4 C 5 C 10 6 6 7 8 9 10 C 12 1＜AC＜4 13 14 16 18 19 21 22 2．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( ) A．6 B．6 eq \r(3) C．9 D．3 eq \r(3) 4．等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为( ) A．8 B．7 C．5 D．4 5．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P.继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°.如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是____________海里． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC上任意一点，分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.如果BC＝12，那么DE＋DF＝_____________． 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°.求证：AB＝4BD. 证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BC＝ eq \f(1,2) AB，∠B＝60°.又∵△BCD中，CD⊥AB，∴∠BCD＝30°.∴BD＝ eq \f(1,2) BC.∴BD＝ eq \f(1,4) AB，即AB＝4BD 8．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2.求ON的长． 解：过点P作PD⊥OB于点D，易知OD＝ eq \f(1,2) OP＝ eq \f(1,2) ×8＝4，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝ eq \f(1,2) MN＝1，∴ON＝OD＋DN＝4＋1＝5 9．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若PD＋OD＝4 cm，求PE的长度． 解：作PF⊥OB，∴PE＝PF，易知DP＝DO，∴∠PDF＝30°，∵PD＋OD＝4 cm，∴DP＝DO＝2 cm，∵PF⊥OB，∴PF＝ eq \f(1,2) DP＝1 cm，∴PE＝1 cm 10．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，∠MAN＝60°，点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上．若△ABC是锐角三角形，则AC的取值范围是_______________________． 12．如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F.已知AB＝8，求BF的长． 解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝8，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝4，∵DE⊥AC，EF⊥BC，∴∠DEA＝90°，∠EFC＝90°，∴∠ADE＝180°－∠DEA－∠A＝30°，∠FEC＝180°－∠EFC－∠C＝30°，∴AE＝ eq \f(1,2) AD＝ eq \f(1,2) ×4＝2，CF＝ eq \f(1,2) EC＝ eq \f(1,2) ×(8－2)＝3，∴BF＝BC－CF＝8－3＝5 13．如图，△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AB的垂直平分线FH交AB于点F，交AC于点H，若CE＝4，求AH的长． 解：连接BH，BE，在△ABC中，∠C＝45°，∠ABC＝120°，∴∠A＝180°－45°－120°＝15°.∵DE是BC的垂直平分线，CE＝4，∴BE＝CE＝4，∠C＝∠CBE＝45°，∴∠BEC＝90°，即BE⊥AC.∵HF是AB的垂直平分线，∴AH＝BH，∴∠A＝∠ABH＝15°，∴∠BHE＝30°，在Rt△BEH中，∵BE＝4，∴BH＝2BE＝8，∴AH＝8 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6，DE＝2，求BC的长． 解：延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴BE＝EM＝BM，∵BE＝6，DE＝2，∴DM＝EM－DE＝6－2＝4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝2，∴BN＝4，∴BC＝2BN＝8 15．如图①，已知△ABC是等边三角形，D，E分别是AB，BC上的点，且BD＝CE，AE，CD交于点F. (1)求证：△ACE≌△CBD； (2)过点A作AG⊥CD于点G，求证：AF＝2FG； (3)如图②，若BF⊥AF，求 eq \f(CF,AF) 的值． 解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACE＝∠B＝60°， 在△ACE和△CBD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝CB，,∠ACE＝∠B，,CE＝BD，)) ∴△ACE≌△CBD (2)∵△ACE≌△CBD，∴∠CAE＝∠BCD，∵∠AFG＝∠CAE＋∠ACF＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，∵AG⊥CD，∴∠AGF＝90°，∴∠FAG＝30°，∴AF＝2FG (3)过点A作AG⊥DF于点G，证△ACG≌△BAF，∴CG＝AF＝2FG，∴CF＝FG，∴ eq \f(CF,AF) ＝ eq \f(1,2) $$