检测内容：第一章 特殊平行四边形-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

检测内容：第一章　特殊平行四边形 得分________　卷后分________　评价________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是(B) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等 2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得公路AB的长为5 km，则C，M两点间的距离为(A) A．2.5 km B．3 km C．4.5 km D．5 km 　　　　 3．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为(D) A．5 B． C． D． 4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法中不正确的是(D) A.当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形 5．(黄石中考)如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为(D) A．(－，0) B．(，0) C．(0，) D．(0，2)　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 6．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是(－1，0)，点C的坐标是(2，4)，则BD的长为(B) A．6 B．5 C．3 D．4 　　　　 7．(淄博中考)如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F.若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为(B) A．16 B．6 C．12 D．30 8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AB＝，则AF的长为(A) A． B．2 C．3 D． 9．如图，把含30°角的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在边AB和边CD上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为(C) A．60° B．65° C．75° D．80° 　　　 10．(绵阳中考)如图①，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上的一动点，设DN的长为x，线段MN与AN长度的和为y，图②是y关于x的函数图象，图象的右端点F的坐标为(2，3)，则图象的最低点E的坐标为(C) A．(，2) B．(，) C．(，) D．(，2) 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，请再添加一个条件：BC＝CD(答案不唯一)，使四边形ABCD成为菱形． 　　　 12．(宜昌中考)如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积为__48__． 13．如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为72 cm2，则菱形ABCD的边长为2cm. 　　 14．(河南中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长为__1___． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E在边AB上，连接CE，将△BCE沿CE折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对角线上时，AE＝__或__． 三、解答题(共75分) 16．(6分)(广安中考)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE，CF，求证：CE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC，∴∠CBE＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)，∴CE＝CF 17．(8分)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，且BD＝BE.求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB∥CE.又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴AC＝BE＝BD，∴▱ABCD是矩形 18．(9分)(滨州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD. (1)求证：四边形AOBE是菱形； (2)若∠AOB＝60°，AC＝4，求菱形AOBE的面积． 解：(1)证明：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四边形AOBE是平行四边形．又∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC＝BD＝OB，∴▱AOBE是菱形 (2)过点B作BF⊥OA于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝AC＝2.又∵∠AOB＝60°，∴∠OBF＝30°，∴OF＝OB＝1，∴BF＝＝＝，∴S菱形AOBE＝AO·BF＝2×＝2 19．(9分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF. (1)求证：四边形AEFD是矩形； (2)连接OE，若AD＝5，CE＝2，求OE的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD∥EF.又∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形．又∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴▱AEFD是矩形 (2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝5，OA＝OC，∴BE＝BC－CE＝5－2＝3，∴AE＝＝＝4，∴AC＝＝＝2.又∵AE⊥BC，OA＝OC，∴OE＝AC＝ 20．(9分)如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上． (1)求证：BG＝DE； (2)若E为AD的中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长． 解：(1)证明：∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE.又∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE (2)连接EG，∵四边形EFGF是矩形，∴EG＝FH＝2.∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴AE∥BG.又∵E为AD的中点，∴AE＝ED＝BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG＝2，∴菱形ABCD的周长为4×2＝8 　　　　　　　　数学　九年级上(配北师)— 127 —　　　　　　　　　　　　　　　数学　九年级上(配北师)— 128 —　　　　　　　　　　　　　　　数学　九年级上(配北师)— 129 —(这是边文，请据需要手工删加) 21．(10分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AM⊥BD于点M，CN⊥BD于点N，延长AM至点G，使MG＝AM，连接CG. (1)求证：△AOM≌△CON； (2)当AM∶OA＝2∶时，判断四边形MGCN的形状，并说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC.又∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠AMO＝∠CNO.又∵∠AOM＝∠CON，∴△AOM≌△CON(AAS) (2)四边形MGCN是正方形，理由如下：由(1)得△AOM≌△CON，∴CN＝AM＝MG，OM＝ON.又∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠GMN＝90°，AM∥CN，∴CN∥MG，∴四边形MGCN是平行四边形．又∵∠GMN＝90°，∴▱MGCN是矩形．又∵AM∶OA＝2∶，∴可设AM＝2a，OA＝a，∴OM＝ ＝a，∴MN＝OM＋ON＝2OM＝2a＝AM＝MG，∴矩形MGCN是正方形 22．(10分)如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点 E，连接BE，DE，并延长BE到点F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H. (1)求证：BE＝DE； (2)若∠CDE＝15°，判断CE，DE，EF之间的数量关系，并说明理由． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE＝DE (2)在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∴∠CBE＝∠CDE＝15°，∴∠CEG＝∠CBE＋∠BCE＝15°＋45°＝60°.又∵CE＝GE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，CE＝GC.又∵BC＝CF，∴∠F＝∠CBE＝15°，∴∠GCF＝∠CGE－∠F＝60°－15°＝45°，∴∠ECD＝∠GCF.又∵CE＝CG，CF＝CB＝CD，∴△DEC≌△FGC(SAS)，∴DE＝GF，∴EF＝EG＋GF＝CE＋DE 23．(14分)已知四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转(DE＜AB)，∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF. (1)如图①，求证：△ADE≌△CDF； (2)直线AE与CF相交于点G， ①如图②，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形； ②如图③，连接BG，若AB＝4，DE＝2，请直接写出在△DEF旋转的过程中线段BG长度的最小值． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF.又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF(SAS) (2)①证明：如图②中，设AG与CD相交于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠ADP＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°.又由(1)知△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF，∴∠GCP＋∠GPC＝∠DAP＋∠DPA＝90°，∴∠PGN＝90°.又∵BM⊥AG，BN⊥GN，∴四边形BMGN是矩形，∴∠MBN＝90°＝∠ABC，∴∠ABM＝∠CBN.又∵∠AMB＝∠CNB＝90°，AB＝BC，∴△AMB≌△CNB(AAS)，∴BM＝BN，∴矩形BMGN是正方形 ②如图③中，过点D作DH⊥AG于点H，过点B作BM⊥AG于点M，则易证△ABM≌△DAH，∴BM＝AH＝＝＝≥＝＝2(当且仅当点H与点E重合时“＝”成立)，∴BM最小值＝2.又由(2)①易知△BGM是等腰直角三角形，∴BG最小值＝BM最小值＝2 学科网（北京）股份有限公司 $$