第四章 7.相似三角形的性质 第2课时 相似三角形的周长与面积的性质（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

数学 九年级上册 北师版 7．相似三角形的性质 第2课时　相似三角形的周长与面积的性质 四清导航 B C 4∶5 12 B D B 27 B D 1．(2分)(常州中考)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的周长比为( ) A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4 2．(2分)已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( ) A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9 3．(3分)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的周长之比为4∶5，则AC∶DF＝_________． 4．(3分)(锦州中考)如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为_________． 5．(10分)如图，在▱ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F. (1)求证：△AEF∽△CDF； (2)求△AEF与△CDF的周长之比． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDF＝∠FEA，∠DCA＝∠FAE，∴△AEF∽△CDF (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB.又∵AE∶EB＝2∶3，∴AE∶CD＝AE∶AB＝2∶5.又∵△AEF∽△CDF，∴ eq \f(C△AEF,C△CDF) ＝ eq \f(AE,DC) ＝ eq \f(2,5) 6．(2分)已知两个相似三角形的相似比为2∶3，则它们的面积比为( ) A．2∶3 B．4∶9 C．3∶2 D． eq \r(2) ∶ eq \r(3) 7．(2分)已知△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，且△DEF的面积为12，则△ABC的面积为( ) A．48 B．24 C．6 D．3 8．(3分)(贺州中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE∶S△ABC的值是( ) A． eq \f(3,25) B． eq \f(4,25) C． eq \f(2,5) D． eq \f(3,5) 9．(3分)如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是________． 10．(10分)如图，四边形ABCD是某校的一块学农基地，其中△ABD是蔬菜园，△BCD是植物园，已知AB∥CD，AB＝40 m，BD＝60 m，CD＝90 m. (1)求证：△ABD∽△BDC； (2)若植物园△BCD的面积为1 800 m2，求蔬菜园△ABD的面积． 解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC.又∵ eq \f(AB,BD) ＝ eq \f(40,60) ＝ eq \f(2,3) ， eq \f(BD,CD) ＝ eq \f(60,90) ＝ eq \f(2,3) ，∴ eq \f(AB,BD) ＝ eq \f(BD,CD) ， ∴△ABD∽△BDC (2)∵△ABD∽△BDC，∴ eq \f(S△ABD,S△BCD) ＝( eq \f(AB,BD) )2＝( eq \f(2,3) )2＝ eq \f(4,9) ，∴S△ABD＝ eq \f(4,9) SBCD＝ eq \f(4,9) ×1 800＝800(m2) 一、选择题(每小题6分，共12分) 11．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9，若AA′＝1，则A′D的长为( ) A．2 B．3 C．4 D． eq \f(3,2) 12．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC上，F点在DE上，G，H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG∶GH∶HC＝4∶6∶5，则△ADE与△FGH的面积比为( ) A．2∶1 B．3∶2 C．5∶2 D．9∶4 二、解答题(共28分) 13．(13分)(杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形， eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(1,4) . (1)若AB＝8，求线段AD的长； (2)若△ADE的面积为1，求▱BFED的面积． 解：(1)∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴易证△ADE∽△ABC，∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(DE,BC) ＝ eq \f(1,4) ，∴AD＝ eq \f(1,4) AB＝ eq \f(1,4) ×8＝2 (2)∵△ADE∽△ABC，∴ eq \f(S△ADE,S△ABC) ＝( eq \f(DE,BC) )2＝( eq \f(1,4) )2＝ eq \f(1,16) ，∴S△ABC＝16S△ADE＝16.∵四边形BFED是平行四边形，∴BD＝EF，EF∥AB，∴易证△EFC∽△ABC，∴ eq \f(S△EFC,S△ABC) ＝( eq \f(EF,AB) )2＝( eq \f(BD,AB) )2＝(1－ eq \f(AD,AB) )2＝( eq \f(3,4) )2＝ eq \f(9,16) ，∴S△EFC＝ eq \f(9,16) S△ABC＝9，∴S▱BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC＝16－1－9＝6 【素养提升】 14．(15分)【分类讨论思想】如图，已知在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上(与点A，C不重合)，点Q在BC上． (1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长； (2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长； (3)试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，要说明理由；若存在，请求出PQ的长． 解：(1)∵PQ∥AB，∴易证 △PQC∽△ABC.又∵S△PQC＝S四边形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶2，∴ eq \f(CP,CA) ＝ eq \r(\f(1,2)) ＝ eq \f(\r(2),2) ，∴CP＝ eq \f(\r(2),2) CA＝2 eq \r(2) (2)∵△PQC∽△ABC，∴ eq \f(CP,CA) ＝ eq \f(CQ,CB) ＝ eq \f(PQ,AB) ，∴ eq \f(CP,4) ＝ eq \f(CQ,3) ＝ eq \f(PQ,5) ，∴CQ＝ eq \f(3,4) CP，PQ＝ eq \f(5,4) CP，∴C△PCQ＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋ eq \f(5,4) CP＋ eq \f(3,4) CP＝3CP，C四边形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝(4－CP)＋5＋(3－ eq \f(3,4) CP)＋ eq \f(5,4) CP＝12－ eq \f(1,2) CP，∴12－ eq \f(1,2) CP＝3CP，∴CP＝ eq \f(24,7) (3)存在，理由如下：∵AC＝4，AB＝5，BC＝3，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠C＝90，AB边上的高为 eq \f(12,5) .①当∠MPQ＝90°，且PM＝PQ时，如图①， 　 ∵易证△CPQ∽△CAB，∴ eq \f(PQ,AB) ＝ eq \f(△CPQ的边PQ上的高,△CAB的边AB上的高) ，∴ eq \f(PQ,5) ＝ eq \f(\f(12,5)－PQ,\f(12,5)) ，∴PQ＝ eq \f(60,37) ；②当∠PQM＝90°，且QM＝PQ时，与①相同；③当∠PMQ＝90°，且PM＝MQ时，如图②，过点M作ME⊥PQ于点E，则ME＝ eq \f(1,2) PQ，∴△CPQ的边PQ上的高为 eq \f(12,5) －ME＝ eq \f(12,5) － eq \f(1,2) PQ.又∵ eq \f(PQ,AB) ＝ eq \f(△CPQ的边PQ上的高,△CAB的边AB上的高) ，∴ eq \f(PQ,5) ＝ eq \f(\f(12,5)－\f(1,2)PQ,\f(12,5)) ，∴PQ＝ eq \f(120,49) .综上所述，存在点M，PQ的长为 eq \f(60,37) 或 eq \f(120,49) $$