第22章 专题训练(六) 河南中招——二次函数动态变化小综合（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（人教版 河南专用）

数学 九年级上册 人教版 四清导航 专题训练(六)　河南中招——二次函数动态变化小综合 第二十二章　二次函数 类型之一　动态问题中的坐标取值范围问题 1．(河南中考)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点G的坐标； (2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围． 解：(1)抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3，顶点G的坐标为(1，4) (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴对称轴为直线x＝1. ∵点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为(－2，－5)或(4，－5)，点N坐标为(6，－21).∵点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，∴－21≤yQ≤－5或－21≤yQ≤4. 类型之二　特殊三角形条件问题 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，－3)，动点P在抛物线上． (1)b＝____，c＝____(直接填写结果)； (2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． －2 －3 解：(1)将点A，点C的坐标代入抛物线解析式，即可得b＝－2，c＝－3. ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)存在．理由：如图所示：①当∠ACP1＝90°，由(1)可知点A的坐标为(3，0)， 设AC的解析式为y＝kx－3，∵将点A的坐标代入得3k－3＝0，解得k＝1，∴直线AC的解析式为y＝x－3，∴直线CP1的解析式为y＝－x－3，将y＝－x－3与y＝x2－2x－3联立解得x1＝1，x2＝0(舍去)，∴点P1的坐标为(1，－4)； ②当∠P2AC＝90°时，设AP2的解析式为y＝－x＋b，将x＝3，y＝0代入，得－3＋b＝0，解得b＝3，∴直线AP2的解析式为y＝－x＋3. ∵将y＝－x＋3与y＝x2－2x－3联立解得x1＝－2，x2＝3(舍去)，∴点P2的坐标为(－2，5)，综上所述，P的坐标是(1，－4)或(－2，5) 类型之四　面积关系确定点的存在性 4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax＋a－4与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C. (1)若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为 ______________； (2)若线段AB上只有5个点的横坐标是整数，求a的取值范围； (3)当－1＜x＜0时，y＜0；当3＜x＜4时，y＞0. ①求a的值； ②抛物线上是否存在一点P，使△BOP与△AOC的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． y＝4x2－8x 3. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(－1，0)，并与直线y＝ eq \f(1,2) x－2相交于坐标轴上的B，C两点． (1)求此二次函数的解析式； (2)过点A，C作直线，求证：AC⊥BC； (3)抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式；若不存在，请说明理由． 解：(1)由直线y＝ eq \f(1,2) x－2，易求得点B，C的坐标分别为(4，0)，(0，－2)，抛物线过点A，B两点，则y＝a(x＋1)(x－4)，将点C的坐标代入上式并解得a＝ eq \f(1,2) ， 故抛物线的解析式为y＝ eq \f(1,2) x2－ eq \f(3,2) x－2 (2)证明：∵A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－2)， ∴AB2＝25，AC2＝12＋22＝5，CB2＝42＋22＝20，∴AB2＝BC2＋AC2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC⊥BC 综上所述，直线BQ的解析式为y＝ eq \f(4,3) x－ eq \f(16,3) 或y＝－ eq \f(4,3) x＋ eq \f(16,3) (3)①当点Q在直线BC下方时，延长AC至点D使得DC＝AC，连接BD，由(2)知，∠ACB＝90°，∴△ABD是以AD为底边的等腰三角形， ∴BC平分∠ABD，满足∠ABQ＝2∠ABC.∵点A(－1，0)，C(0，－2)，∴D(1，－4)，易求得直线BD的解析式为y＝ eq \f(4,3) x－ eq \f(16,3) ； ②当点Q′在直线BC上方时，∴直线BQ′与直线BQ关于x轴对称， ∴直线BQ′的解析式为y＝－ eq \f(4,3) x＋ eq \f(16,3) . 解：(1)将(0，0)代入y＝ax2－2ax＋a－4，即得a＝4，∴抛物线的解析式为y＝4x2－8x (2)∵y＝ax2－2ax＋a－4＝a(x－1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵抛物线与x轴交于点A，B，∴Δ＝(－2a)2－4a(a－4)＝16a＞0，∴a＞0， ∴抛物线开口向上．∵线段AB上只有5个点的横坐标是整数， ∴这5个点的横坐标分别为－1，0，1，2，3， ∴当x＝3时，y≤0；当x＝4时，y＞0，即a(3－1)2－4≤0，a(4－1)2－4＞0，∴ eq \f(4,9) ＜a≤1； (3)①由(2)知抛物线的对称轴为直线x＝1，且a＞0.∵当－1＜x＜0时，y＜0，∴根据抛物线的对称性可得，当2＜x＜3时，y＜0.又∵当3＜x＜4时，y＞0，∴当x＝3时，y＝4a－4＝0，∴a＝1； ②存在．令y＝x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，令x＝0，得y＝－3，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，∴OA＝1，OB＝3，OC＝3， ∴OA·OC＝3.∵△BOP和△AOC的面积相等，S△AOC＝ eq \f(1,2) OA·OC＝ eq \f(3,2) ，∴点P到x轴的距离为1.令x2－2x－3＝1，解得x＝1± eq \r(5) ；令x2－2x－3＝－1，解得x＝1± eq \r(3) . 故点P的坐标为(1＋ eq \r(5) ，1)或(1－ eq \r(5) ，1)或(1＋ eq \r(3) ，－1)或(1－ eq \r(3) ，－1) $$