13.3 第1课时 《等腰三角形的性质》 讲题课件 2024-2025学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版八年级上册 底边上的高 中线 顶角的平分线 三线合一 轴对称 1.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角_________，简称“______________”. (2)等腰三角形______________、_________及______________互相重合，简称“______________”. (3)等腰三角形是__________图形，___________________________________________________________是它的对称轴. 顶角的平分线(底边上的中线或底边上的高)所在的直线 相等 等边对等角 一条 三条 2.等边三角形 (1)三条边都相等的三角形是______________. (2)等边三角形三个内角______________，都等于______________. (3)非等边的等腰三角形有______________对称轴，等边三角形有______________对称轴. (4)等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质. 等边三角形 都相等 60° 知识点1 运用等腰三角形的性质计算角的度数或证明角相等 1 如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点.若AB=AD=DC，∠BAD=44°，则∠C=______________. 34° 【规律方法】等腰三角形的性质体现的是同一三角形中边与角之间的关系，结合三角形的内角和定理，从而可求等腰三角形中的角的度数，有时要注意分类讨论. 1.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D.若∠A=36°，则∠BDC的度数为( ) A.36° B.54° C.72° D.108° C 2.如图，A、B两点分别在直线l1、l2上，且l1∥l2，BA=BC，BC⊥l2.若∠1=116°，则∠CAB的度数为( ) A.20° B.22° C.24° D.26° D 3.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AC=BD.若∠B=50°，则∠CAD的度数为( ) A.10° B.15° C.20° D.25° B 知识点2 等腰三角形“三线合一”的性质的运用 2 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F.求证： (1)∠C=∠BAD；(2)AC=EF. 证明：(1)∵AB=AE， 又∵D为BE的中点，∴AD⊥BE， ∴∠BDA=90°，∴∠B+∠BAD=90°. ∵∠B+∠C=90°，∴∠C=∠BAD； (2)∵AF∥BC，∴∠EAF=∠AEB. ∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∴∠EAF=∠ABC. 在△BAC和△AEF中， ∴△BAC≌△AEF(A.S.A.)，∴AC=EF. 【规律方法】等腰三角形“三线合一”是非常重要的性质，它是“知一推二”，是证垂直和线段相等的重要依据，应熟练掌握、灵活运用. 4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为( ) A.130° B.125° C.120° D.115° D 5.如图，在△ABC中，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC.求证：AO⊥BC. 证明：在△ABO和△ACO中， ∴△ABO≌△ACO(S.S.S.)，∴∠BAO=∠CAO. ∵AB=AC，∴AO⊥BC. 知识点3 等边三角形的性质 3 如图，E、F分别是等边△ABC的边AB、AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P. (1)求证：CE=BF；(2)求∠BPC的度数. (1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°. 在△BCE与△ABF中， ∴△BCE≌△ABF(S.A.S.)，∴CE=BF； (2)解：∵△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF， ∴∠PBC+∠BCE=∠PBC+∠ABF=60°， ∴∠BPC=180°－60°=120°. 6.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠CDE的度数为______________. 15° 7.如图，将等边△ABC绕顶点A沿顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得到△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是______________. 60° 8.如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，连结CE、BD、CD.求证：BD=CE. 证明：∵△ADE和△ABC为等边三角形， ∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE(S.A.S.)，∴BD=CE. 1.［鞍山·中考］如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=24°，延长BC到点D，使CD=AC，连结AD，则∠D的度数为( ) A.39° B.40° C.49° D.51° A 2.［2023·金昌］如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC的度数为( ) A.20° B.25° C.30° D.35° C 3.如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，则∠DAO+∠DCO的大小是( ) A.70° B.110° C.140° D.150° D 4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且BD=BC，AD=DE=EB，则∠DBC的度数是( ) A.22.5° B.30° C.45° D.67.5° C 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F.若BF=AC，则∠ABC的度数为_________. 45° 6.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DB=BC，DE⊥AB于点E.若CD=4，且△BDC的周长为24，则AE的长为_________. 7 7.如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连结CC′，则∠ACC′=______________. 110° 8.如图，在△PAB中，PA=PB，M、N、K分别是PA、PB、AB边上的点，且AM=BK，BN=AK.若∠MKN=44°，则∠P的度数为______________. 92° 9.［2023·烟台］如图，C为线段AB上一点，分别以AC、BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF=AD，连结BF、DE.求证：DE=BF. 证明：∵△ACD、△BCE是等腰三角形， ∴∠A=∠DCA，∠ECB=∠CBE，CE=BE. ∵∠A=∠CBE，∴∠A=∠ECB，∠ADC=∠CEB， ∴AD∥CE，∴∠ADC=∠DCE， ∴∠DCE=∠FEB. ∵EF=AD=CD，CE=EB， ∴△DCE≌△FEB(S.A.S.)，∴DE=FB. 10.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中点.求证：DG⊥EF. 证明：如图，连结ED、FD. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. 在△BDE和△CFD中， ∴△BDE≌△CFD(S.A.S.)，∴DE=FD， ∴△DEF为等腰三角形. 又∵G是EF的中点，∴DG⊥EF. 11.如图，在等边△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连结CF. (1)求证：AE=CF；(2)求∠ACF的度数. (1)证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=60°. ∵△BEF是等边三角形， ∴EB=BF，∠CBF+∠EBC=60°，∴∠ABE=∠CBF. 在△ABE和△CBF， ∴△ABE≌△CBF(S.A.S.)，∴AE=CF； (2)解：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAE=30°，∠ACB=60°. ∵△ABE≌△CBF，∴∠BCF=∠BAE=30°， ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=30°+60°=90°. 12.［2023·河北］在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′=30°，AB=A′B′=6，AC=A′C′=4.已知∠C=n°，则∠C′为( ) A.30° B.n° C.n°或180°－n° D.30°或150° C 13.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点.当PA=CQ时，连结PQ交AC边于点D，则DE的长为( ) A. B. C. D.不能确定 B 14.如图，在△ABC中，∠A=40°，点D、E分别在边AB、AC上，BD=BC=CE，连结CD、BE. (1)若∠ABC=80°，求∠BDC、∠ABE的度数； (2)写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由. 解：(1)∵∠ABC=80°，BD=BC， ∴∠BDC=∠BCD= (180°－80°)=50°. ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°， ∴∠ACB=180°－40°－80°=60°. ∵CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC=60°， ∴∠ABE=∠ABC－∠EBC=80°－60°=20°； (2)∠BEC+∠BDC=110°.理由如下： 设∠BEC=α，∠BDC=β. α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE. ∵CE=BC，∴∠CBE=∠BEC=α， ∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠A+2∠ABE=40°+2∠ABE. 在△BDC中，BD=BC， ∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°， ∴β=70°－∠ABE，∴α+β=40°+∠ABE+70°－∠ABE=110°， ∴∠BEC+∠BDC=110°. $$