24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

数学 九年级上册 人教版 四清导航 24.1 圆的有关性质 第二十四章　圆 24.1.3　弧、弦、圆心角 圆心角的概念 1．(2分)下图中∠ACB是圆心角的是( ) B B CD ∠AOB CD ∠COD C D 60° 75° 60° C A 15 ①②④ 2．(3分)在半径为2 cm的⊙O中，弦长为2 cm的弦所对的圆心角为( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 弧、弦、圆心角之间的关系 3．(4分)如图，AB，CD为⊙O的两条弦． (1)若∠AOB＝∠COD，则 eq \x\to(AB) ＝_______，AB ＝_______； (2)若 eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(CD) ，则_________＝∠COD，AB＝________； (3)若AB＝CD，则∠AOB＝_________，_______＝ eq \x\to(CD) . eq \x\to(CD) eq \x\to(AB) 4．(3分)如图，在⊙O中，若点C是 eq \x\to(AB) 的中点，∠A＝40°，则∠BOC＝( ) A．40° B．45° C．50° D．60° 5．(3分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论：① eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(CD) ；② eq \x\to(BD) ＝ eq \x\to(AC) ；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．(3分)(教材P85练习T2变式)如图，AB是⊙O的直径， eq \x\to(BC) ＝ eq \x\to(CD) ＝ eq \x\to(DE) ，∠COD＝40°，则∠AEO＝________． 7．(3分)(教材P89习题T3变式)如图，在⊙O中， eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(AC) ，∠A＝30°，则∠B的度数为_______． 8．(3分)如图，AB，CD都是⊙O的直径， eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(AE) ，若∠BOD＝30°，则∠COE＝_______． 9．(8分)已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE.求证： eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(CE) . 证明：∵∠BOE＝∠AOD，∴ eq \x\to(BE) ＝ eq \x\to(AD) ，∴BE＝AD，∵BE＝CE，∴AD＝CE，∴ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(CE) . 10．(8分)如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC，求证： eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(CD) . 证明：如图，连接OC，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.又∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠OCB，∴∠AOD＝∠COD， ∴ eq \x\to(AD) ＝ eq \x\to(CD) 一、选择题(每小题6分，共12分) 11．(易错题)如图，在⊙O中， eq \x\to(AB) ＝2 eq \x\to(AC) ，则下列结论正确的是( ) A.AB>2AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．无法判断 12．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为( ) A． eq \r(3) B． eq \r(5) C．2 eq \r(3) D．2 eq \r(5) 二、填空题(每小题6分，共12分) 13．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为____． 14．如图，在⊙O中，C，D分别是OA，OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N 在⊙O上．下列结论：①MC＝ND，② eq \x\to(AM) ＝ eq \x\to(MN) ＝ eq \x\to(NB) ，③四边形MCDN是正方形，④MN＝ eq \f(1,2) AB.其中正确的结论是_________(填序号). 三、解答题(共36分) 15．(10分)如图，在⊙O中， eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(CB) ，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：CD＝CE. 解：证明：连接OC，∵ eq \x\to(AC) ＝ eq \x\to(BC) ，∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴△COD≌△COE，∴CD＝CE 16．(12分)如图，在⊙O中，AB，CD是弦，点E，F分别是AB，CD的中点，并且 eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(CD) . (1)求证：∠AEF＝∠CFE； (2)若∠EOF＝120°，OE＝4 cm，求EF的长． 解：(1)证明：∵ eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(CD) ，∴AB＝CD.∵点E，F分别是AB，CD的中点，∴OE⊥AB，OF⊥CD，BE＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) CD＝DF，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.如图，连接OB，OD，∵在Rt△OBE和Rt△ODF中，OB＝OD，BE＝DF，∴Rt△OBE≌Rt△ODF，∴OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠AEO－∠OEF＝∠CFO－∠OFE，即∠AEF＝∠CFE (2)如图，过点O作OG⊥EF于点G，则EF＝2EG.∵OE＝OF，∠EOF＝120°，∴∠OEF＝∠OFE＝30°，∴OG＝ eq \f(1,2) OE＝2 (cm)，∴EG＝ eq \r(OE2－OG2) ＝ eq \r(42－22) ＝2 eq \r(3) cm，∴EF＝2EG＝4 eq \r(3) (cm) 【素养提升】 17．(14分)(关注生活)如图，MN是笔直河流的一段，A，B两村在以MN为直径的⊙O 上，现在两村委会合计，准备集资在MN上的点P处修一水泵站向两村供水，小明测量后得到如下数据：⊙O的半径为2 km，A是半圆上的一个三等分点，B是 eq \x\to(AN) 的中点. 问点P在什么位置时，水泵站到两村的距离之和AP＋BP最小，并求这个最小值． 解：过点A作AA′⊥MN于点E，连接BA′，OA′，OB.∵MN过圆心O，∴AE＝EA′，∴AP＝PA′，即AP＋BP＝PA′＋BP，根据两点间线段最短，当A′，P，B三点共线时，PA′＋BP＝BA′，AP＋BP此时为最小值，∴P位于A′B与MN的交点处．∵点A是半圆上的一个三等分点，∴∠AON＝∠A′ON＝60°.∵点B是弧AN的中点，∴ eq \x\to(AB) ＝ eq \x\to(BN) ，∴∠BON＝30°，∴∠BOA′＝∠A′ON＋∠BON＝90°.∵OB＝OA＝2，∴BA′＝2 eq \r(2) ，即AP＋BP的最小值为2 eq \r(2) $$