13.5 逆命题与逆定理 13.5.3 角平分线（作业课件）-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册（华东师大版 河南专用)

13．5　逆命题与逆定理 13.5.3　角平分线 数学 八年级上册 华师版 100分闯关 A D 1 A B D B B 10 解：如图所示，P即为所求作的点 知识点❶　角平分线的性质 1．(怀化中考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为( ) A．3 B． eq \f(3,2) C．2 D．6 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论中错误的是( ) A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC 3．(2022·北京)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB.若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝____． 4．如图，已知点O在∠BAC的平分线上，OF⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，且OB＝OC.求证：AB＝AC. 证明：连结AO，∵AO为∠BAC的平分线，OF⊥AB，OE⊥AC，∴OF＝OE.在Rt△BOF和Rt△COE中，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OF＝OE，,OB＝OC，)) ∴Rt△BOF≌Rt△COE(H.L.)，∴∠FBO＝∠ECO.∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠BCO，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC 知识点❷　角平分线的判定 5．如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三个角平分线的交点．上述结论中，正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．在平面内，到三角形三边距离相等的点是( ) A．三角形两边垂直平分线的交点 B．三角形两内角平分线的交点 C．三角形两边中线的交点 D．三角形两边高线的交点 7．(牡丹江中考)如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 8．(新蔡月考)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线． 证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,BD＝CD，)) ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(H.L.)，∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线，故AD是△ABC的角平分线 9．已知一锐角△ABC，求作一点P，使点P到∠A两边的距离相等，且PA＝PB，下列确定点P的方法正确的是( ) A．P是∠A与∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC，AB两边上的高的交点 D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点 10．(大庆中考)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝( ) A．30° B．35° C．45° D．60° 11．如图，AD是△ABC的角平分线，AB∶AC＝3∶2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为____． 12．(练习题1变式)如图，l1和l2是相交于点O的两条公路，A，B是两个加油站，现准备在∠AOB的内部建一个油库，要求油库的位置点P既到A，B两个加油站的距离相等，又到两条公路l1，l2的距离相等．试用尺规作图作出点P. 13．(习题5变式)如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD＝CD，BE＝CF. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)写出AB，AC与AE之间的数量关系，并证明． 解：(1)易证△DBE≌△DCF，得DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC　(2)AE＝ eq \f(1,2) (AB＋AC).证明：易证△ADE≌△ADF，得AE＝AF，∴ eq \f(1,2) (AB＋AC)＝ eq \f(1,2) (AE－BE＋AF＋CF)＝ eq \f(1,2) (AE－BE＋AE＋BE)＝AE 14．如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G.求证： (1)BF＝CG； (2)AB＋AC＝2AG. 证明：(1)连结BE，EC，∵DE垂直平分BC，∴BE＝EC.∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG，∴Rt△EBF≌Rt△ECG(H.L.)，∴BF＝CG　(2)易证△AFE≌△AGE(A.A.S.)，∴AF＝AG，∴AB＋AC＝AF－BF＋AG＋GC＝2AG $$