第一章 特殊平行四边形 本章考点整合训练(一)（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

本章考点整合训练(一) 数学 九年级上册 北师版 四清导航 C 3 C 3.6 C 1 B 1 考点一　菱形的性质与判定 1．(2022·河南)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为( ) A．6 B．12 C．24 D．48 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为_________． 3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB. (1)求证：四边形ABEO是菱形； (2)若AC＝2 eq \r(6) ，BD＝4，求四边形ABEO的面积． 解：(1)证明：∵BE∥AC，OE∥AB，∴四边形ABEO是平行四边形．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO.又∵AC＝2AB，∴AO＝AB，∴▱ABEO是菱形 (2) 连接AE交BO于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \r(6) ，OB＝ eq \f(1,2) BD＝2.又∵四边形ABEO是菱形，∴AE⊥BO，MO＝ eq \f(1,2) BO＝1，AM＝ME，∴AM＝ eq \r(AO2－MO2) ＝ eq \r(5) ，∴AE＝2AM＝2 eq \r(5) ，∴S菱形ABEO＝ eq \f(1,2) AE·OB＝ eq \f(1,2) ×2 eq \r(5) ×2＝2 eq \r(5) 考点二　矩形的性质与判定 4．如图，矩形DEFG的顶点E，F分别在菱形ABCD的边AD和对角线AC上，连接EG，BF，若EG＝3，则BF的长为( ) A． eq \r(3) B． eq \r(5) C．3 D．4 5．(毕节中考)如图，在矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF.若AB＝4，BC＝6，则CF的长是_____________． 6．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD，DF. (1)求证：四边形BEDF是矩形； (2)若BD＝2 eq \r(5) ，BE＝4，求BC的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵AF＝CE，∴FB＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．又∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∴▱BEDF是矩形 (2)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.又∵DE＝ eq \r(BD2－BE2) ＝ eq \r(（2\r(5)）2－42) ＝2，∴CE＝CD－DE＝BC－2.在Rt△BCE中，∵BC2＝CE2＋BE2，即BC2＝(BC－2)2＋42，∴BC＝5 考点三　直角三角形斜边上的中线的性质 7．(河南中考)如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，点E，F分别是BD，CD的中点．若AB＝8，BC＝6，则AE＋EF的长为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 8．(西宁中考)如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝__________． 考点四　正方形的性质与判定 9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC上的一点，F为DE的中点．若CE＝6，OF＝1，则△CEF的周长为( ) A．14 B．16 C．18 D．12 10．(无锡中考)如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝___________． 11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接CE，过点D作DF⊥CE于点F，DF交OC于点G，连接OF. (1)求证：OE＝OG； (2)若CF＝2，DF＝4，求OF的长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠BOC＝∠COD＝90°.又∵DF⊥CE，∴∠CFD＝90°＝∠DOG.又∵∠DGO＝∠CGF，∴∠ODG＝∠OCE，∴△ODG≌△OCE(ASA)，∴OE＝OG (2)在DG上截取DH＝CF＝2，连接OH，∵OD＝OC，∠ODH＝∠OCF，DH＝CF，∴△ODH≌△OCF(SAS)，∴OH＝OF，∠DOH＝∠COF，∴∠HOF＝∠COD＝90°，∴FH2＝OF2＋OH2＝2OF2，∴OF＝ eq \f(\r(2),2) FH＝ eq \f(\r(2),2) (DF－DH)＝ eq \f(\r(2),2) ×(4－2)＝ eq \r(2) 【核心素养】 12．(2022·河南)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部的点M处，把纸片展平，连接PM，BM. 根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中一个30°的角：______________． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ. ①如图②，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°； ②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图③，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当FQ＝1 cm时，直接写出AP的长． 解：(1)∠ABP(∠MBP或∠BME或∠CBM)　【解析】连接AM，由折叠的性质可知AB＝BM，AE＝BE，∠AEF＝∠BEF＝90°，∠ABP＝∠MBP，∴AM＝BM＝AB，∴△ABM是等边三角形，∴∠ABM＝60°，∴∠ABP＝∠MBP＝ eq \f(1,2) ∠ABM＝30°，∠BME＝90°－∠ABM＝30°.又∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠CBM＝∠ABC－∠ABM＝30° (2)①15　15　【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∴由折叠的性质可得BM＝AB＝BC，∠BMP＝∠A＝90°，∴∠BMQ＝90°＝∠C.又∵BQ＝BQ，∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL)，∴∠MBQ＝∠CBQ＝ eq \f(1,2) ∠CBM＝ eq \f(1,2) ×30°＝15° ②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∴由折叠的性质可得BM＝AB＝BC，∠BMP＝∠A＝90°，∴∠BMQ＝90°＝∠C.又∵BQ＝BQ，∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL)，∴∠MBQ＝∠CBQ (3)由折叠的性质可得CF＝DF＝4 cm，AP＝PM，∵Rt△BMQ≌Rt△BCQ，∴MQ＝CQ.①当点Q在线段CF上时，MQ＝CQ＝CF－FQ＝4－1＝3(cm)，DQ＝DF＋FQ＝4＋1＝5(cm).在Rt△DPQ中，∵PQ2＝PD2＋DQ2，∴(AP＋3)2＝(8－AP)2＋25，∴AP＝ eq \f(40,11) cm；②当点Q在线段DF上时，MQ＝CQ＝CF＋FQ＝4＋1＝5(cm)，DQ＝DF－FQ＝4－1＝3(cm).在Rt△DPQ中，∵PQ2＝PD2＋DQ2，∴(AP＋5)2＝(8－AP)2＋9，∴AP＝ eq \f(24,13) cm.综上所述，AP的长为 eq \f(40,11) cm或 eq \f(24,13) cm $$