单元测试(三) 全等三角形-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册单元测试（华东师大版 河南专用)

单元测试(三)　全等三角形 (时间：100分钟　满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列语句是命题的是( D ) A．延长线段AB B．你吃过午饭了吗 C．连结A，B两点 D．直角都相等 2．已知△ABC≌△FED，若∠E＝37°，∠C＝100°，则∠A的度数是( C ) A．100° B．80° C．43° D．37° 3．(2022·德州)在△ABC中，根据下列尺规作图的痕迹，不能判断AB与AC大小关系的是( D ) 4．如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，下面三角形中与△ABC一定全等的是( C ) 5．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于( B ) A．10 B．5 C．4 D．3 　　　　　　　　 6．(2022·成都)如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是( B ) A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D 7．(2022·梧州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是( C ) A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD 8．同学们都玩过跷跷板的游戏，如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA＝OB，当跷跷板的一头着地时，∠OAC＝25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于( B ) A．25° B．50° C．60° D．130° 　　　　 9．如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是( D ) A．∠BAQ＝40° B．∠BDE＝60° C．AF＝AC D．∠EQF＝25° 10．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此作法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是( C ) A．()n·75° B．()n－1·65° C．()n－1·75° D．()n·85° 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．(2022·湖州)命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b.”的逆命题是__如果a＝b，那么|a|＝|b|__． 12．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是__H.L.__． 　　　　　　 13．(2022·衡阳)如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交CB于点D，连接AD.若AC＝8，BC＝15，则△ACD的周长为__23__． 14．如图，△ACM和△BCN分别是以△ABC的边AC，BC向外侧作的两个等边三角形，则∠1＋∠2＝__60°__． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝115°，BD＝BC，AE＝AC，则∠ECD的度数为__32.5°__． 三、解答题(共75分) 16．(8分)(2022·广州)如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE. 证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(S.A.S.) 17．(8分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，EF∥AD，交AC于点E，交BA的延长线于点F，求证：△AEF为等腰三角形． 证明：∵EF∥AD，∴∠F＝∠BAD，∠AEF＝∠DAC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠F＝∠AEF，∴AE＝AF，即△AEF为等腰三角形 18．(9分)(2022·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)求证：AD＝AE. 解：(1)如图所示 (2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD(A.S.A.)，∴AD＝AE 19．(9分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF，求证： (1)CF＝EB； (2)AB＝AF＋2EB. 证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(H.L.).∴CF＝EB　(2)在Rt△ADC和Rt△ADE中，∴Rt△ADC≌Rt△ADE(H.L.)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋EB＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB 20．(9分)如图所示的A，B是两根呈南北方向排列的电线杆，A，B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A，B两根电线杆之间的距离． (1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图； (2)如果小刚一步大约60 cm，请你求A，B两根电线杆之间的距离． 解：(1)根据题意画出图形，如图所示 (2)由题可知∠BAC＝∠EDC＝90°，60 cm＝0.6 m，AC＝20×0.6＝12(m)，DC＝20×0.6＝12(m)，DE＝100×0.6＝60(m).∵点E，C，B在一条直线上，∴∠DCE＝∠ACB.在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC(A.S.A.)，∴AB＝DE.∵DE＝60 m，∴AB＝60 m．答：A，B两根电线杆之间的距离大约为60 m 21．(10分)(2022·怀化)如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H. (1)求证：MP＝NP； (2)若AB＝a，求线段PH的长(结果用含a的代数式表示). 　　　　 解：(1)过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示，在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，∴△QMP≌△CNP(A.A.S.)，∴MP＝NP　(2)∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ＋QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a 22．(10分)如图，在等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连结CF. 【问题解决】如图①，若点D在边BC上，求证：CE＋CF＝CD； 【类比探究】如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 解：【问题解决】在CD上截取CH＝CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，∴△DEH≌△FEC(S.A.S.)，∴DH＝CF，∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF，∴CE＋CF＝CD　【类比探究】CF＝CD＋CE.理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝FD，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，∴△EGD≌△FCD(S.A.S.)，∴EG＝FC，∴CF＝EG＝CG＋CE＝CD＋CE 23．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒． (1)直接写出： ①BD＝__12__厘米；②BP＝__4t__厘米； ③CP＝__(16－4t)__厘米；④CQ＝__at__厘米； (可用含t，a的代数式表示) (2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值； (3)若点Q以(2)中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动．设运动的时间为t秒，直接写出：t＝__24__秒时，点P与点Q第一次相遇． 解：(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴分两种情况：①若△DBP≌△QCP，则BD＝CQ，BP＝CP，∴∴　②若△DBP≌△PCQ，则BD＝PC，BP＝CQ，∴∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$