第一章 3.正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定（作业课件）-【四清导航】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 河南专用）

3．正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 数学 九年级上册 北师版 四清导航 B C AC＝BD(答案不唯一) D A BC＝2AB 1．(4分)如图，在▱ABCD中，添加下列条件，不能使▱ABCD成为正方形的是( ) A．AB＝BC，∠ABC＝90° B．∠ABC＝90°，AC＝BD C．AB＝BC，AC＝BD D．AC＝BD，AC⊥BD 2．(8分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝ eq \r(2) ，求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，∴四边形ABCD是平行四边形，OA2＋OB2＝2＝AB2，∴∠AOD＝∠AOB＝90°，∴AD＝ eq \r(OA2＋OD2) ＝ eq \r(2) ＝AB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∠OAD＝∠ODA＝45°，∴∠BAD＝∠OAB＋∠OAD＝90°，∴▱ABCD是正方形 3．(4分)如图，下列条件能使菱形ABCD是正方形的有( ) ①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD. A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③ 4．(4分)如图，四边形ABCD是菱形，则只须补充一个条件：_____________________就可以判定四边形ABCD是正方形． 5．(8分)(教材P25习题1.8T3变式)如图，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A四点移动，求证：四边形PQEF是正方形． 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.又∵AP＝BQ＝CE＝DF，∴BP＝QC＝ED＝FA，∴△AFP≌△BPQ≌ △CQE ≌△DEF，∴FP＝PQ＝QE＝EF，∠APF＝∠BQP，∴四边形PQEF是菱形，∴∠APF＋∠BPQ＝∠BQP＋∠BPQ＝90°，∴∠FPQ＝90°，∴菱形PQEF为正方形 6．(4分)下列条件能使如图所示的矩形ABCD成为正方形的是( ) A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BC D．AC⊥BD 7．(8分)如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点B的对称点B1落在边CD上，求证：四边形ABEB1是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°.又由折叠的性质可得AB＝AB1，∠AB1E＝∠B＝90°＝∠BAD，∴四边形ABEB1是矩形．又∵AB＝AB1，∴矩形ABEB1是正方形 一、选择题(每小题6分，共6分) 8．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是( ) A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC 二、填空题(每小题6分，共6分) 9．如图，四边形ABCD为矩形，四边形AEDF为菱形，则当AB，BC之间满足__________________时菱形AEDF为正方形． 三、解答题(共48分) 10．(14分)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是DB延长线上的一点，且EA＝EC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠BCA＝∠ECB＋∠CEB，求证：四边形ABCD是正方形． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝ eq \f(1,2) AC.又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴▱ABCD是菱形 (2)∵∠BCA＝∠ECB＋∠CEB＝∠DBC, ∴BO＝CO.又∵四边形ABCD是菱形．∴AC＝2CO，BD＝2BO，∴AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形 11．(16分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF. (1)求证：AD＝AF； (2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB.又∵E是AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(ASA)，∴AF＝BD.又∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝DC＝ eq \f(1,2) BC，∴AD＝AF (2)四边形ADCF是正方形，证明如下：∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.又∵AD＝AF，∴▱ADCF是正方形 【素养提升】 12．(18分)(新乡一中期中)如图，点E为边长为2的正方形ABCD的对角线AC上的一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形； (2)探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，则∠EMC＝∠ENC＝∠END＝90°.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠MEN＝90°，EM＝EN.又∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°＝∠MEN，∴∠DEN＝∠FEM，∴△DEN≌△FEM(ASA)，∴EF＝DE，∴矩形DEFG是正方形 (2)CE＋CG的值为定值2 eq \r(2) ，理由如下：∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，∴AD＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC＝ eq \r(AB2＋BC2) ＝ eq \r(22＋22) ＝2 eq \r(2) ，∴CE＋CG的值是定值2 eq \r(2) $$